This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
זה זינו מאליה, פילוסוף יווני עתיק שידוע בהמצאת מספר פרדוקסים, טיעונים שנראים הגיוניים, אבל שהתוצאה שלהם היא אבסורדית או סותרת. במשך יותר מ 2000 שנה, החידות הקשות של זינו נתנו השראה למתמטיקאים ופילוסופים כדי להבין טוב יותר את האופי של האין סוף. אחת מהבעיות היותר ידועות של זינו נקראת פרדוקס הדיכוטומיה, שכוונתו היא "הפרדוקס של חיתוך לשניים" ביוונית עתיקה. הוא הולך בערך ככה: אחרי יום ארוך של ישיבה וחשיבה, זינו מחליט ללכת מביתו לפארק. האויר הטרי מרענן את מוחו ועוזר לו חשוב יותר בבהירות. כדי להגיע לפארק, הוא צריך ראשית ללכת חצי מהדרך לפארק. החלק הזה של הטיול לוקח זמן קבוע. ברגע שהוא מגיע לנקודת האמצע, הוא צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר. שוב, זה לוקח זמן מסויים קבוע. ברגע שהוא מגיע לשם, הוא עדיין צריך ללכת חצי מהמרחק שנותר, מה שלוקח לו עוד זמן מסויים. זה קורה שוב ושוב ושוב. אתם יכולים לראות שזה יכול להמשיך לעד, חלוקת המרחק שנותר לחלקים קטנים יותר ויותר, כל אחד מהם לוקח זמן מסויים לעבור. אז, כמה זמן לוקח לזינו להגיע לפארק? ובכן, כדי לדעת, אתם צריכים לחבר את הזמנים של כל אחת מפיסות הדרך. הבעיה היא, שיש מספר אין סופי של פיסות דרך אלו. אז, האם הזמן הכולל צריך להיות אין סופי? הטיעון הזה, דרך אגב, הוא כללי לחלוטין. הוא אומר שמעבר מנקודה לנקודה אחרת צריך לקחת זמן אין סופי. במילים אחרות, זה אומר שכל תנועה היא בלתי אפשרית. המסקנה הזו היא אבסורדית לחלוטין, אבל איפה הכשל בהיגיון? כדי לפתור את הפרדוקס הזה, זה עוזר להפוך את הסיפור הזה לבעיה מתמטית. בואו נניח שהבית של זינו נמצא מייל אחד מהפארק ושזינו הולך מייל אחד בשעה. ההגיון אומר לנו שהזמן שמשךההליכה צריך להיות שעה. אבל, בואו נביט בזה מנקודת מבטו של זינו ונחלק את הדרך לקטעים. החצי הראשון של ההליכה יקח חצי שעה, החלק הבא יקח רבע שעה, השלישי שמינית שעה, וכך הלאה. כשמסכמים את כל הזמנים האלה, אנחנו מקבלים סדרה שנראית ככה. "עכשיו" זינו אולי יגיד, "מאחר ויש מספר מונחים אין סופיים בצד ימין של המשוואה, וכל מונח הוא סופי, הסכום צריך להיות אין סופי, נכון?" זו הבעיה של הטיעון של זינו. מה שמתמטיקאים הבינו מאז, זה שזה אפשרי לחבר מספר אין סופי של מונחים עם גודל סופי ועדיין לקבל תשובה סופית. "איך?" אתם שואלים. ובכן, בואו נחשוב על זה כך. בואו נתחיל עם ריבוע שיש לו שטח של מטר אחד. עכשיו בואו נחתוך את הריבוע לשניים, ואז את השארית לשניים, וכך הלאה. במן שאנחנו עושים את זה, בואו ונעקוב אחרי שטח החתיכות. החיתוך הראשון יוצר שני חלקים, כל אחד בשטח של חצי החיתוך הבא מחלק את החצאים האלו לחצי, וכך הלאה. אבל, לא משנה כמה פעמים נחתוך את הקופסאות, השטח הכולל הוא עדיין סכום כל החלקים. עכשיו אתם יכולים לראות למה בחרנו בדרך המסויימת הזו של חיתוך ריבוע. השגנו את אותה סדרה אין סופית כמו זמן ההליכה של זינו. כשאנחנו מרכיבים יותר ויותר חלקים כחולים, אם נשתמש במונחים מתמטיים, כשאנחנו לוקחים את הגבול כ n שואף לאין סוף, כל הריבוע הופך למכוסה בכחול. אבל השטח של הריבוע הוא רק יחידה אחת, וכך הסכום הסופי חייב להיות אחד. אם נחזור להליכה של זינו, אנחנו יכולים לראות עכשיו איך הפרדוקס נפתר. לא רק שהסדרה האין סופית מסתכמת לתשובה סופית, אלא שהתשובה הסופית היא אותה אחת שההגיון מכתיב לנו כנכונה. ההליכה של זינו לוקחת שעה.