Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
خوب شما در وضعیت دشواری هستید. ببینید، چند سال قبل، پادشاه تصمیم گرفت که زندگی شما را بگیرد مگر اینکه شما سکههای طلای خزانه را سه برابر کنید. خوشبختانه برای شما مرد کوچک عجیبی ظاهر شد و با جادو یک کار خارقالعاده انجام داد. او یک مشت سکه را درون یک کیسه جادویی ریخت و در آورد و یک ورد عجیب را خواند:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
«تا وقتی من هستم هر چه طلای بیشتری وارد شود طلای بیشتری خارج میشود. و با دو بار دیگر تکرار کردن الآن سه برابر شد!»
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
بطور عجیبی سکهها سه برابر شده و زندگی شما نجات یافت. آیا تشکر میکردید؟ بله. آیا ناراحت میشدید؟ بله. آیا شما به او قول دادید اولین بچه متولدشده خود را در قبال کمک به او بدهید؟ بله.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
برگردیم به امروز. اخیراً یک نوزاد زیبای پسر به دنیا آوردهاید و این مرد کوچک آمده است و جایزه خود را میخواهد. شما گریه میکنید و به وی التماس میکنید که نوزاد را نبرد. با ملایمت به شما میگوید: «اگر بتوانی اسمم را حدس بزنی --» شما میگویید «باناک-تارسکی؟». «این نام روی پیراهن شماست.»
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
او توضیح میدهد «چه میگویی! اینطور نیست. آها کیفم را میگویی،» «تعداد سکههای طلایی که داخل است را به روش خاصی افزایش بده. اگر من هر تعدادی سکه را بردارم و داخل بگذارم، تعداد بیشتری بیرون میآید. و اگر آنها را دوباره در کیف بگذارم، کل تعدادی که بیرون میآید سه برابر تعداد اولیه خواهد بود.»
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
او ۱۳ سکه را برداشته و درون کیف میگذارد، سپس محتویات را خالی میکند. او میگوید «من یک بار از این جادو استفاده کردهام نه دو بار،». «به من بگو چه تعداد سکه در دست دارم و من ترحم خواهم کرد.»
How many coins is he holding?
او چه تعداد سکه دارد؟
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
همینجا توقف کنید و برای خود محاسبه کنید. پاسخ در ۳
Answer in 2
پاسخ در ۲
Answer in 1
پاسخ در ۱
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
جادوی کیف دقیقاً مثل «تابع» در ریاضیات عمل میکند، و در هر دو مورد راحتتر است اگر از نشان پیکان برای انتقال استفاده کنیم. ما میتوانیم چیزی که میدانیم را مثل این بنویسیم.
We want to know what goes in this particular blank.
ما میخواهیم بدانیم در این جای خالی خاص چه باید بگذاریم.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
شاید کیف فقط عدد سکهها را در عددی ضرب میکند. در این مورد دو بار ضرب کردن در آن عدد شبیه ضرب کردن در ۳ است. که به این معناست که ضریب، جذر عدد ۳ است. البته این کل عدد نیست. و ما خردههای سکههای طلا را نداریم که از کیف بیرون آید. اتفاق دیگری دارد رخ میدهد.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
خوب اگر پر کردن جای خالی بین ۱۳ و ۳۹ خیلی سخت است، شاید بتوانیم با چیز سادهتری آغاز کنیم. آیا میتوانیم بفهمیم چه اتفاقی برای یک سکه میافتد؟
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
اگر کیف را برای یک سکه دو بار استفاده کنید، آیا سه برابر میشود؛ این سه تکه طلاست.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
چون کیف همیشه تعداد سکههای طلا را افزایش میدهد، جای خالی باید بین ۱ و ۳ باشد، بنابراین جواب ۲ است. این یک آغاز است. قدم بعدی چیست؟
Let’s think about a few other possible starting places.
بگذارید کمی در مورد حالات دیگر شروع فکر کنیم.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
ما از قبل میدانیم که ۲ به ۳ تبدیل میشود و به ما اجازه میدهد که جای خالی بعدی هم پر کنیم. حالا داریم به جاهایی میرسیم!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
ما فقط نیاز داریم که تا ۱۳ ادامه دهیم. البته یک قانون را بخاطر بسپارید: وقتی سکه بیشتری داخل میگذارید، سکه بیشتری خارج میکنید. یعنی عددها در هر ستون هم باید افزایش یابد. به عبارت دیگر، چون ۶ سکه ۹ تا میشود، امکان ندارد که ۴ سکه ۱۰ تا شود. ۴ هم نمیتواند ۵ شود چون ۳ شده است ۶.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
پس ۷ و ۸ جای خالی سمت راست ۴ و ۵ را پر میکنند، که در مقابل پاسخ دو جای خالی دیگر را هم میدهد.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
دانستن اینکه اعداد در هر ستون افزایش مییابد تنها پاسخ برای جاهای خالی باقیمانده ۱۹، ۲۰، ۲۲ و ۲۳ خواهد بود.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
و ببینید! ما پاسخ را داریم! باید ۲۲ سکه در دستانش باشد.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
مرد کوچک میگوید «من به شما اجازه سه حدس میدهم،».
“22 coins,” you respond.
شما پاسخ میدهید «۲۲ سکه،».
“What?! How did you know?”
«چه شد؟! از کجا دانستید؟»
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
شما میگویید «از معماهای خوب لذت میبرم». «البته روی پشت پیراهن شما نوشته شده است.»