Maybe the fates got clumsy. Maybe Poseidon had one of his angry days. However it happened, the underworld is overcrowded, and Zeus has ordered Hades to let some spirits out. Hades arranges all the souls of the dead in a line before Cerberus. When one of his three heads bites down on the soul in front of it, they’ll get returned to the land of the living. Anyone to the left must get out of line and stay in Hades forever. And everyone else shuffles forward, at which point Cerberus will feed again. Each of the dog’s heads has an equal chance of being the one to bite each time, and no two ever bite simultaneously.
運命の三女神が不器用だったのか ポセイドンが怒りの日々を送っていたのか とにかく冥界は過密状態で ゼウスが 冥界神ハデスに 霊をいくつか追い出すよう命じました ハデスは番犬ケルベロスの前に 死者の霊すべてを一列に並べました ケルベロスの3つの頭の1つが 目の前の霊に噛みつくと 噛まれた霊は 生者の国に帰されます それより左にいる霊は列から退き 永久に冥界に留まります 他の霊が前に進むと ケルベロスがまた食べます ケルベロスのどの頭が噛むかの確率は 毎回等しく また 2つの頭が 同時に噛むことはありません
Unfortunately, Hades’ minions forgot to tell you what was happening, and by the time you show up there are only 99 souls left in line. Hades looks furious and drawing attention to yourself won’t end well. But suddenly, time freezes, and Hermes steps out of the shadows. He tells you he can instantly put you into the line, and no one will realize what happened. But he’ll only grant his grace to someone clever enough to take full advantage of it. Choose the best place in line and he’ll give you the spot. Choose wrong, and he’ll leave you to rot.
困ったことに ハデスの子分は この出来事をあなたに伝えるのを忘れており あなたが現れる頃には 列には99人しか残っていませんでした ハデスは激怒していて 目立つのは得策ではなさそうです ところが 突然 時間が止まり 影からヘルメスが現れました そして 誰にも気付かれずに 瞬時にあなたを列に入れられる と言います そして 誰にも気付かれずに 瞬時にあなたを列に入れられる と言います しかしヘルメスは このチャンスを最大限に 活用できる賢い人だけに慈悲を施します 列の中で一番良い位置を選べば そこに入れてもらえます 間違った位置を選ぶと 見捨てられてしまいます どの位置を選ぶべきでしょうか?
Which spot should you pick?
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It’s possible to calculate the exact probability of going free in all 100 spots. But there’s a much simpler path to the solution that requires surprisingly little calculation.
脱出できる確率を 正確に計算することは可能です でも もっと簡単な方法があります 意外にも 計算もほとんど要りません 列のどこかに並んでいるところを 想像してください
Imagine being anywhere in line. Way up at the front, one of the three heads will pick someone at random, and you’ll move forward 1, 2, or 3 spaces. Since each is equally likely, your chance of survival from wherever you started is the average of the chances from each of the three spaces in front of you.
列の先頭では 3つの頭の1つが ランダムに誰かを噛むと あなたは前に1か2か3つ分 前に進みます どの頭も同じくらいの確率なので あなたがどこから始めたとしても 生き残れる確率は あなたの前にある3つの位置の 確率の平均値になります ここに答えをとても簡単に導く ヒントがあります
And this is where you can find a huge shortcut. Averages must be on or between the extremes of what you’re averaging— they can never be higher than the highest value or lower than the lowest. So whatever your chances of survival are where you start, one of the three places in front of you is at least as good, and probably better.
平均値は 最大値・最小値そのものか それらの間の値でなければなりません つまり 最大値より大きかったり 最小値より小さいことはありえません だから あなたがどこから始めようと あなたの前にある3つの位置の1つは 生存確率が少なくとも同じか 多分 それ以上です この考察は非常に強力です
This observation is incredibly powerful. It means that wherever you are in line, it’d be wise to trade your place for one of the three spots in front of you. Let’s ignore which for now and think of them as a trio— this trio’s maximum value is better than this trio’s, and so on. Keep going and you’ll reach the front... These three spots must contain the extreme values— the best and worst probabilities— for the entire line. In other words, they’re all we need to consider.
要は 列のどこにいようと 自分の前の3つの位置のうち1つと 替わるのが賢明というわけです どの1つかはさておき この3つの位置をトリオと考えてみましょう このトリオの最大値は このトリオの最大値より上だ というように これを列の先頭まで続けると… この3つの位置には この列全体の最大値と最小値 ― つまり最高の確率と最悪の確率が 含まれているはずです ということは 私たちはここだけを考えればいいわけです 1の位置はダメです
Place 1 is bad. Head one would save you, and the other two doom you forever. That’s just a 1 in 3 chance to escape.
頭1は あたなたを救いますが 頭2と3は あなたを永久に滅ぼします 脱出できる確率がたった3分の1ですね 2の位置はマシです 頭2は あなたを救い、頭3は 滅ぼし
Place 2 is better: head two is great, head 3 is bad, and head 1 is ok in that it gives you another chance.
頭1は もう一度チャンスをくれるので まあ 良いでしょう
But place 3 is best, because head 3 saves you while heads 1 and 2 both give you extra chances.
でも一番良いのは3の位置です 頭3が あなたを救い 頭1と2も さらなるチャンスをくれます
If you did want to consider the exact probabilities, the odds of surviving in place 3 are 16 out of 27, or close to 60%. The spots later in line tend to be very close to having a 50% chance of survival. Why 50%? Because every time Cerberus sends one soul up to be reborn, he leaves 0, 1, or 2 souls in the underworld. That averages out to one person staying for each one who gets freed.
正確な確率を知りたければ 3の位置の 生存確率は 27分の16 つまり60%近くになります それより後ろの位置では 後ろにいくほど 生存確率が50%にとても近づいていきます なぜ50%? なぜなら ケルベロスが霊を1つ 蘇らせるたびに 0、1、2人の霊を 冥界に残すからです 平均すると 1人が釈放されると 1人が冥界に残ることになります
But you can beat those odds handily with what you now know. Hermes has places to be, and so do you. He rewards your insight by sneaking you into the third spot. And from there it’ll be just a short wait to learn your ultimate fate.
でも 今なら簡単に その確率を打破できますよね へルメスにも あなたにも 居場所があります ヘルメスは あなたの賢さに報いて こっそりと3番目の位置に入れてくれました あなたの運命は まもなく分かるでしょう