This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Это Зенон Элейский — древнегреческий философ, известный тем, что открыл парадоксы, где аргументы выглядят логично, но заключения либо абсурдны, либо противоречивы. Вот уже более 2 000 лет головоломки Зенона вдохновляют математиков и философов лучше понять природу бесконечности. Одна из самых известных задач Зенона называется парадокс дихотомии, что на древнегреческом означает «парадокс деления на две части». Это звучит примерно так: после долгого дня, проведённого в раздумьях, Зенон решает прогуляться от своего дома до парка. Свежий воздух очищает его разум и помогает сосредоточиться. Чтобы добраться до парка, сначала необходимо преодолеть половину пути. Эта часть путешествия занимает некоторое конечное время. Когда он достигнет середины пути, нужно будет пройти половину оставшегося расстояния. И снова это займёт какое то конечное время. После, ему снова необходимо преодолеть половину от оставшегося расстояния, на что снова понадобится некоторое конечное время. Это будет происходить снова и снова. Как видите, Зенон может идти так бесконечно, деля оставшееся расстояние на всё меньшие и меньшие части, каждая из которых требует определённое время на прохождение. Так как же долго Зенон шёл до парка? Для начала мы должны сложить время, потраченное на каждую часть путешествия. Но проблема в бесконечном количестве этих частей-половинок. Получается, что и время путешествия будет бесконечным? Этот аргумент можно обобщить: «Путешествие из одного места в любое другое место занимает бесконечное время». Другими словами, любое движение невозможно. Это заключение совершенно абсурдно! Но где же находится изъян в этой логике? Чтобы решить этот парадокс, нам следует перевести историю в математическое уравнение. Предположим, что дом Зенона в одной миле от парка, и Зенон идёт со скоростью одна миля в час. Простое арифметическое вычисление показывает, что путешествие продлится 1 час. Но давайте взглянем на это с точки зрения Зенона и разобьём путешествие на части. Первая часть путешествия займёт 1/2 часа, следующая — 1/4 часа, следующая — 1/8 часа, и так далее. Сложив все временны́е отрезки, мы получим пример, выглядящий так. «Итак, — сказал бы Зенон, — поскольку справа в уравнении мы имеет бесконечное число частей и каждая часть конечна, сумма должна равняться бесконечности, не так ли?» В этом и заключается проблема аргументации Зенона. Позже математики поняли, что возможно складывать бесконечное множество частей и при этом получать конечный ответ. Но вы спросите: «Как?» Взглянем на пример. Начнём с квадрата площадью в один квадратный метр. Затем поделим его пополам, потом поделим половину ещё пополам и так далее. Пока мы это делаем, определим площадь получаемых частей. Первый разрез образует две части, каждая площадью, равной половине первой. Следующий разрез делит одну из них ещё пополам и так далее. Не важно, сколько раз мы будем разрезать квадрат, общая площадь квадрата будет равняться сумме всех его частей. Теперь вы можете понять, почему мы выбрали именно этот способ деления квадрата. Мы получили ту же бесконечную серию, что и в истории Зенона. Создавая всё новые и новые голубые участки, или, выражаясь математическим языком, взяв предел при n, стремящейся к бесконечности, до полного заполнения квадрата голубым цветом. Но площадь квадрата — это целая часть, поэтому и сумма бесконечных частей тоже должна быть равна одному. Вернёмся к путешествию Зенона. Теперь мы можем увидеть, как разрешается парадокс. В сумме бесконечные части дают нам конечный ответ, и этот конечный ответ такой же, какой диктует нам наш здравый смысл. Путешествие Зенона заняло 1 час.