This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Bu Elealı Zeno, kurduğu argümanları mantıklı ama sonuçları absürd veya çelişkili olan çeşitli paradokslarıyla ünlü bir Antik Yunan filozofu. 2000 yılı aşkın bir süredir Zeno'nun akıl çelici bilmeceleri, matematikçilere ve filozoflara sonsuzluğu daha iyi anlama konusunda ilham vermiştir. Zeno'nun en bilinen problemlerinden biri, Antik Yunancada "ikiye ayırma paradoksu" anlamına gelen dikotomi paradoksudur. Şöyle bir paradokstur: Tüm gün boyunca oturup düşündükten sonra Zeno evinden parka yürümeye karar verir. Temiz hava aklını ferahlatır ve daha iyi düşünmesini sağlar. Parka varabilmek için önce yolun yarısını yürümesi gerekmektedir. Yolculuğunun bu kısmı belirli bir süre alır. Orta noktaya geldiği zaman, kalan uzaklığın yarısını yürümesi gerekmektedir. Aynı şekilde bu da belirli bir zaman alır. İkinci noktaya vardığında hala kalan mesafenin yarısını yürümelidir, bu da aynı şekilde belirli bir zaman alır. Bu tekrar ve tekrar gerçekleşir. Gördüğünüz gibi, her bir geçişi belirli bir süre alan mesafeleri giderek, daha küçük parçalara bölerek bunu sonsuza kadar yapabiliriz. Öyleyse Zeno'nun parka varması ne kadar sürer? Bunu anlamak için yolculuğun her parçasının aldığı zamanı toplamalısınız. Buradaki problem, bu küçük parçalardan sonsuz tane olması. Dolayısıyla toplam zaman sonsuz olmalı, değil mi? Bu arada, buradaki argüman tamamen genel. Paradoksa göre herhangi bir lokasyondan bir diğerine gitmek sonsuz zaman almalı. Başka bir deyişle, her hareket imkansızdır. Bu sonuç bariz bir şekilde absürt, ama mantığındaki kusur nerede? Paradoksu çözmek için hikayeyi matematik sorusuna çevirmek yardımcı olabilir. Zeno'nun evinin parktan bir kilometre uzakta olduğunu ve Zeno'nun saatte bir kilometre yürüdüğünü farz edelim. Genel bilgimize göre bu yolculuk bir saat kadar sürmeli. Hadi olaya bir de Zeno'nun bakış açısından bakalım ve yolu parçalara bölelim. Yolculuğun ilk yarısı yarım saat alır, ikinci kısmı 15 dakika sürer, üçüncü kısmı ise bir saatin 1/8'i kadar ve bu böyle gider. Tüm bu süreleri toplayınca buna benzer bir düzen elde ederiz. Zeno şöyle diyebilirdi: "Şimdi, sağ tarafta elemanlardan sonsuz tane olduğundan ve her eleman sonlu olduğundan, toplam sonsuza eşit olmalı, değil mi?" Zeno'nun argümanındaki sıkıntı işte burada. Matematikçilerin de artık bildiği gibi, sonsuz tane sonlu elemanı toplayıp sonlu bir cevap elde etmek mümkün. Nasıl mı? Şöyle düşünelim: Bir metrekarelik alanı olan bir kareyle başlayalım. Şimdi kareyi ortadan ikiye bölelim, sonra da kalan yarıyı ikiye bölelim ve böyle devam edelim. Bunu yaparken de parçaların alanlarını gözlemleyelim. İlk bölme iki parça oluşturur, iki parçanın da alanı yarımdır. İkinci bölüş de bu yarımlardan birini yarıya böler ve bu düzen devam eder. Ama kutuları ne kadar bölersek bölelim, toplam alan hala tüm parçaların alanlarının toplamıdır. Şimdi neden kareyi kesmek için bu yöntemi seçtiğimizi anlayabilirsiniz. Zeno'nun yolculuğundaki zamanda elde ettiğimiz sonsuz diziyi elde ettik. Gittikçe daha fazla mavi parça oluştururken matematik jargonunu kullanırsak ve n sonsuza giderken limitini alırsak bütün kare maviyle kaplanır. Ama karenin alanı sadece 1 birimdir, bü yüzden de sonsuz toplam 1'e eşit olmalıdır. Zeno'nun yolculuğuna dönersek paradoksun nasıl çözüldüğünü şimdi anlayabiliriz. Sonsuz serinin toplamı yalnızca sonlu bir cevap vermekle kalmıyor, o sonlu cevap aynı zamanda sağduyumuzun bize doğru olduğunu söylediği cevap. Zeno'nun yolcuğulu bir saat sürüyor.