Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Beh, sei proprio in un bel pasticcio. Vedi, qualche anno fa, il re decise che avresti perso la vita a meno che tu non triplicassi le monete d’oro del suo tesoro. Fortunatamente per te, uno strano ometto apparve e fece magicamente avvenire quell’impresa. Questo mise una manciata di monete dentro e fuori una borsa magica e cantò una strana rima:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
“Più oro entra e più esce, sicuro quanto io sia me, e ancora entra, e ancora esce, e ora lo è di volte tre!”
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Incredibilmente, ciò triplicò le monete e salvò la tua vita. Eri grata? Sì. Eri disperata? Sì. Promettesti il tuo primo figlio in cambio del suo aiuto? Sì.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Arriviamo ad oggi. Non appena hai dato alla luce il tuo bellissimo bambino l’ometto si mostra per reclamare quanto promesso. Tu piangi e lo preghi di non prendere il bambino. Addolcendosi, inizia, “se riesci a indovinare il mio nome-” “Banach-Tarski?” provi. “È sul davanti della tua maglia”.
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
“Che cosa! Così non va. Aha. La mia borsa,” spiega, “aumenta il numero di monete poste al suo interno, in un modo molto speciale. Se prendo qualsiasi numero di monete e le metto dentro, ne usciranno di più. E se gliele rimetto, il totale sarà tre volte qualsiasi numero con cui ho iniziato.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Prende 13 monete e le mette dentro la borsa, e poi rimuove il contenuto. “Ho usato questa magia una volta, non due” dice. “Dimmi quante monete ho nella mia mano e avrò pietà.”
How many coins is he holding?
Quante monete sta tenendo?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Premi pausa per pensarci. Rispondi in 3
Answer in 2
2
Answer in 1
1
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
La magia della borsa funziona come quella che in matematica viene detta “funzione”, e in entrambe conviene usare una freccia per indicare la trasformazione. Possiamo scrivere così ciò che sappiamo.
We want to know what goes in this particular blank.
Vogliamo sapere cosa va in questo particolare spazio.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Forse la borsa moltiplica il numero di monete per qualche numero. In quel caso, moltiplicare per quel numero due volte sarebbe lo stesso che moltiplicare per tre, il che vuol dire che il moltiplicatore sarebbe radice quadrata di tre. Però non è un numero intero. E non abbiamo pezzi di monete d’oro che escono dalla borsa. C’è di mezzo qualcos’altro.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Beh, se riempire lo spazio tra 13 e 39 è troppo difficile, forse possiamo iniziare con qualcosa di più semplice. Possiamo capire cosa succederebbe a una singola moneta?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Se usi la borsa su una singola moneta due volte, avrai il triplo; cioè 3 monete d’oro.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Poiché la borsa aumenta sempre il numero di monete d’oro, lo spazio deve essere tra 1 e 3, quindi 2. È un inizio. Cosa c’è dopo?
Let’s think about a few other possible starting places.
Pensiamo ad alcuni altri possibili inizi.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Sappiamo già che 2 diventa 3. e quindi ci lascia riempire anche lo spazio che segue. Ora stiamo andando da qualche parte!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Abbiamo solo bisogno di estendere il procedimento a 13. Però, ricorda l’altra regola: quando metti più monete, ne escono di più. Questo vuol dire i numeri in ogni colonna devono andare in ordine crescente. In altre parole, poiché 6 monete diventano 9, Non è possibile che 4 diventino 10. Neanche che 4 diventi 5, visto che 3 diventa 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Quindi 7 e 8 riempiranno quegli spazi sulla destra di 4 e 5, che in cambio ci dà la risposta per altri due spazi vuoti.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Sapendo che i numeri vanno in ordine crescente in ogni colonna, le uniche scelte per lo spazio rimanente sono 19, 20, 22 e 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
E guarda! Abbiamo la nostra risposta! Ci devono essere 22 monete nella sua mano.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
“Ti darò tre possibilità” inizia il piccolo uomo.
“22 coins,” you respond.
“22 monete” rispondi.
“What?! How did you know?”
“Che?! Come lo sapevi?”
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
“Mi piacciono gli indovinelli” dici. “E... È sul retro della tua maglia”.