Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
Bueno, estás en un verdadero aprieto. Verás, hace algunos años, un rey decidió que morirías si no triplicabas las monedas de oro de su tesoro. Afortunadamente para ti, un hombre pequeño y extraño apareció y mágicamente cumplió la hazaña. El hombre metió y sacó puñados de monedas de una bolsa mágica y cantó una extraña rima:
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
«Entre más oro entra, más sale, tan seguro como que soy yo. Y otra vez dentro, y otra vez fuera, y ahora se ha multiplicado por tres».
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
Increíblemente, las monedas se triplicaron y tu vida se salvó. ¿Estabas agradecida? Sí. ¿Estabas desesperada? Sí. ¿Le prometiste al hombre tu primogénito a cambio de su ayuda? Sí.
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
Avanzamos hasta el día de hoy. En cuanto das a luz a un hermoso niño, el pequeño hombre aparece para reclamar su premio. Lloras y le ruegas que no se lleve al bebé. Ablandándose, el hombre te dice: «si puedes adivinar mi nombre...». «¿Banach-Tarski?», respondes. «Está escrito en tu camisa».
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
«¡¿Qué?! Mejor otra cosa. ¡Ajá!». «Mi bolsa...», te explica, «incrementa el número de monedas de oro que se ponen en ella de una manera muy especial. Si tomo cualquier número de monedas y las pongo dentro, saldrán más. Y si esas monedas las pongo de nuevo en la bolsa, el número total de monedas que salga será el triple del inicial».
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
El hombre toma 13 monedas y las pone en la bolsa, luego remueve el contenido. «He usado la magia una vez, no dos», dice. «Si me dices cuántas monedas hay en mi mano, tendré piedad».
How many coins is he holding?
¿Cuántas monedas tiene en su mano?
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
Pausa el video e intenta resolver el problema por tu cuenta.
Answer in 2
Tres.
Dos.
Answer in 1
Uno.
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
La magia de la bolsa funciona igual que una función matemática. En ambos casos, es conveniente usar una flecha para denotar la transformación. Podemos escribir lo que sabemos de esta manera.
We want to know what goes in this particular blank.
Queremos saber qué va en este espacio en particular.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
Tal vez la bolsa multiplica el número de monedas por otro número. En ese caso, multiplicar por dicho número dos veces sería lo mismo que multiplicar por 3, lo que quiere decir que el multiplicador es la raíz cuadrada de 3. Pero ese no es un número entero y de la bolsa no salen pedacitos de monedas. Algo más está pasando.
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
Si llenar el espacio entre 13 y 39 es muy difícil, tal vez podemos empezar por algo más fácil. ¿Podemos averiguar qué le pasará a 1 moneda?
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
Si usas la bolsa dos veces con una sola moneda, obtienes el triple, es decir, tres monedas.
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
Como la bolsa siempre incrementa el número de monedas de oro, el espacio debe estar entre 1 y 3, o sea, 2. Es un comienzo. ¿Ahora qué sigue?
Let’s think about a few other possible starting places.
Pensemos en otros posibles puntos de partida.
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
Ya sabemos que 2 se convierte en 3, lo que nos permite llenar el siguiente espacio también. ¡Estamos avanzando!
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
Ahora solo tenemos que seguir hasta 13. Pero recuerda la regla: entre más monedas metes, más monedas salen. Esto significa que los números de cada columna deben incrementar también. En otras palabras, si 6 monedas se convierten en 9, no es posible que 4 se conviertan en 10, ni que 4 se conviertan en 5, ya que 3 se convierten en 6.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
Así que 7 y 8 llenan esos espacios a la derecha de 4 y 5, lo que nos da la respuesta para dos espacios más.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
Sabiendo que los números incrementan en orden en cada columna, las únicas opciones para los espacios que faltan son 19, 20, 22 y 23.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
Y ya tenemos nuestra respuesta. El hombre debe tener 22 monedas en la mano.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
«Te daré tres oportunidades», dice el pequeño hombre.
“22 coins,” you respond.
«22 monedas», respondes.
“What?! How did you know?”
«¡¿Qué?! ¿Cómo lo supiste?».
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”
«Me gustan los acertijos», respondes.