This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Questo è Zenone di Elea, un antico filosofo greco famoso per aver inventato molti paradossi, discorsi che sembrano illogici, le cui conclusioni sono assurde o contraddittorie. Per più di 2000 anni, gli enigmi complicati di Zenone hanno ispirato matematici e filosofi a comprendere meglio la natura dell'infinito. Uno degli enigmi più conosciuti di Zenone è detto il paradosso della dicotomia, che in Greco antico significa "il paradosso della divisione in due parti". Più o meno è cosi: dopo un lungo giorno passato seduto a contemplare, Zenone decide di camminare da casa sua al parco. L'aria fresca gli schiarisce la mente e lo aiuta a pensare meglio. Per arrivare al parco, deve prima arrivare a metà strada dal parco. Il tragitto del suo cammino richiede solo una quantità di tempo finita. Una volta arrivato a metà strada, deve camminare per il restante percorso. Di nuovo, ciò richiede una finita quantità di tempo. Una volta arrivato lì, deve ancora camminare metà del precorso rimasto, che richiede di nuovo una quantità di tempo finita. Ciò accade ancora, e poi ancora, e poi ancora. Si capisce che si può proseguire così per sempre, dividendo qualsiasi distanza rimasta in frammenti sempre più brevi, ognuno dei quali necessita una quantità di tempo finita per essere percorso. Quindi, quanto ci metterà Zenone ad arrivare al parco? Bè, per scoprirlo, si devono sommare tutti i tempi di ciascuna parte del tragitto. Il problema è: esiste un numero infinito di queste parti. Quindi, il totale non dovrebbe essere infinito? A proposito, questo problema è completamente generale. Dice che spostarsi da qualsiasi posto verso qualsiasi altro posto dovrebbe richiedere una quantità di tempo infinita. In altre parole, dice che il movimento non è possibile. La conclusione è chiaramente assurda, ma dov'è la falla nel ragionamento logico? Per risolvere il paradosso, bisogna tradurlo in un problema matematico. Supponiamo che la casa di Zenone sia a un miglio dal parco e che Zenone cammini ad un miglio all'ora. Il buon senso ci dice che la durata del tragitto dovrebbe essere di un'ora. Ma vediamo le cose dal punto di vista di Zenone e dividiamo il tragitto in parti. La prima metà del tragitto dura una mezz'ora, la seconda dura un quarto d'ora, la terza dura un ottavo di un'ora, e cosi via. Facendo la somma di questi tempi abbiamo una serie come questa. "Ora", Zenone potrebbe dire, "siccome vi sono infiniti termini dell'equazione sulla parte destra dell'equazione stessa e ognuno dei termini è finito la loro somma dovrebbe essere infinita, giusto?" Questo è il problema del ragionamento di Zenone. Come hanno compreso i matematici, si possono aggiungere un numero infinito di termini finiti e ottenere un termine finito come risultato. "Come?" vi chiederete. Pensiamola cosi. Abbiamo un quadrato con un'area di un metro. Ora, dividiamo il quadrato in due metà, e poi dividiamo la metà rimanente a metà e cosi via. Mentre procediamo, teniamo conto delle aree dei singoli pezzi. La prima divisione produce due parti ognuna delle quali ha un'area di un mezzo. La seguente, divide una delle due parti a metà, e cosi via. Ma, non importa quante volte dividiamo le aree, l'area totale è ancora la somma delle aree di tutte le parti. Ora capite perché abbiamo scelto questo particolare metodo per suddividere il quadrato. Abbiamo ottenuto le medesime serie infinite come nel caso del tragitto di Zenone. Costruendo man mano un numero sempre maggiore di aree blu, in termini matematici, considerando il limite di "n" tendente all'infinito, il quadrato intero diventa ricoperto di colore blu. Ma l'area del quadrato è solo una unità, e cosi la somma di infiniti deve essere uguale a uno. Tornando al tragitto di Zenone, possiamo ora capire come risolvere il paradosso. Non solo la somme di serie infinite produce una risposta finita, ma quella risposta finita è la stessa che il buon senso suggerisce essere vera. Il tragitto di Zenone dura un'ora.