This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.
Voici Zénon d'Élée, un philosophe grec célèbre pour avoir inventé un certain nombre de paradoxes, des arguments qui semblent logiques, mais dont la conclusion est absurde ou contradictoire. Depuis plus de 2 000 ans, les énigmes hallucinantes de Zénon ont inspiré mathématiciens et philosophes à mieux comprendre la nature de l'infini. L'un des plus connus des problèmes de Zénon on appelle le paradoxe de la dichotomie, ce qui signifie, « le paradoxe de couper en deux » en grec ancien. Il dit à peu près ceci : Après une longue journée assis à réfléchir, Zénon décide de marcher de sa maison jusqu'au parc. L'air frais clarifie son esprit et l'aide à mieux réfléchir. Pour accéder au parc, il doit d'abord arriver à mi-chemin du parc. Cette partie de son trajet prend un certain laps de temps. Une fois qu'il arrive à mi-chemin, il a besoin de parcourir la moitié restante de la distance. Encore une fois, cela prend un laps de temps. Une fois qu'il y arrive, il a encore besoin de parcourir la moitié de la distance qui reste, qui prend un autre laps de temps. Cela se produit encore et encore et encore. Vous pouvez voir que nous pouvons continuer comme ça à l'infini, divisant la distance restante quelle qu'elle soit en de plus en plus petits bouts, chacun prenant un laps de temps à traverser. Alors, combien de temps faut-il à Zénon pour rejoindre le parc ? Eh bien, pour le savoir, vous devez additionner les temps de chacun des bouts du trajet. Le problème est qu'il y a une infinité de ces bouts de taille finie. Alors, la durée totale ne doit-elle pas être infinie ? Cet argument, d'ailleurs, est complètement général. Il dit que se déplacer d'un endroit quelconque à un autre endroit quelconque devrait prendre un laps de temps infini. En d'autres termes, il dit que tout mouvement est impossible. Cette conclusion est manifestement absurde, mais où est la faille dans la logique ? Pour résoudre le paradoxe, il est utile de transformer l'histoire en un problème de mathématiques. Supposons que la maison de Zénon est à 1,6 km du parc et que Zénon marche à 1,6 km/h. Le bon sens nous dit que le temps pour le trajet devrait être une heure. Mais, regardons les choses du point de vue de Zénon et divisons le trajet en bouts. La première moitié du trajet prend une demi-heure, la partie suivante prend un quart d'heure, la troisième partie prend un huitième d'une heure, et ainsi de suite. Si on récapitule tous ces temps, on obtient une série qui ressemble à ceci. « Maintenant », pourrait dire Zénon, « puisqu'il y a une infinité de termes du côté droit de l'équation, et chaque terme individuel est fini, la somme doit être égale à l'infini, pas vrai ? » C'est le problème avec l'argument de Zénon. Comme les mathématiciens s'en sont rendu compte depuis, il est possible d'ajouter à l'infini de nombreux termes de taille finie et toujours obtenir une réponse finie. « Comment ? » demandez-vous. Eh bien, réfléchissons-y de la manière suivante. Commençons par un carré qui a une surface d'un mètre. Maintenant coupons le carré en deux, et puis coupez l'autre moitié en deux, et ainsi de suite. Alors que nous faisons ça, gardons une trace des surfaces des bouts. La première tranche crée deux parties, chacune d'une superficie de moitié. La tranche suivante divise une de ces moitiés en deux, et ainsi de suite. Mais, peu importe combien de fois nous coupons les boîtes, la superficie totale est toujours la somme des surfaces de tous les bouts. Maintenant vous pouvez voir pourquoi nous avons choisi cette façon particulière de couper le carré. Nous avons obtenu la même série infinie que pour le temps de trajet de Zénon. Quand nous construisons de plus en plus de bouts bleus, pour utiliser le jargon des mathématiques, quand nous prenons la limite où n tend vers l'infini, le carré entier est recouvert de bleu. Mais la surface du carré est une seule unité, donc la somme infinie doit être égale à un. Pour en revenir au trajet de Zénon, nous pouvons maintenant voir comment le paradoxe est résolu. Non seulement la somme de la série infinie aboutit à une réponse finie, mais cette réponse finie est la même que celle que le bon sens nous dit vraie. Le trajet de Zénon prend une heure.