Ah, spring. As Demeter, goddess of the harvest, it’s your favorite season. Humans and animals look to you to balance the bounty of the natural world, which, like any self-respecting goddess, you do with a pair of magical dice. Every day you roll the dice at dawn, and all lands that match the sum of the two dice produce their resources. The resulting frequency of sums across the season keeps your land in perfect harmony; any other rates would spell ruin.
À, mùa xuân. Với vai là Demeter, nữ thần mùa màng, đó là mùa yêu thích của bạn. Con người và muôn thú ngước nhìn bạn phân chia các nguồn tài nguyên thiên nhiên, mà bạn thực hiện nhờ vào cặp xúc xắc kì diệu, như bao nữ thần đáng kính khác. Mỗi ngày bạn tung xúc xắc lúc bình minh, và tất cả các vùng đất khớp với tổng hai cục xúc xắc sẽ sản sinh tài nguyên. Xác suất của mỗi tổng số xuyên các mùa giữ vùng đất của bạn hài hòa hoàn hảo; bất kỳ tỉ lệ khác sẽ gây ra sự tàn vong.
And that’s why it was particularly rotten when Loki, the Norse trickster god, invaded your land and cursed your dice, causing all the dots to fall off. When you try to reaffix them, you find that one die won’t accept more than four dots on any of its sides, though the other has no such constraint.
Và đó là lý do sự việc đặc biệt đáng ghét khi Loki, vị thần lừa đảo Bắc Âu, xâm chiếm đất của bạn và nguyền rủa con xúc xắc, khiến tất cả các chấm rơi ra. Khi bạn cố gắng gắn lại chúng, bạn thấy một con xúc xắc không mang nhiều hơn bốn dấu chấm ở bất kỳ mặt nào của nó, mặc dù cục kia lại không ràng buộc như vậy.
You can use Hephaestus’ furnace to seal the dots in place before the sun rises, but once sealed you can’t move or remove them again. How can you craft your dice so that, when rolled and summed, every total comes up with the exact same frequency as it would with standard 6-sided dice?
Bạn có thể sử dụng lò của thần Hephaestus gắn lại các chấm trước khi mặt trời mọc, nhưng một khi niêm phong, bạn không thể di chuyển hoặc gỡ chúng. Làm thế nào bạn chế tạo xúc xắc, để khi tung ra và cộng lại, mọi tổng số đều có cùng xác suất như với xúc xắc 6 mặt tiêu chuẩn?
Pause here to figure it out for yourself. Answer in 3
Tạm dừng ở đây để suy nghĩ. Trả lời trong 3 giây
Answer in 2
Trả lời trong 2 giây
Answer in 1
Trả lời trong 1 giây
Normal dice can roll any sum from 2 to 12, but sums in the middle tend to come up more frequently than ones on the ends. We can see the odds of rolling any sum by making a table, with all the possibilities for one die represented on the top, and those for the other on the side. The table lets us see at a glance that there are six ways to roll a 7, but only two ways to roll a 3.
Cặp xúc xắc bình thường có thể tung bất kỳ tổng số nào từ 2 đến 12, nhưng tổng ở giữa có xu hướng xuất hiện thường xuyên hơn so với tổng ở cuối. Chúng ta có thể thấy tỷ lệ lăn các tổng số bằng cách lập một bảng, với tất cả các kết quả cho một con xúc xắc được biểu thị ở trên cùng và những con số của con còn lại ở bên cạnh. Bảng cho phép chúng ta lướt thấy rằng có sáu cách để tung tổng 7, nhưng chỉ có hai cách để tung tổng 3.
This also gives us an approach to crafting our new set of dice. Matching the original sum frequencies means that the locations of the sums in this table may change, but the numbers and quantities of each sum must stay the same. In other words, there still must be exactly one 2, two 3s, and so on.
Việc này cũng mở chúng ta hướng mới để tạo cặp xúc xắc mới. Giữ xác suất ban đầu của các tổng số đồng nghĩa vị trí của các tổng số trong bảng này có thể thay đổi, nhưng số hạng và số lượng của mỗi tổng phải giữ nguyên. Nói cách khác, vẫn phải có chính xác một số 2, hai số 3, v.v.
To start, we’ve got to roll that 2, and since we have to use positive, whole numbers, there’s only one choice: each die needs a 1 on it.
Để bắt đầu, chúng ta phải tung số 2 đó, và vì chúng ta phải sử dụng số nguyên dương, nên chỉ có một lựa chọn: mỗi con xúc xắc cần một số 1 trên đó.
What else do we know? Assuming we have a 4— the highest number possible— on the cursed die, the other one would need an 8 in order to have one way to roll 12. In fact, we know we require a single 1 and a single 4 on the cursed die, or we’d have too many ways to roll a 2 or a 12.
Chúng ta còn biết gì nữa? Giả sử chúng ta có 4 - con số cao nhất có thể - trên con xúc xắc bị nguyền rủa, con còn lại sẽ cần số 8 để có cách cho ra tổng 12. Thực tế, ta biết ta cần một con số 1 và một con số 4 trên viên xúc xắc bị rủa đó, hoặc chúng tôi sẽ có quá nhiều cách để tung ra 2 hoặc 12.
So the cursed dies remaining four sides must have a mix of 2s and 3s. If we have three or four 2s, we can roll the sum 3 too many ways. Similarly, if we have three or four 3s, we’d get the sum 11 too often. So the only possibility is for the cursed die to have two 2s and two 3s.
Nên bốn mặt còn lại của xúc xắc bị nguyền phải có sự pha trộn của 2 và 3. Nếu chúng ta có ba hoặc bốn số 2, chúng ta có thể cho ra tổng 3 quá nhiều. Tương tự, nếu ta có ba hay bốn số 3, ta sẽ nhận được tổng 11 rất thường xuyên. Vì vậy, khả năng duy nhất là để con xúc sắc bị nguyền rủa có hai số 2 và hai số 3.
With one die completed, we should be able to figure out the missing values on the second.
Với một con xúc xắc hoàn thành, chúng ta sẽ có thể tìm ra các giá trị còn thiếu ở con thứ hai.
First, we need one more way to make 10 and 4, so we must have one 3 and one 6.
Đầu tiên, chúng ta cần thêm một cách để tạo 10 và 4, vì vậy chúng ta phải có một con 3 và một con 6.
We now need one more way to make 5 and 9. That forces us to choose 4 and 5 for the final sides. Fill them in, and lo and behold, we have a distribution table where every possible sum shows up the same number of times as with our original dice!
Bây giờ chúng ta cần thêm một cách để tạo ra 5 và 9. Điều đó buộc chúng ta phải chọn 4 và 5 cho các bên cuối cùng. Điền chúng vào, và nhìn xem, chúng ta có một bảng phân phối trong đó mọi tổng hiển thị cùng số lần như với xúc xắc ban đầu của chúng ta!
The discovery of these dice was made in 1978 by George Sicherman, which is why they’re referred to as “Sicherman dice.” Incredibly, this is the only alternate way to make two 6-sided dice with the same distribution of sums as standard dice.
Những viên xúc xắc này được khám phá năm 1978 bởi George Sicherman, đó là lý do chúng được gọi là “xúc xắc Sicherman”. Đáng kinh ngạc khi đây là cách duy nhất để tạo ra hai viên xúc xắc có 6 mặt với cùng phân phối tổng như xúc xắc tiêu chuẩn.
You send the dice to be reforged, confident that you’ve averted disaster.
Bạn gửi xúc xắc để được rèn lại, tự tin rằng bạn đã tránh được thảm họa.
Now it’s time to repay the Norse gods with a gift of your own.
Bây giờ là lúc để trả ơn các vị thần Bắc Âu bằng một món quà của riêng bạn.