This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Đây là Zeno ở xứ Elea, một nhà triết học Hy Lạp cổ đại nổi tiếng vì đã đề ra rất nhiều những nghịch lý, lý lẽ nghe thì tưởng chừng rất hợp lý, nhưng kết luận lại rất mâu thuẫn và vô lý. Hơn 2000 năm trước, câu đố kì lạ của Zeno đã tạo nên nguồn cảm hứng cho các nhà toán học và triết học hiểu thêm về bản chất của "infinity" (sự vô hạn). Một trong những vấn đề nổi tiếng nhất Zeno nêu ra là "nghịch lý lưỡng phân", ("the dichotomy paradox") trong tiếng Hy Lạp cổ có nghĩa là "nghịch lý của sự phân đôi" Nó là như thế này: Sau một ngày dài ngồi một chỗ và suy nghĩ, Zeno quyết định đi bộ từ nhà của ông đến công viên. Không khí trong lành làm đầu óc của ông thoáng đãng và giúp ông suy nghĩ thấu đáo hơn. Để đến công viên, trước tiên ông phải đi hết nửa đoạn đường đến đó. Phần hành trình này tốn một khoảng thời gian nhất định. Khi ông đến được nửa đường, ông phải đi được nửa quãng đường còn lại. Một lần nữa, sẽ mất một khoảng thời gian hữu hạn nhất định. Khi ông đến được đó, ông lại phải đi bộ một nửa quãng đường còn lại, lại tốn một lượng thời gian hữu hạn nhất định. Cứ tiếp tục như thế mãi. Bạn có thể thấy rằng quá trình này sẽ diễn ra mãi mãi, chia đôi quãng đường còn lại thành từng phần nhỏ hơn và nhỏ hơn, mỗi phần lại tốn một khoảng thời gian hữu hạn nhất định. Thế, Zeno mất bao lâu để đến được công viên? Để tìm ra kết quả, bạn cần phải thêm thời gian cho từng quãng đường trong chuyến đi này. Vấn đề là, có "vô hạn" những quãng đường "hữu hạn". Bởi vậy, phải chăng tổng thời gian là vô hạn? Hơn nữa, lý lẽ này hoàn toàn tổng quát. Nó nói rằng để đi từ địa điểm này đến một địa điểm khác ta sẽ phải tốn một lượng "vô hạn" thời gian. Nói một cách khác, sự di chuyển này là bất khả thi. Câu kết luận rõ ràng là vô lý, nhưng đâu là sai lầm trong lý luận này? Nhằm giải quyết nghịch lý này, ta cần phải biến câu chuyện thành một bài toán. Giả sử quãng đường từ nhà Zeno đến công viên là 1 dặm và ông đi được 1 dặm trong 1 giờ. Lẽ tự nhiên ta biết rằng thời gian của chuyến đi này là 1 tiếng. Nhưng, hãy xem xét mọi thứ từ điểm nhìn của Zeno và phân chia chuyến đi ra từng phần. Nửa đầu chuyến đi tốn "một nửa" giờ đồng hồ, phần tiếp theo mất một phần tư giờ, phần thứ ba mất một phần tám giờ, và cứ thế. Cộng tất cả quãng thời gian này, ta sẽ có được một chuỗi tổng trông như thế này. "Bây giờ", Zeno có lẽ đã nói, "vì ở đây có vô hạn số hạng ở phía bên phải của phương trình, và từng hạng tử là hữu hạn, tổng tất nhiên phải bằng vô hạn?" Đây chính là vấn đề trong lý lẽ của Zeno. Các nhà toán học đã nhận ra rằng: Hoàn toàn có thể cộng vô số số hạng có giá trị hữu hạn và vẫn nhận được một kết quả hữu hạn. "Bằng cách nào?", bạn thắc mắc. Để hiểu được, hãy suy nghĩ theo cách như sau. Bắt đầu với một hình vuông có diện tích 1 mét vuông. Bây giờ, chẻ đôi hình vuông ra, và lại chẻ đôi một nửa đó, và tiếp tục. Khi chúng ta làm như vậy, Hãy ghi lại diện tích của từng mảnh. Lần chẻ đầu tiên cho bạn hai phần, mỗi phần "1/2" mét vuông. Lần chẻ tiếp theo, một trong hai phần đó lại bị chia đôi, và cứ thế tiếp tục. Nhưng, dù ta có chẻ đôi bao nhiều lần đi chăng nữa, tổng diện tích của các mảnh ấy vẫn là diện tích của hình vuông ban đầu. Bây giờ, các bạn có thể hiểu tại sao ta lại chọn cách này để cắt hình vuông ấy. Ta vừa thu được cùng một chuỗi vô hạn như chuỗi thời gian của chuyến đi của Zeno. Khi ta tạo ra càng nhiều mảnh màu xanh, theo ngôn ngữ toán học, cũng giống như việc ta cho n tiến tới vô hạn, cả hình vuông được biến thành màu xanh. Nhưng vì diện tích của hình vuông chỉ là 1, nên cái tổng vô hạn này cũng phải bằng 1. Trở lại với chuyến đi của Zeno, ta sẽ thấy nghịch lý được giải quyết thế nào. Không những chuỗi vô hạn có tổng mang giá trị là một số hữu hạn, mà giá trị hữu hạn ấy còn giống hệt như những gì theo thông lý, chúng ta tin là đúng. Chuyến đi của Zeno mất 1 tiếng đồng hồ.