Това е Зенон от Елея, древногръцки философ, известен с изобретяването на редица парадокси, аргументи, които изглеждат логични, но чието заключение е абсурдно или противоречиво. Повече от 2000 години, хитроумните загадки на Зенон вдъхновяват математици и философи да разбират по-добре природата на безкрайността. Един от най-известните проблеми на Зенон се нарича парадоксът на дихотомията, което означава, "парадоксът на разделянето на две" на старогръцки. Той гласи нещо от сорта на: След дълъг ден прекаран в застояване, мислейки, Зенон решава да повърви от къщата си до парка. Свежият въздух избистря ума му и му помага да мисли по-добре. За да стигне до парка, той първо трябва да извърви половината път до парка. Тази част от пътуването му отнема някакъв ограничен период от време. След като стигне до средата на пътя, той трябва да извърви половината от останалото разстояние. Отново, това отнема един ограничен период от време. След като стигне до там, той все още трябва да извърви половината от разстоянието, което остава, което отнема още един ограничен период от време. Това се случва отново и отново, и отново. Можете да видите, че ние може да продължим да вървим по този начин завинаги, разделяйки каквото и разстояние е останало на все по-малки и по-малки части, всяка от които отнема крайно време за извървяване. И така, колко време отнема на Зенон да стигне до парка? Ами за да разберем, трябва да добавим времената на всички отсечки от пътуването. Проблемът е, че има безкрайно много от тези крайни по размер части. Значи, не трябва ли общото време да бъде безкрайност? Този аргумент, между другото, е съвсем общ. Той казва, че пътуването от едно място, до всяко друго място трябва да отнеме един безкраен период от време. С други думи, той казва, че всяко движение е невъзможно. Това заключение е очевидно абсурдно, но къде е недостатъкът в логиката? За да разрешим парадокса, е от помощ да превърнем историята в математическа задача. Нека да предположим, че къщата на Зенон е на 1 миля (1,6 км.) от парка, и че Зенон ходи с една миля на час. Нормалната логика ни казва, че времето за пътуване трябва да бъде един час. Но, нека да погледнем нещата от гледна точка на Зенон и да разделим пътуването на части. Първата половина на пътуването отнема половин час, следващата част е четвърт час, третата част отнема една осма от един час, и така нататък. Сумирайки всички тези времена, получаваме поредица, която изглежда така. "Сега," Зенон може да каже, "тъй като има безкрайно много членове от дясната страна на уравнението, и всеки отделен член е ограничен, сумата трябва да бъде безкрайност, нали?" Това е проблемът с аргумента на Зенон. Както разбрали математиците оттогава, възможно е да добавите безкрайно много ограничени по размер членове и пак да получите краен отговор. "И как?" може да попитате. Добре, нека да помислим за това по следния начин. Да започнем с квадрат, който има площ от един метър. Сега нека да разделим квадрата на половина, и после да разделим останалата половина на половина, и така нататък. Докато правим това, нека си отбелязваме площите на частите. Първото разделяне образува две части, всяка с площ от една втора. Следващото разрязване разделя една от тези половини на половина, и така нататък. Но, без значение колко пъти нарязваме квадратите, общата площ е все още сумата от площите на всички парчета. Сега можете да видите защо избрахме този начин за нарязване на квадрата. Ние получаваме същата безкрайна поредица, като тази с времето за пътуването на Зенон. Като конструираме все повече и повече сини парчета, ако използваме математическия жаргон, като вземем границата, като n клони към безкрайност, целия квадрат става покрит със синьо. Но площта на квадрата е само една единица, и така безкрайната сума следва да се равнява на едно. Ако се върнем към пътуването на Зенон, сега можем да видим как парадоксът е разрешен. Не само, че сумата на безкрайната редица дава краен отговор, но този краен отговор е същият, който здравият разум ни казва, че е верен. Пътешествието на Зенон отнема един час.
This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.