This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
To jest Zenon z Elei, starożytny grecki filozof, który wymyślił wiele paradoksów - argumentów, które wydają się logiczne ale prowadzą do absurdalnych lub sprzecznych wniosków. Przez ponad dwa tysiące lat zawiłe zagadki Zenona inspirowały matematyków i filozofów, by lepiej zrozumieć naturę nieskończoności. Jeden z najbardziej znanych problemów Zenona nazywamy paradoksem dychotomii czyli paradoksem "dzielenia na pół" w starożytnej grece. Było mniej więcej tak... Po długim dniu rozmyślań Zenon postanawia przejść się na spacer do parku. Świeże powietrze oczyszcza umysł i pomaga lepiej myśleć. Żeby dostać się do parku, Zenon najpierw musi przejść połowę drogi. Ta część wycieczki zajmuje pewną skończoną ilość czasu. Kiedy już jest w połowie, musi przejść połowę pozostałej odległości. I znów, zajmuje to skończony czas. Następnie znów ma przed sobą połowę pozostałej odległości, którą przebywa w określonym czasie. Sytuacja powtarza się. Widzicie, że możemy to robić w nieskończoność, dzielić pozostałą odległość na coraz mniejsze kawałki, a przebycie każdego to określony czas. Ile więc zajmie droga Zenona do parku? Żeby to sprawdzić musimy dodać czasy wszystkich odcinków jego wycieczki. Problem w tym, że ilość tych skończonych odcinków jest nieskończona. Czy zatem całkowity czas to nieskończoność? Zauważcie, że ten argument dotyczy wszystkiego. Chodzi o to, że podróż z jednego punktu do innego powinna trwać nieskończoność. Innymi słowy, wszelki ruch jest niemożliwy. Ten wniosek jest oczywiście absurdalny. Ale gdzie jest błąd w logice? By rozwiązać ten paradoks, musimy posłużyć się matematyką. Załóżmy, że park znajduje się w odległości mili od domu Zenona, a on chodzi z prędkością jednej mili na godzinę. Na zdrowy rozum wiemy, że droga powinna zająć godzinę. Ale spójrzmy na to jak Zenon i podzielmy drogę na kawałki. Pierwsza połowa zajmie pół godziny, kolejna część ćwiartkę, trzecia jedną ósmą godziny, i tak dalej. Kiedy dodamy wszystkie te czasy wyjdzie nam taki ciąg. "Teraz" - powiedziałby Zenon, "skoro jest nieskończenie wiele czasów po prawej stronie równania a każdy z nich jest skończony, sumą powinna być nieskończoność, tak?". Oto problem z argumentem Zenona. Jak zauważyli matematycy, możemy dodać nieskończenie wiele skończonych części i wciąż mieć skończony wynik. Pytacie jak? Cóż, spójrzmy na to w ten sposób. Mamy kwadrat o powierzchni jednego metra. Podzielimy go na pół, następnie pozostałą część na pół i tak dalej. Ale dzieląc przyjrzyjmy się powierzchni powstałych części. Pierwsze cięcie tworzy dwie części, każda po powierzchni połowy. W kolejnym dzielimy jedną z połówek na pół i tak dalej. Jednak ile razy byśmy nie dzielili powierzchnia całkowita to wciąż suma wszystkich części. Widzicie teraz dlaczego pokazujemy to właśnie tak. Powstała taka sama nieskończona seria podziałów, jak w przypadku czasu podróży Zenona. Kiedy tworzymy kolejne niebieskie kawałki, mówiąc matematycznie - zakładamy, że n dąży do nieskończoności cały kwadrat staje się niebieski. Ale kwadrat jest jeden, więc suma tej nieskończonej ilości musi być równa 1. Wracając do podróży Zenona możemy zobaczyć, że rozwiązaliśmy paradoks. Nie tylko nieskończona seria prowadzi do skończonego wyniku, ale ten wynik jest taki sam jak ten, który podpowiadał nam zdrowy rozsądek. Podróż Zenona zajmie godzinę.