Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Vous êtes dans le pétrin. Vous voyez, il y a quelques années, le roi a décidé que votre vie serait perdue à moins de tripler les pièces d’or dans son trésor. Heureusement pour vous, un étrange petit homme est apparu et a réalisé l’exploit comme par magie. Il plaça des poignées de pièces dans un sac magique, et chanta une étrange comptine :
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me.
« Plus je mets d’or,
And in again, and out again, and now it’s it times three!”
plus il en sort, aussi sûr que je suis moi. Et encore une fois, et encore une fois, et maintenant c’est la troisième fois ! »
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Incroyablement, cela a triplé les pièces et vous a sauvé la vie. Avez-vous été reconnaissante ? Oui. Étiez-vous désespérée ? Oui. Lui avez-vous promis votre premier-né en échange de son aide ? Oui.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Passons à aujourd’hui. À peine avez-vous donné naissance d’un beau petit garçon que le petit homme se présente pour réclamer son prix. Vous pleurez et le suppliez de ne pas prendre le bébé. S’adoucissant, il commence : « Si vous pouvez deviner mon nom... » « Banach-Tarski ? », dites-vous. « C’est écrit sur votre chemise.
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
- Quoi ! Ça ne compte pas. Mon sac augmente le nombre de pièces d’or qu’on y met de façon très particulière. Si je mets un nombre de pièces dans le sac, plus en sortiront. Et si je les remets dans le sac, le total qui en sortira sera trois fois ce que j’avais au départ. »
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
Il prend 13 pièces et les place dans le sac, puis en retire le contenu. « J’ai utilisé la magie une fois, pas deux fois. Dis-moi combien de pièces sont dans ma main et j’aurai pitié. »
How many coins is he holding?
Combien de pièces détient-il ?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Faites une pause ici pour le découvrir par vous-même. Réponse dans 3...
Answer in 2
Réponse dans 2...
Answer in 1
Réponse dans 1...
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
La magie du sac fonctionne comme ce qu’on appelle en mathématiques une « fonction ». Il est pratique dans les deux cas d’utiliser une flèche pour indiquer la transformation. Nous pouvons écrire ce que nous savons comme ceci.
We want to know what goes in this particular blank.
Nous voulons savoir ce qui se passe dans cet espace particulier.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Peut-être que le sac multiplie les pièces par un certain nombre. Dans ce cas, en multipliant par ce nombre deux fois reviendrait à multiplier par 3, ce qui signifie que le multiplicateur serait la racine carrée de 3. Mais, ce n’est pas un nombre entier. Et nous n’avons pas de morceaux de pièces d’or qui sortent du sac. Il se passe quelque chose d’autre.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Si remplir les blancs entre 13 et 39 est trop difficile, commençons par quelque chose de plus simple. Pouvons-nous comprendre ce qui va arriver à 1 pièce ?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Si vous utilisez le sac sur une seule pièce deux fois, vous vous retrouvez avec le triple - trois pièces d’or.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Parce que le sac augmente toujours le nombre de pièces d’or, la valeur centrale doit être comprise entre 1 et 3, donc 2. C’est un début. Quelle est la prochaine étape ?
Let’s think about a few other possible starting places.
Réfléchissons à quelques d’autres points de départ possibles.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Nous savons déjà que 2 devient 3 et cela nous permet de remplir l’espace suivant. Là, on arrive à quelque chose !
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Il suffit de l’étendre à 13. Mais n’oubliez pas l’autre règle : lorsque vous mettez plus de pièces, on obtient plus de pièces. Cela signifie que les nombres de chaque colonne doivent également être classés par ordre croissant. En d’autres mots, car 6 pièces deviennent 9, il n’est pas possible que 4 pièces deviennent 10. Le 4 ne pourrait pas non plus devenir 5, puisque 3 devient 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Les chiffres 7 et 8 remplissent donc les espaces vides à droite de 4 et 5, qui, à son tour, donne la réponse pour deux autres blancs.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Sachant que les nombres vont dans l’ordre croissant dans chaque colonne, les seuls choix possibles pour les cases restantes sont 19, 20, 22 et 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Et regardez ! Nous avons notre réponse ! Il doit y avoir 22 pièces d’or dans sa main.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
« Je vous donne trois options, » commence le petit homme.
“22 coins,” you respond.
« 22 pièces, » répondez-vous.
“What?! How did you know?”
« Quoi ? ! Comment l’as-tu su ?
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
- J’aime les bonnes devinettes.