This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Ovo je Zenon iz Eleje, antički grčki filozof slavan po brojnim paradoksima koje je smislio, argumentima koji djeluju logični, no čija je konkluzija apsurdna ili kontradiktorna. Više od 2000 godina, Zenonove zagonetke inspirirale su matematičare i filozofe da bolje razumiju prirodu beskonačnosti. Jedan od najpoznatijih Zenonovih problema zove se paradoks dihotomije, što na starom Grčkom znači "paradoks dijeljenja na dva dijela". Ide otprilike ovako: Poslije dugog dana sjedenja i razmišljanja, Zenon odluči prošetati od svoje kuće od parka. Svjež zrak razbistruje mu um i pomaže kako bi bolje mislio. Kako bi došao do parka, prvo mora doći na pola puta do parka. Ovaj dio njegovog puta uzima neku konačnu količinu vremena. Jednom kada dođe do polovice, treba prehodati pola preostale udaljenosti. Ponovno, ovo uzima određenu količinu vremena. Jednom kada dođe do tamo, još treba prehodati pola preostale udaljenosti, što opet uzima neku konačnu količinu vremena. Ovo se ponavlja ponovno i ponovno i ponovno. Možete vidjeti da ovako možemo nastaviti u nedogled, dijeliti preostalu udaljenost na manje i manje dijelove, za prijelaz svakog od kojih je potrebno neko konačno vrijeme. Pa, koliko dugo treba Zenonu da dođe do parka? Kako bi to saznali, trebate zbrojiti vremena svih dijelova putovanja. Problem je to što postoji beskonačno mnogo tih konačno velikih dijelova. Stoga, nebi li ukupno vrijeme trebalo biti beskonačnost? Ovaj argument je, usput rečeno, posve opći. Kaže da bi putovanje od jedne do druge lokacije trebalo trajati beskonačno dugo. Drugim riječima, kaže da je svako kretanje nemoguće. Ovakva konkluzija je očito apsurdna, no gdje je pogreška u logici? Kako bi ga riješili, paradoks možemo pretvoriti u matematički problem. Pretpostavimo da je Zenonova kuća udaljena milju od parka i da Zenon hoda brzinom od jedne milje na sat. Zdravi razum kaže nam da bi potrebno vrijeme trebalo biti sat vremena. No, pogledajmo stvari s Zenonove točke gledišta i podijelimo putovanje na dijelove. Prva polovica putovanja traje pola sata, sljedeći dio traje četvrt sata, a treći dio traje osminu sata, i tako dalje. Zbrajajući sve ovo vrijeme, dobivamo niz koji izgleda ovako. Zenon bi mogao reći, "s obzirom da imamo beskonačno mnogo uvjeta" na desnoj strani jednadžbe, a svaki individualni uvjet je konačan, zbroj bi trebao biti jednak beskonačnosti, zar ne?" Ovo je problem sa Zenonovim argumentom. Kao što su matematičari od tada shvatili, moguće je zbrojiti beskonačno mnogo konačnih uvjeta i ipak dobiti konačni odgovor. "Kako?", pitate. Pa, razmislimo o tome ovako. Počnimo s kvadratom površine jednog metra. Sada prerežimo kvadrat napola, a onda preostalu polovicu prerežimo napola, i tako dalje. Dok ovo radimo, vodimo računa o površinama dijelova. Prvo rezanje stvara dva dijela, svaki površine pola metra. Sljedeće rezanje dijeli jednu od te dvije polovice napola, i tako dalje. No, bez obzira na to koliko puta prerežemo kvadrate, ukupna površina je i dalje zbroj površina svih dijelova. Sada možemo vidjeti zašto smo izabrali baš ovaj način dijeljenja kvadrata. Dobili smo isti beskonačni niz kao što smo imali kod vremena Zenonovog putovanja. Kako konsturiramo sve više plavih dijelova, matematičkim žargonom rečeno, kako uzimamo granicu jer n teži beskonačnosti, cijeli kvadrat postaje pokriven plavim. No površina kvadrata je samo jedna jedinica, i tako beskonačni zbroj mora biti jednak jedan. Sada možemo vidjeti kako je paradoks Zenonovog putovanja razriješen. Ne samo da beskonačni niz daje konačni zbroj, već je taj konačni zbroj isti onaj za kojeg nam zdravi razum kaže da je točan odgovor. Zenonov put traje jedan sat.