Maybe the fates got clumsy. Maybe Poseidon had one of his angry days. However it happened, the underworld is overcrowded, and Zeus has ordered Hades to let some spirits out. Hades arranges all the souls of the dead in a line before Cerberus. When one of his three heads bites down on the soul in front of it, they’ll get returned to the land of the living. Anyone to the left must get out of line and stay in Hades forever. And everyone else shuffles forward, at which point Cerberus will feed again. Each of the dog’s heads has an equal chance of being the one to bite each time, and no two ever bite simultaneously.
Może los zrobił się przewrotny. Może Posejdon miał zły dzień. Jednak tak się stało, świat podziemny jest przepełniony, a Zeus rozkazał Hadesowi wypuścić niektóre dusze. Hades ustawia wszystkich zmarłych w szeregu przed Cerberem. Dusze ugryzione przez jedną z głów Cerbera powrócą do krainy żywych. Dusza po lewej musi wyjść z kolejki i wrócić do Hadesu na zawsze. Każdy przesuwa się do przodu i znowu zaczyna się karmienie Cerbera. Każda głowa psa za każdym razem ma równe szanse na ugryzienie i nigdy dwie nie gryzą jednocześnie.
Unfortunately, Hades’ minions forgot to tell you what was happening, and by the time you show up there are only 99 souls left in line. Hades looks furious and drawing attention to yourself won’t end well. But suddenly, time freezes, and Hermes steps out of the shadows. He tells you he can instantly put you into the line, and no one will realize what happened. But he’ll only grant his grace to someone clever enough to take full advantage of it. Choose the best place in line and he’ll give you the spot. Choose wrong, and he’ll leave you to rot.
Niestety słudzy Hadesa zapomnieli przedstawić ci całą sytuację, więc kiedy pojawiasz się na miejscu, w kolejce zostaje tylko 99 dusz. Hades jest wściekły i zwracanie na siebie uwagi nie jest dobrym pomysłem. Ale nagle czas się zatrzymuje i z ciemności wychodzi Hermes. Mówi, że może postawić cię w szeregu, i nikt nic nie zauważy. Ale udzieli łaski tylko komuś na tyle sprytnemu, że w pełni z tego skorzysta. Wybierz najlepsze miejsce w kolejce, a on ci je da. Wybierz źle, a zostawi cię na zgnicie.
Which spot should you pick?
Które miejsce wybrać?
Pause the video to figure it out yourself.
[Zatrzymaj i rozwiąż zadanie samodzielnie.]
Answer in 3
[Odpowiedź za 3]
Answer in 2
[Odpowiedź za 2]
Answer in 1
[Odpowiedź za 1]
It’s possible to calculate the exact probability of going free in all 100 spots. But there’s a much simpler path to the solution that requires surprisingly little calculation.
Można obliczyć dokładne prawdopodobieństwo uwolnienia się we wszystkich 100 miejscach. Ale istnieje znacznie prostsza droga do rozwiązania niewymagająca wielkich obliczeń.
Imagine being anywhere in line. Way up at the front, one of the three heads will pick someone at random, and you’ll move forward 1, 2, or 3 spaces. Since each is equally likely, your chance of survival from wherever you started is the average of the chances from each of the three spaces in front of you.
Wyobraź sobie, że jesteś w dowolnym miejscu w kolejce. Najpierw jedna z trzech głów wybierze kogoś losowo, a ty przesuniesz się o 1, 2 albo 3 pola do przodu. Ponieważ każde miejsce jest równie prawdopodobne, twoja szansa na przeżycie niezależnie od miejsca startu to średnia szans z każdego z trzech pól przed tobą.
And this is where you can find a huge shortcut. Averages must be on or between the extremes of what you’re averaging— they can never be higher than the highest value or lower than the lowest. So whatever your chances of survival are where you start, one of the three places in front of you is at least as good, and probably better.
I tu możemy skrócić sobie drogę. Średnie muszą znajdować się między skrajnościami tego, co uśredniasz, i nigdy nie mogą być wyższe niż najwyższa wartość albo niższe od najniższej. Bez względu na szanse na przeżycie przy starcie jedno z trzech miejsc przed tobą jest co najmniej tak samo dobre, a pewnie i lepsze.
This observation is incredibly powerful. It means that wherever you are in line, it’d be wise to trade your place for one of the three spots in front of you. Let’s ignore which for now and think of them as a trio— this trio’s maximum value is better than this trio’s, and so on. Keep going and you’ll reach the front... These three spots must contain the extreme values— the best and worst probabilities— for the entire line. In other words, they’re all we need to consider.
Ta obserwacja jest bardzo ważna. Oznacza to, że bez względu na miejsce w kolejce mądrze będzie zamienić się z jedną z trzech dusz przed tobą. Na razie to zignorujmy i pomyślmy o nich jak o trójce. Maksymalna wartość tego tria jest lepsza niż tamtego tria i tak dalej. Idziesz dalej i docierasz do przodu. Te trzy miejsca muszą zawierać wartości ekstremalne, najlepsze i najgorsze prawdopodobieństwa dla całej kolejki. To wszystko, co musimy wziąć pod uwagę.
Place 1 is bad. Head one would save you, and the other two doom you forever. That’s just a 1 in 3 chance to escape.
Miejsce 1 jest złe. Jedna głowa cię uratuje, a dwie pozostałe skażą na zawsze. To tylko 1/3 szans na ucieczkę.
Place 2 is better: head two is great, head 3 is bad, and head 1 is ok in that it gives you another chance.
Miejsce 2 jest lepsze: druga głowa pomoże, głowa 3 jest zła, a głowa 1 daje ci kolejną szansę.
But place 3 is best, because head 3 saves you while heads 1 and 2 both give you extra chances.
Ale miejsce 3 jest najlepsze, bo głowa 3 cię ratuje, podczas gdy głowy 1 i 2 dają dodatkowe szanse.
If you did want to consider the exact probabilities, the odds of surviving in place 3 are 16 out of 27, or close to 60%. The spots later in line tend to be very close to having a 50% chance of survival. Why 50%? Because every time Cerberus sends one soul up to be reborn, he leaves 0, 1, or 2 souls in the underworld. That averages out to one person staying for each one who gets freed.
Jeśli chcesz rozważyć dokładne prawdopodobieństwa, szanse na przetrwanie na miejscu 3 wynoszą 16 na 27, czyli blisko 60%. Dalsze miejsca w kolejce dają prawie 50% szans na przeżycie. Dlaczego 50%? Bo za każdym razem, kiedy Cerber wysyła jedną duszę do krainy żywych, pozostawia 0, 1 albo 2 dusze w zaświatach. Czyli na jednego uwolnionego przypada jedna dusza pozostawiona w zaświatach.
But you can beat those odds handily with what you now know. Hermes has places to be, and so do you. He rewards your insight by sneaking you into the third spot. And from there it’ll be just a short wait to learn your ultimate fate.
Ale dzięki tej wiedzy z łatwością możesz zwiększyć swoje szanse. Hermes ma swoje miejsca i ty też. Nagradza twój spryt, dając ci miejsce 3. A stamtąd już niedługo poznasz swój ostateczny los.