Maybe the fates got clumsy. Maybe Poseidon had one of his angry days. However it happened, the underworld is overcrowded, and Zeus has ordered Hades to let some spirits out. Hades arranges all the souls of the dead in a line before Cerberus. When one of his three heads bites down on the soul in front of it, they’ll get returned to the land of the living. Anyone to the left must get out of line and stay in Hades forever. And everyone else shuffles forward, at which point Cerberus will feed again. Each of the dog’s heads has an equal chance of being the one to bite each time, and no two ever bite simultaneously.
Возможно, Мойры что-то напутали. Возможно, Посейдон был в тот день не в духе. Как бы то ни было, подземное царство мёртвых переполнено, и Зевс поручил Аиду выпустить на свободу некоторые души. Аид выстроил все души мёртвых в очередь перед Цербером. Если одна из голов нагнётся и укусит стоящую перед ней душу, умерший вернётся в мир живых. Душа слева от него выходит из строя и навсегда остаётся в царстве мёртвых. Все остальные передвигаются вперёд, и Цербер снова выбирает счастливчика. Каждая из голов пса может опуститься с равной вероятностью, и две головы не могут одновременно укусить.
Unfortunately, Hades’ minions forgot to tell you what was happening, and by the time you show up there are only 99 souls left in line. Hades looks furious and drawing attention to yourself won’t end well. But suddenly, time freezes, and Hermes steps out of the shadows. He tells you he can instantly put you into the line, and no one will realize what happened. But he’ll only grant his grace to someone clever enough to take full advantage of it. Choose the best place in line and he’ll give you the spot. Choose wrong, and he’ll leave you to rot.
К сожалению, прислужники Аида забыли сказать вам о жеребьёвке, и подоспев, вы видите, что в очереди остаётся всего 99 душ. Похоже, Аид разъярён, поэтому вам лучше не привлекать к себе лишнего внимания. Но внезапно время останавливается, и откуда ни возьмись появляется Гермес. Он говорит, что может мгновенно поставить вас в очередь, и никто ничего на заметит. Но он готов помочь только тому, кто достаточно умён и в полной мере воспользуется его помощью. Выберите наилучшее место в очереди, и оно станет вашим. А если сделаете неправильный выбор, то навсегда застрянете в аду.
Which spot should you pick?
Какое место в очереди нужно выбрать?
Pause the video to figure it out yourself.
Остановите видео и найдите ответ самостоятельно.
Answer in 3
Ответ через: 3
Answer in 2
Ответ через: 2
Answer in 1
Ответ через: 1
It’s possible to calculate the exact probability of going free in all 100 spots. But there’s a much simpler path to the solution that requires surprisingly little calculation.
Рассчитать точную вероятность выживания в каждом из 100 мест в очереди вполне возможно. Но есть и гораздо более простой способ с минимальными расчётами.
Imagine being anywhere in line. Way up at the front, one of the three heads will pick someone at random, and you’ll move forward 1, 2, or 3 spaces. Since each is equally likely, your chance of survival from wherever you started is the average of the chances from each of the three spaces in front of you.
Представьте, что вы находитесь в любом месте очереди. В её начале одна из трёх голов Цербера случайно выберет одну душу, и вы передвинетесь на одну, две или три позиции. Так как каждый вариант одинаково вероятен, ваш шанс на выживание из начальной точки равен среднему значению шансов трёх мест непосредственно перед вами.
And this is where you can find a huge shortcut. Averages must be on or between the extremes of what you’re averaging— they can never be higher than the highest value or lower than the lowest. So whatever your chances of survival are where you start, one of the three places in front of you is at least as good, and probably better.
И именно это позволяет вам значительно сократить расчёты. Среднее значение всегда менее или равно наибольшему из множества; оно не может быть выше максимального или ниже минимального. Поэтому, вне зависимости от того, каков ваш изначальный шанс на выживание, у одного из трёх мест перед вами он по крайней мере такой же или выше.
This observation is incredibly powerful. It means that wherever you are in line, it’d be wise to trade your place for one of the three spots in front of you. Let’s ignore which for now and think of them as a trio— this trio’s maximum value is better than this trio’s, and so on. Keep going and you’ll reach the front... These three spots must contain the extreme values— the best and worst probabilities— for the entire line. In other words, they’re all we need to consider.
Этот вывод весьма ценен. Это означает, что где бы в очереди вы ни находились, вам имеет смысл поменяться местами с одной из трёх душ, стоящих впереди вас. Пока неважно, с какой именно, будем рассматривать их как единую тройку. Максимальное значение этой тройки лучше, чем той и так далее. Продолжайте двигаться, пока не дойдёте до начала очереди. Эти три позиции содержат крайние значения — наибольшую и наименьшую вероятности — из всей очереди. Иначе говоря, только их нам и следует рассматривать.
Place 1 is bad. Head one would save you, and the other two doom you forever. That’s just a 1 in 3 chance to escape.
Первая позиция плохая. Первая голова может вас спасти, но две оставшиеся обрекут на вечные муки. Вероятность спастись составляет лишь 1 из 3.
Place 2 is better: head two is great, head 3 is bad, and head 1 is ok in that it gives you another chance.
Вторая позиция лучше: вторая голова может вас спасти, третья голова погубит, а первая даёт вам ещё один шанс на побег.
But place 3 is best, because head 3 saves you while heads 1 and 2 both give you extra chances.
Но третья позиция лучше всего, так как третья голова может вас спасти, а первая и вторая дают вам дополнительные шансы.
If you did want to consider the exact probabilities, the odds of surviving in place 3 are 16 out of 27, or close to 60%. The spots later in line tend to be very close to having a 50% chance of survival. Why 50%? Because every time Cerberus sends one soul up to be reborn, he leaves 0, 1, or 2 souls in the underworld. That averages out to one person staying for each one who gets freed.
Если вам интересна точная вероятность, то шанс спасения в третьей позиции — 16 из 27, то есть почти 60%. Вероятность спасения в последующих местах в очереди приближена к 50%. Почему 50%? Потому что всякий раз, когда Цербер отправляет одну душу обратно в мир живых, он оставляет ни одной, одну или две души в царстве мёртвых. То есть в среднем одна погибшая душа на одну освобождённую.
But you can beat those odds handily with what you now know. Hermes has places to be, and so do you. He rewards your insight by sneaking you into the third spot. And from there it’ll be just a short wait to learn your ultimate fate.
Но знания повышают ваши шансы. Гермесу не хочется тратить время в аду, а вам — и подавно. Он вознаграждает вас за смекалку и переводит вас на третье место в очереди. Ну а здесь вам не придётся долго ждать, чтобы свою судьбу узнать.