Maybe the fates got clumsy. Maybe Poseidon had one of his angry days. However it happened, the underworld is overcrowded, and Zeus has ordered Hades to let some spirits out. Hades arranges all the souls of the dead in a line before Cerberus. When one of his three heads bites down on the soul in front of it, they’ll get returned to the land of the living. Anyone to the left must get out of line and stay in Hades forever. And everyone else shuffles forward, at which point Cerberus will feed again. Each of the dog’s heads has an equal chance of being the one to bite each time, and no two ever bite simultaneously.
Talvez as parcas fossem desajeitadas. Talvez Poseidon teve um de seus dias de raiva. Seja como for, o submundo está superlotado, e Zeus ordenou que Hades liberasse alguns espíritos. Hades organiza todas as almas dos mortos em uma fila perante Cérbero. Quando uma de suas três cabeças morder a alma diante dele, ela retornará à terra dos vivos. Quem restar à esquerda deve sair da fila e permanecer em Hades para sempre. Todos os demais avançam para o local em que Cérbero se alimentará novamente. Cada cabeça do cão tem uma chance igual de ser a única a morder a cada vez, e duas cabeças jamais mordem ao mesmo tempo.
Unfortunately, Hades’ minions forgot to tell you what was happening, and by the time you show up there are only 99 souls left in line. Hades looks furious and drawing attention to yourself won’t end well. But suddenly, time freezes, and Hermes steps out of the shadows. He tells you he can instantly put you into the line, and no one will realize what happened. But he’ll only grant his grace to someone clever enough to take full advantage of it. Choose the best place in line and he’ll give you the spot. Choose wrong, and he’ll leave you to rot.
Infelizmente, os lacaios de Hades se esqueceram de dizer o que estava acontecendo e, quando você apareceu, havia apenas 99 almas restantes na fila. Hades parece furioso, e chamar a atenção dele não vai acabar bem. Mas, de repente, o tempo congela, e Hermes sai das sombras. Ele diz a você que pode colocá-lo na fila imediatamente, e ninguém perceberá o que aconteceu. Mas ele só concederá essa graça a alguém inteligente o suficiente para tirar o máximo proveito dela. Escolha o melhor lugar da fila, e ele o dará a você. Faça a escolha errada, e ele o deixará apodrecer.
Which spot should you pick?
Qual lugar você deve escolher?
Pause the video to figure it out yourself.
[Pause o vídeo para descobrir sozinho.]
Answer in 3
[Resposta em 3]
Answer in 2
[Resposta em 2]
Answer in 1
[Resposta em 1]
It’s possible to calculate the exact probability of going free in all 100 spots. But there’s a much simpler path to the solution that requires surprisingly little calculation.
É possível calcular a probabilidade exata de ficar livre em todos os 100 lugares. Mas há um caminho muito mais simples para a solução que requer, surpreendentemente, poucos cálculos. Imagine estar em qualquer lugar da fila.
Imagine being anywhere in line. Way up at the front, one of the three heads will pick someone at random, and you’ll move forward 1, 2, or 3 spaces. Since each is equally likely, your chance of survival from wherever you started is the average of the chances from each of the three spaces in front of you.
Bem na frente, uma das três cabeças escolherá alguém aleatoriamente, e você avançará um, dois ou três espaços. Já que cada lugar é igualmente provável, sua chance de sobrevivência de onde quer que você tenha começado é a média das chances de cada um dos três espaços à sua frente.
And this is where you can find a huge shortcut. Averages must be on or between the extremes of what you’re averaging— they can never be higher than the highest value or lower than the lowest. So whatever your chances of survival are where you start, one of the three places in front of you is at least as good, and probably better.
E é aqui que você pode encontrar um atalho enorme. As médias devem estar nos extremos ou entre os extremos de sua média. Elas nunca podem ser maiores do que o valor mais alto nem menores do que o mais baixo. Então, quaisquer que sejam suas chances de sobrevivência onde você começar, um dos três lugares à sua frente é, pelo menos, tão bom, e provavelmente melhor.
This observation is incredibly powerful. It means that wherever you are in line, it’d be wise to trade your place for one of the three spots in front of you. Let’s ignore which for now and think of them as a trio— this trio’s maximum value is better than this trio’s, and so on. Keep going and you’ll reach the front... These three spots must contain the extreme values— the best and worst probabilities— for the entire line. In other words, they’re all we need to consider.
Essa observação é incrivelmente poderosa. Isso significa que onde quer que você esteja na fila, seria sensato trocar seu lugar por um dos três à sua frente. Vamos ignorar qual por agora e pensar neles como um trio. O valor máximo deste trio é melhor do que o deste, e assim por diante. Continue e você chegará à frente. Estes três lugares devem conter os valores extremos: as melhores e piores probabilidades para toda a fila. Em outras palavras, são tudo que precisamos considerar.
Place 1 is bad. Head one would save you, and the other two doom you forever. That’s just a 1 in 3 chance to escape.
O lugar um é ruim. A cabeça um o salvaria, e as outras duas o condenariam para sempre. Isso é apenas uma chance em três de escapar.
Place 2 is better: head two is great, head 3 is bad, and head 1 is ok in that it gives you another chance.
O lugar dois é melhor: a cabeça dois é ótima, a cabeça três é ruim,
But place 3 is best, because head 3 saves you while heads 1 and 2 both give you extra chances.
e a cabeça um é boa porque lhe dá outra chance. Mas a posição três é melhor porque a cabeça três o salva,
If you did want to consider the exact probabilities, the odds of surviving in place 3 are 16 out of 27, or close to 60%. The spots later in line tend to be very close to having a 50% chance of survival. Why 50%? Because every time Cerberus sends one soul up to be reborn, he leaves 0, 1, or 2 souls in the underworld. That averages out to one person staying for each one who gets freed.
enquanto as cabeças um e dois lhe oferecem chances extras. Se você quiser considerar as probabilidades exatas, as chances de sobreviver no lugar 3 são de 16 em 27, ou perto de 60%. Os lugares posteriores da fila tendem a ficar muito próximos de terem 50% de chance de sobrevivência. Por que 50%? Porque toda vez que Cérbero envia uma alma para renascer, ele deixa zero, uma ou duas almas no submundo.
But you can beat those odds handily with what you now know.
Em média, uma pessoa permanece para cada uma que é libertada.
Hermes has places to be, and so do you. He rewards your insight by sneaking you into the third spot. And from there it’ll be just a short wait to learn your ultimate fate.
Mas você pode vencer facilmente essas probabilidades com o que sabe agora. Hermes tem lugares para estar, e você também. Ele recompensa sua perspicácia, levando você ao terceiro lugar da fila. A partir daí, será apenas uma curta espera para saber seu destino final.