This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Acesta e Zeno din Elea, un filosof din Grecia antică renumit pentru inventarea unui număr de paradoxuri. argumente care par logice, dar a căror concluzie e absurdă sau contradictorie. Timp de mai mult de 2.000 de ani, ghicitorile lui Zeno au inspirat matematicieni și filosofi pentru a înțelege mai bine infinitul. Una dintre cele mai cunoscute probleme ale lui Zeno se numește paradoxul dihotomiei, ceea ce în greaca veche înseamnă „paradoxul tăierii în două”. Sună cam așa: După ce a petrecut mult timp gândindu-se, Zeno se hotărăște să se plimbe de acasă până în parc. Aerul proaspăt îi limpezește gândurile și îl ajută să gândească mai bine. Pentru a ajunge în parc, trebuie să străbată jumătate de distanță. Această parte a plimbării îi ia o perioadă finită de timp. Odată ajuns la jumătatea traseului, trebuie să mai parcurgă jumătatea rămasă. Îi ia, din nou, un timp anume. Odată ajuns acolo, mai trebuie să parcurgă jumătate din distanța rămasă, ceea ce îi ia din nou o vreme. Asta se întâmplă iar și iar și iar. Vedeți că am putea continua așa la nesfârșit, împărțind orice distanță rămasă în părți tot mai mici, fiecare necesitând un anumit timp pentru a fi parcursă. Deci cât timp îi ia lui Zeno să ajungă în parc? Pentru a afla, trebuie să adăugați timpul pentru fiecare distanță a călătoriei. Problema e că există un număr infinit de astfel de „fragmente” de timp finite. N-ar trebui, deci, ca timpul total să fie infinit? Apropos, acest argument e complet general. Spune că drumul de la orice locație până la o altă locație ar trebuie să dureze o perioadă infinită de timp. Cu alte cuvinte, spune că mișcarea e imposibilă. Evident, concluzia asta e absurdă, dar unde e fisura în logică? Pentru a rezolva paradoxul, ne ajută dacă transformăm povestea într-o problemă matematică. Să presupunem că parcul e la un kilometru de casa lui Zeno. și că Zeno merge cu un kilometru pe oră. Logica ne spune că timpul necesar pentru călătorie ar trebui să fie o oră. Dar hai să privim lucrurile prin raționamentul lui Zeno și să împărțim călătoria în porțiuni. Prima jumătate a călătoriei durează o jumătate de oră, următoarea porțiune durează un sfert de oră, a treia parte durează o optime de oră, și așa mai departe. Adunând toate aceste perioade, obținem o serie care arată cam așa. „Acum”, ar spune Zeno, „din moment ce există o infinitate de termeni în partea dreaptă a ecuației, și fiecare termen e finit, suma ar trebui să fie egală cu infinitul, nu-i așa?” Asta e problema în paradoxul lui Zeno. După cum au realizat matematicienii, e posibil să aduni o infinitate de numere finite și să obții un număr finit. „Cum?” veți întreba. Hai să privim lucrurile astfel. Să începem cu o suprafață cu aria de un metru pătrat. Apoi să împărțim pătratul în jumătate, și jumătatea care rămâne în jumătate, și așa mai departe. În timp ce facem asta, să ținem evidența ariilor. Prima „felie” împarte pătratul în două, fiecare cu o arie de o jumătate. Următoarea felie împarte una dintre cele două jumătăți în jumătate, și așa mai departe. Dar indiferent de câte ori o înjumătățim, aria totală e suma ariilor tuturor părților. Înțelegeți acum de ce alegem acest fel de a tăia pătratul. Am obținut aceeași serie infinită pe care am avut-o pentru timpul călătoriei lui Zeno. Pe măsură ce tăiem tot mai multe bucăți, în jargon matematic, atingem limita pentru n tinzând la infinit când întregul pătrat e acoperit de albastru. Dar aria pătratului e doar o unitate, deci suma infinită trebuie să fie egală cu unu. Întorcându-ne la plimbarea lui Zeno, vedem acum cum e rezolvat paradoxul. Nu numai că seria infinită are o sumă finită, dar acel număr finit e același cu cel pe care ni-l indică rațiunea. Plimbarea lui Zeno durează o oră.