This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Ini adalah Zeno dari Elea, seorang filsuf Yunani kuno yang terkenal karena menciptakan beberapa paradoks, argumen yang tampak logis, tapi memiliki kesimpulan yang absurd atau kontradiktif. Selama 2.000 tahun lebih, teka-teki Zeno yang sangat sulit telah menginspirasi para ahli matematika dan filsuf untuk memahami lebih jauh tentang sifat tak hingga. Salah satu teka-tekinya yang terkenal disebut paradoks dikotomi, yang berarti, “paradoks membagi jadi dua” dalam bahasa Yunani Kuno. Isinya seperti ini: Setelah duduk-duduk seharian dan berpikir, Zeno memutuskan untuk berjalan dari rumahnya menuju taman. Udara segar menjernihkan pikirannya dan membantunya berpikir. Untuk sampai ke taman pertama ia perlu mencapai setengah jalan ke taman. Bagian perjalanan ini, membutuhkan sejumlah waktu tertentu. Ketika ia mencapai setengah perjalanan, ia perlu berjalan untuk setengah sisanya. Sekali lagi, ini membutuhkan sejumlah waktu tertentu. Ketika ia sampai, ia masih perlu berjalan setengah dari sisa jarak yang ada, yang akan menghabiskan sejumlah waktu tertentu. Ini terjadi secara berulang-ulang. Kita dapat terus seperti ini selamanya, membagi setiap sisa jarak yang ada menjadi bagian-bagian yang lebih kecil, masing-masing membutuhkan sejumlah waktu tertentu untuk dilewati. Jadi, berapa waktu yang dibutuhkan untuk mencapai taman? Untuk mencari tahu, kita perlu menambahkan waktu dari setiap bagian dari perjalanan. Masalahnya, bagian-bagian tertentu ini berjumlah tak terhingga. Jadi, bukankah jumlah waktu keseluruhan adalah tak terhingga? Omong-omong, argumen ini sepenuhnya lazim. Dikatakan bahwa bepergian dari mana pun ke lokasi lain harus memakan waktu yang tidak terbatas. Dengan kata lain, bahwa semua gerakan adalah mustahil. Kesimpulan ini jelas-jelas absurd, tapi di mana kelemahan dari penalaran ini? Untuk memecahkan ini, ada baiknya mengubah cerita menjadi masalah matematika. Misalkan rumah Zeno berjarak satu mil dari taman dan Zeno berjalan satu mil per jam. Waktu perjalanan menurut akal sehat seharusnya satu jam. Tapi, mari kita lihat dari sudut pandang Zeno, dan membagi perjalanan menjadi beberapa bagian. Setengah dari perjalanan memakan waktu setengah jam, bagian selanjutnya memakan seperempat jam, bagian ketiga memakan seperdelapan jam, dan seterusnya. Jika semuanya dijumlahkan, kita mendapatkan deret seperti ini, “Sekarang”, Zeno berkata, “Karena ada banyak istilah tak terhingga di sisi kanan persamaan, dan setiap istilah individu terbatas, jumlahnya harus sama tak terhingga, kan?” Inilah masalah pada argumen Zeno. Seperti yang telah disadari para matematikawan, mungkin untuk menjumlahkan suku-suku terbatas yang tak terhingga dan tetap mendapatkan jawaban yang terbatas. “Bagaimana bisa?” Nah, mari pikirkan seperti ini. Mari kita mulai dengan persegi yang luasnya satu meter. Sekarang mari potong persegi menjadi dua, kemudian potong setengah yang tersisa menjadi dua, dan seterusnya. Sambil melakukan ini, mari kita amati area dari potongan itu. Potongan pertama menjadi dua bagian, masing-masing dengan luas setengah Potongan berikutnya membagi dua bagian tersebut, dan seterusnya. Namun, tidak peduli berapa kali mengiris kotak, luas totalnya masih merupakan jumlah luas dari semua bagian. Sekarang Anda dapat melihat mengapa kami memilih ini. untuk memotong persegi. Kita memperoleh hal yang sama seperti waktu perjalanan Zeno. Saat membuat semakin banyak potongan biru, menggunakan jargon matematika, seperti mengambil batas karena <i>n </i>cenderung tak terhingga, seluruh persegi menjadi penuh warna biru. Tapi luas persegi itu hanya satu satuan, dan jumlah tak terhingga harus sama dengan satu. Kembali ke Zeno, sekarang kita dapat melihat paradoks itu diselesaikan. Tidak hanya jumlah seri tak terbatas menjadi jawaban yang terbatas, tapi jawaban yang terbatas adalah sama dengan yang menurut akal sehat kita benar Perjalanan Zeno memakan waktu satu jam.