This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
こちらはエレア派のゼノンです 古代ギリシャの哲学者で 多くのパラドクスを生み出したことで 知られています 一見 論理的なように思えても 導かれる結論が非合理的であるか 矛盾するものです 2千年以上もの間 ゼノンの難解な命題は 数学者や哲学者が 無限の性質についての 理解を深めるのに役立ってきました ゼノンの立てた問いの 最も有名なもののひとつは 二分法のパラドクスです 古代ギリシャ語で 「2つに分けるパラドクス」の意味です これは次のようなものです 一日中 座って 思索にふけっていたので ゼノンは家から公園へ 散歩に行くことにしました 新鮮な空気でのおかげで 頭がすっきりし 思考に役立つからです 公園にたどりつくには まずは公園まで半分の所まで 行かねばなりません この部分の移動には 有限の時間がかかります 半分の地点に着いたら 残りの距離の半分を 進まねばなりません これにも 有限の時間がかかります そこまで行ったら 残りのさらに半分の距離を 歩かねばなりません これにも有限の時間がかかります これが何度も繰り返し起こります これは永遠に繰り返されるのが お分かりですね 残りの距離をどんどん 小さく分割していくと どの部分を移動するにも 有限の時間がかかります では 公園に着くまでには どれ位の時間がかかるでしょう? それを知るためには それぞれの区間にかかる時間を すべて足す必要があります 問題は 有限の大きさの部分が 無限に存在するということです では 全体でかかる時間は 無限になるのでしょうか? とはいえ この議論は まったく大雑把なものです ある一点から 別の一点までの移動には 無限の時間がかかると言っているのです つまり あらゆる運動は 不可能だということです この結論は明らかに 理屈に合いませんが この論理のどこに 欠陥があるのでしょう? このパラドクスを解明するには このお話を数学の問いに 変換するといいでしょう 仮に ゼノンの家が公園から 1マイル離れており ゼノンは時速1マイルで歩くとしましょう 常識的に考えれば 移動にかかる時間は 1時間のはずです しかし ゼノンの視点から考えて 移動距離を分割してみましょう 最初の半分の距離に かかる時間は30分 次の部分は15分 その次の部分は7.5分 といった具合です これらの時間をすべて足すと このような式になるはずです ゼノンはこう言うかもしれません 「さて 式の右辺には 無限の数の 数字が続き それぞれの数字は有限であるから その総和は無限なはずだろう?」と これがゼノンの議論における問題です 数学者がのちに 発見したところによると 有限の数を無限に足し続けて 有限の数を導くことは可能なのです どうしてでしょう? 次のように考えてみてください 面積が1平方メートルの 四角形を考えてみましょう この四角形を半分に分割して 半分をさらに半分にと 続けていきます これを続ける一方で 各部分の総面積を 見失わないようにしましょう 最初の分割では 2つになり それぞれが半分の面積です 次の分割では 半分をさらに半分にし これが続いていきます でも 何回四角形を 分割したとしても 総和はやはり すべての部分の総和です どうして このように 四角形を切ることにしたのか もう おわかりですね ゼノンの移動時間と同じような 無数の四角形が得られるからです 青い四角形が増えるにつれて 数学用語で言うなれば 分割の回数である n が 無限大に近づくにつれて 四角形全体が青色になっていきます ですが 四角形の面積は ちょうど1ですから この無限の総和は1であるはずです ゼノンに話を戻しましょう もう パラドクスの解明方法が わかりましたね 無限に続く数の総和が 有限の数であるだけでなく その有限の数というのは 常識的な答えと同じなのです ゼノンの移動には1時間かかるのです