حسنًا، أنتِ في ورطة حقيقية. كما ترى، قبل سنوات قليلة، قرر الملك أنكِ ستخسرين حياتك ما لم تضاعفي العملات الذهبية في خزينته ثلاث مرات. لحسن حظكِ، ظهر رجل صغير غريب وأدى هذا العمل بطريقة سحرية. أدخل وأخرج حفنة من العملات المعدنية في كيس سحري، وأنشد ترنيمة غريبة:
Well, you're in a real pickle. You see, a few years ago, the king decided your life would be forfeit unless you tripled the gold coins in his treasury. Fortunately for you, a strange little man appeared and magically performed the feat. He placed handfuls of coins in and out of a magical bag, and sang a strange rhyme:
“كلما دخل المزيد من الذهب كلما خرج المزيد، مثلما أنا متأكد من نفسي. ومرة أخرى يدخل، ومرة أخرى يخرج، والآن هو ثلاثة أضعاف! ”
“The more gold goes in and more comes out, as sure as I am me. And in again, and out again, and now it’s it times three!”
بشكل لا يصدق، ضاعف هذا الفعل القطع النقدية ثلاث مرات وأنقذ حياتك. هل كنتِ شاكرةً؟ نعم. هل كنتِ يائسةً؟ نعم. هل وعدته بمولودك الأول مقابل مساعدته؟ نعم.
Incredibly, that tripled the coins and saved your life. Were you grateful? Yes. Were you desperate? Yes. Did you promise him your first-born child in exchange for his help? Yes.
ننتقل سريعًا إلى اليوم. ما أن أنجبتِ طفلاً جميلاً يظهر الرجل الغريب للمطالبة بجائزته. تبكين وتتوسلين له ألا يأخذ الطفل. بدأ يلين وقال: “إذا كنتِ تستطيعين تخمين اسمي -” فتجاوبين: “باناخ تارسكي؟”. “إنه على مقدمة قميصك.”
Fast forward to today. No sooner have you given birth to a beautiful baby boy than the little man shows up to claim his prize. You cry and beg him not to take the baby. Softening, he begins, “If you can guess my name—” “Banach-Tarski?” you say. “It’s on the front of your shirt.”
“ماذا! هذا لن يجدي نفعًا.” “آها. حقيبتي، ويشرح: يزداد عدد العملات الذهبية الموضوعة بداخلها بطريقة خاصة جدًا. إذا أخذت أي عدد من العملات المعدنية ووضعتها في الداخل، فسيخرج المزيد. وإذا وضعتهم في الحقيبة مجددًا، إجمالي الناتج سيكون ثلاثة أضعاف ما بدأت به. ”
“What! That won’t do. Aha. My bag,” he explains, “increases the number of gold coins placed inside it in a very special way. If I take any number of coins and place them in, more will come out. And if I place those in the bag again, the total that comes out will be three times whatever I began with.”
يأخذ 13 عملة معدنية ويضعها في الحقيبة، ثم يأخذ المحتويات. يقول: “لقد استخدمت السحر مرة، وليس مرتين“. “أخبريني كم عدد العملات في يدي وسأرحمك.”
He takes 13 coins and places them in the bag, then removes the contents. “I’ve used the magic once, not twice,” he says. “Tell me how many coins are in my hand and I’ll have mercy.”
كم عدد القطع النقدية التي يحملها؟
How many coins is he holding?
توقف هنا لتكتشفها بنفسك. الإجابة في 3
Pause here to figure it out yourself. Answer in 3
الإجابة في 2
Answer in 2
الإجابة في 1
Answer in 1
يعمل سحر الحقيبة تمامًا مثل ما يُطلق عليه في الرياضيات “الوظيفة” ومن الملائم في كلتا الحالتين استخدام سهم للدلالة على التحول. يمكننا كتابة ما نعرفه على هذا النحو.
The bag’s magic works just like what in mathematics is called a “function,” and it’s convenient in both cases to use an arrow to denote the transformation. We can write what we know like this.
نريد أن نعرف ما الذي يتم إدخاله في هذا الفراغ بالذات.
We want to know what goes in this particular blank.
ربما تضاعف الحقيبة فقط عدد العملات في عدد ما. في هذه الحالة، يتم الضرب بهذا الرقم مرتين ستكون مماثلة للضرب في 3 وهو ما يعني أن المضاعف سيكون الجذر التربيعي لـ 3. هذا ليس عددًا صحيحًا. وليس لدينا أجزاء من القطع النقدية الذهبية تخرج من الحقيبة. هناك شيء آخر يحدث.
Maybe the bag just multiplies the number of coins by some number. In that case, multiplying by that number twice would be the same as multiplying by 3, which means the multiplier would be the square root of 3. That’s not a whole number, though. And we don’t have bits of gold coins coming out of the bag. Something else is going on.
حسنًا، إذا كان ملء الفراغ ما بين 13 و 39 صعبًا للغاية، ربما يمكننا البدء بشيء أسهل. هل يمكننا اكتشاف ما سيحدث لعملة واحدة؟
Well, if filling in the blank between 13 and 39 is too hard, maybe we can start with something easier. Can we figure out what’ll happen to 1 coin?
إذا كنت تستخدم الحقيبة على عملة واحدة مرتين، فسينتهي بك الأمر بثلاثة أضعاف؛ هذه ثلاث قطع ذهبية.
If you use the bag on a single coin twice, you end up with triple; that’s three gold pieces.
لأن الحقيبة تزيد دائمًا من عدد العملات الذهبية، يجب أن يكون الفراغ بين 1 و3، وبالتالي 2. إنها البداية. ما هي الخطوة التالية؟
Because the bag always increases the number of gold coins, the blank must be between 1 and 3, so 2. It’s a start. What’s next?
دعنا نفكر في بعض المواضع الأخرى الممكنة للانطلاق.
Let’s think about a few other possible starting places.
نعلم بالفعل أن 2 يصبح 3 ويسمح لنا ذلك بملء الفراغ التالي أيضًا. نحن الآن نصل إلى مكان ما!
We already know 2 becomes 3 and that lets us fill in the next blank as well. Now we’re getting somewhere!
كل ما نحتاجه هو الاستمرار بذلك إلى 13. مع ذلك، تذكر القاعدة الأخرى: عندما تضع المزيد من العملات في الحقيبة، تخرج المزيد من العملات المعدنية. هذا يعني أن الأرقام الموجودة في كل عمود يجب أن تكون بترتيب متزايد أيضًا. بعبارة أخرى، لأن 6 عملات معدنية تصبح 9، لا يمكن أن تصبح 4 قطع نقدية لتكون 10. ولا يمكن أن تتغير 4 لتصبح 5، حيث أن 3 تصبح 6.
We just need to extend this out to 13. Remember the other rule, though: when you put more coins in, you get more coins out. That means the numbers in every column must go in increasing order as well. In other words, because 6 coins become 9, it’s not possible for 4 coins to become 10. Nor could 4 become 5, since 3 becomes 6.
إذن، 7 و 8 يملأ الفراغات على يمين 4 و5، وهذا بدوره يعطي الإجابة عن فراغين إضافيين.
So 7 and 8 fill those blanks on the right of 4 and 5, which in turn gives the answer for two more blanks.
مع العلم أن الأرقام تتزايد في كل عمود، الخيارات الوحيدة للفراغات المتبقية هي 19، و20، و22، و23.
Knowing that the numbers go in increasing order in every column, the only choices for the remaining blanks are 19, 20, 22, and 23.
وانظروا! لدينا إجابتنا! لابد أن هناك 22 قطعة ذهبية في يده.
And look! We have our answer! There must be 22 gold coins in his hand.
يبدأ الرجل الغريب في القول: “سأعطيك ثلاثة تخمينات“.
“I’ll give you three guesses,” the little man begins to say.
تردين، “22 قطعة نقدية“.
“22 coins,” you respond.
“ماذا؟! كيف عرفتِ؟”
“What?! How did you know?”
تقولون: “أنا أستمتع بحل لغز جيد“. “أيضًا، إنه على ظهر قميصك“.
“I enjoy a good riddle,” you say. “Also, it’s on the back of your shirt.”