Αυτός είναι ο Ζήνων ο Ελεάτης, ένας αρχαίος Έλληνας φιλόσοφος, διακεκριμένος επινοητής παραδόξων. Επιχειρημάτων που ενώ φαίνονται λογικά, καταλήγουν παράλογα ή αμφισβητήσιμα. Για περισσότερα από 2.000 χρόνια, οι σπαζοκεφαλιές του Ζήνωνα ενέπνευσαν μαθηματικούς και φιλοσόφους ώστε να κατανοήσουν καλύτερα τη φύση του απείρου. Το γνωστότερο επινόημά του είναι το "Παράδοξο της Διχοτομίας", το οποίο σημαίνει "το παράδοξο του να κόβω κάτι στα δύο". Το οποίο είναι το εξής: Περνώντας μια κουραστική μέρα με πολύ σκέψη, αποφάσισε να πάει στο πάρκο. Ο καθαρός αέρας καθαρίζει το μυαλό του και τον βοηθάει να σκέφτεται καλύτερα. Αλλά για να φτάσει στο πάρκο, πρέπει να κάνει τη μισή διαδρομή. Για να φτάσει μέχρι τη μέση, χρειάζεται κάποιο χρόνο. Από τη μέση και μετά, πρέπει να περπατήσει το μισό του μισού. Γι' αυτό χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο. Από τη στιγμή που θα φτάσει εκεί, πρέπει να διασχίσει το μισό του υπολοίπου. Πάλι, χρειάζεται συγκεκριμένο χρόνο. Όλο αυτό είναι κάτι που επαναλαμβάνεται διαρκώς. Μπορούμε να το κάνουμε αυτό επ' άπειρον. Να χωρίζουμε δηλαδή την απόσταση σε μικρότερες αποστάσεις. Έτσι, η κάθε απόσταση χρειάζεται πεπερασμένο χρόνο για να διανυθεί. Οπότε, πόσο χρόνο χρειάζεται ο Ζήνων για να φτάσει στο πάρκο; Για να απαντηθεί το ερώτημα χρειάζεται να προστεθούν όλοι οι χρόνοι των τμημάτων. Το πρόβλημα είναι πως η απόσταση χωρίστηκε σε άπειρα μικρότερα τμήματα. Άρα, δεδομένου αυτού, μήπως η απάντηση είναι το άπειρο; Αυτό το επιχείρημα όμως είναι πολύ γενικευμένο. Είναι σαν να λέμε πως το ταξίδι από ένα μέρος σε άλλο διαρκεί άπειρο χρόνο. Με άλλα λόγια, εννοεί πως είναι αδύνατο να υπάρχει κίνηση. Το συμπέρασμα είναι σαφώς παράλογο, αλλά πού είναι το λάθος στη λογική αυτή; Για να λυθεί το παράδοξο, μετατρέπουμε την ιστορία σε μαθηματικό πρόβλημα. Ας υποθέσουμε πως το σπίτι του Ζήνωνα απέχει ένα μίλι από το πάρκο και ο Ζήνων περπατά με ταχύτητα ενός μιλίου την ώρα. Η κοινή λογική λέει πως η διαδρομή θα διαρκέσει μία ώρα. Αλλά ας δούμε πώς σκέφτεται ο Ζήνων και ας χωρίσουμε τη διαδρομή σε μέρη. Για το πρώτο μέρος της διαδρομής χρειάζεται μισή ώρα, για το δεύτερο μέρος 1/4 της ώρας, για το τρίτο μέρος το 1/8 της ώρας, κ.τ.λ.. Αθροίζοντας όλους αυτούς τους χρόνους, παράγουμε μια σειρά σαν αυτή. Έτσι, ο Ζήνων θα πει: «Εφόσον υπάρχουν άπειροι όροι στο δεξί μέλος της εξίσωσης και κάθε όρος είναι πεπερασμένος, το άθροισμά της θα είναι το άπειρο». Αυτό είναι το πρόβλημα με το Παράδοξο του Ζήνωνα. Οι μαθηματικοί από τότε κατάλαβαν πως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς πεπερασμένων όρων, μπορεί να έχει πεπερασμένο αποτέλεσμα. Αναρωτιέστε πώς συμβαίνει αυτό; Δείτε ένα παράδειγμα: Πάρτε ένα τετράγωνο με εμβαδόν 1 και κόψτε το στη μέση. Μετά πάρτε το υπόλοιπο μισό και κόψτε το στη μέση και συνεχίστε έτσι. Ενώ κόβουμε, ας παρατηρήσουμε το εμβαδόν των κομματιών. Το πρώτο χωρίζεται σε δύο μέρη, το καθένα με εμβαδόν 1/2. Το επόμενο σχήμα χωρίζει το μισό του μισού στη μέση και πάει λέγοντας. Όσες φορές και αν τα κόψουμε στη μέση, το συνολικό άθροισμα είναι πάντα ίδιο με αυτό του αρχικού εξωτερικού εμβαδού. Τώρα καταλαβαίνετε γιατί διαλέξαμε το παράδειγμα με τη διαίρεση του κύβου. Πήραμε την ίδια άπειρη σειρά με αυτή της διαδρομής του Ζήνωνα. Ενώ διαιρούμε το εσωτερικό σε όλο και περισσότερα τετράγωνα, δηλαδή, με μαθηματικούς όρους, ενώ παίρνουμε το όριο καθώς το n τείνει στο άπειρο, όλο το τετράγωνο γίνεται μπλε. Το εμβαδόν του τετραγώνου είναι 1, άρα το άπειρο άθροισμα θα είναι 1. Σκεφτόμενοι ξανά τη διαδρομή του Ζήνωνα βλέπουμε πώς λύνεται το παράδοξο. Η άπειρη σειρά δεν έχει μόνο πεπερασμένο άθροισμα, αλλά το άθροισμα αυτό είναι το ίδιο που προκύπτει και με την κοινή λογική. Η διαδρομή του Ζήνωνα θα διαρκέσει μία ώρα.
This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.