This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Este é Zenão de Eleia, um antigo filósofo grego famoso por inventar uma série de paradoxos: argumentos que parecem lógicos, mas cuja conclusão é absurda ou contraditória. Durante mais de 2000 anos, os quebra-cabeças complexos de Zenão inspiraram matemáticos e filósofos a compreender melhor a natureza do infinito. Um dos problemas mais conhecidos de Zenão é o chamado paradoxo da dicotomia, que, em grego antigo, quer dizer "o paradoxo de partir em dois". É algo deste género: Depois de um longo dia a pensar, Zenão decide ir de sua casa ao parque. O ar fresco ajuda-o a limpar a mente e a pensar melhor. Para chegar ao parque, primeiro tem que chegar a meio do caminho. Esta parte da sua viagem demora um tempo finito Quando ele chega ao meio, tem que caminhar metade da restante distância. Novamente, isto demora um tempo finito. Quando chega aí, ainda tem que caminhar metade da restante distância, o que volta a demorar um período finito de tempo. Isto repete-se uma e outra e outra vez. Como podem ver, podemos continuar isto para sempre, dividindo a distância que sobrar em pedaços cada vez mais pequenos sendo que cada um demora um tempo finito a ser percorrido. Então, quando tempo demora Zenão a chegar ao parque? Para descobrirmos, temos que adicionar os tempos de cada uma das partes da viagem. O problema é que há infinitas partes de tempo finito. Portanto, o total não deveria ser infinito? Já agora, este argumento é completamente geral. Diz que qualquer viagem de um ponto para outro deveria demorar um tempo infinito. Por outras palavras, diz que qualquer movimento é impossível. Esta conclusão é claramente absurda, mas onde é que está o erro na lógica? Para resolver o paradoxo, vamos transformar a história num problema matemático. Vamos supor que a casa de Zenão está a um quilómetro do parque e que Zenão anda a um quilómetro por hora. O senso comum diz-nos que o tempo da viagem deverá ser de uma hora. Mas vamos ver a questão do ponto de vista de Zenão e dividir a viagem em partes mais pequenas. A primeira metade da viagem demora meia hora, a parte seguinte demora um quarto de hora, a terceira demora um oitavo de uma hora, e assim por diante. Somando todos estes tempos, obtemos uma série com este aspeto. "Agora"– diria Zenão – "como o número de termos é infinito do lado direito da equação, "e cada termo individual é finito, "a soma deveria ser igual ao infinito, certo?" Este é o problema com o argumento de Zenão. Como os matemáticos vieram a descobrir, é possível somar um número infinito de termos finitos e, mesmo assim, obter uma resposta finita. "Como assim?" — perguntam vocês. Vamos ver as coisas desta forma. Vamos começar com um quadrado com um metro de área. Agora vamos partir o quadrado ao meio, e depois dividir o restante ao meio, e assim por diante. Enquanto fazemos isto, vamos anotar as áreas das peças. O primeiro corte divide em duas partes, cada uma com uma área de uma metade. O próximo corte divide uma dessas metades em metade, e assim por diante. Mas, por mais vezes que dividamos as caixas, a área total é sempre a soma de todas as peças. Já percebem porque é que escolhemos esta forma específica de cortar o quadrado. Obtemos a mesma série infinita que tínhamos com o tempo da viagem de Zenão. Ao construirmos mais e mais peças azuis, e usando o jargão matemático, quando chegamos ao limite com "n" a tender para o infinito, todo o quadrado fica coberto de azul. Mas a área do quadrado é de apenas uma unidade, e por isso a soma do infinito tem que ser igual a um. Voltando à viagem de Zenão, podemos ver como o paradoxo é resolvido. Não só obtemos uma resposta finita da soma da série infinita, como essa resposta finita é a mesma que o senso comum nos dá. A viagem do Zenão demora uma hora.