هذا هو زينون من إيليا، الفيلسوف الإغريقي القديم المشهور باختراعه لعدد من المتناقضات، لبراهين كانت تبدو منطقية، لكن استنتاجاته كانت سخيفة أو متناقضة. لأزيد من 2000 سنة، ألهمت ألغاز زينون المحيرة الرياضياتيين والفلاسفة لفهم الطبيعة اللانهاية بشكل أفضل. والتي تعني، "متناقضة التقسيم إلى اثنين" <br/>في اليونان القديمة. أحد أشهر مسائل زينون تدعى متناقضة الانقسام، وهي كالتالي: بعد يوم طويل من الجلوس والتفكير قرر زينون أن يسير من بيته إلى الحديقة. يصفي الهواء النقي ذهنه ويساعده على التفكير بشكل أفضل. ومن أجل الوصول إلى الحديقة، عليه أولا أن يقطع نصف الطريق إلى الحديقة. هذا الجزء من رحلته يستغرق وقتا محددا. بمجرد وصوله إلى نقطة المنتصف، سيتعين عليه المشي لنفس المسافة المتبقية. وهذا، مجددا، يستغرق وقتا معينا. وبمجرد وصوله هناك، سيتعين عليه المشي لنصف المسافة المتبقية، وهو ما سيستغرقه قدرا معينا آخر من الوقت. وهذا يحصل مرارا وتكرارا. وسترون أنه بإمكاننا أن نستمر <br/>في الأمر إلى ما لا نهاية، مقسمين أي مسافة متبقية إلى قطع أصغر فأصغر، كل منها تستغرق وقتا محددا لقطعها. إذن، فكم سيستغرقه زينون للوصول للحديقة؟ حسنا، للحصول على النتيجة، <br/>سيتعين عليك جمع المدد الزمنية لكل جزء من أجزاء رحلته. والمشكل هو أنه هناك ما لا نهاية له <br/>من هذه الأجزاء المتناهية. إذن، ألا يجدر بالوقت الإجمالي أن يكون لا متناهيا؟ هذا البرهان، بالمناسبة، عام تماما. يقول بأن الانتقال من مكان لآخر يجب أن يستغرق وقتا لا متنهايا. بعبارة أخرى، يقول بأن <br/>كل أنواع الحركة مستحيلة. فالنتيجة بشكل واضح غير معقولة، فأين يكمن الخلل في هذا المنطق؟ لحل هذه المتناقضة، سيكون من المجدي أن نحول القصة <br/>إلى مسألة رياضيات. فلنفترض أن منزل زينون يبعد <br/>بمسافة ميل عن الحديقة وأن زينون يمشي بسرعة ميل في الساعة. الفطرة السليمة تخبرنا بأن مدة الرحلة يجب أن تكون ساعة. لكن، دعنا نأخذ الأمور من منظور زينون ونقسم الرحلة إلى أجزاء. النصف الأول من الرحلة <br/>سيستغرق نصف ساعة، والجزء الموالي سيستغرق ربع ساعة، والثالث سيستغرق ثمن ساعة، وهكذا دواليك. بجمع كل هذه المدد، نحصل على متتالية تبدو هكذا. وقد يقول زينون، "الآن، بما أنه هناك عدد لا نهائي من الأطراف في الجهة اليمنى من المعادلة، وكل طرف منها محدد، فإن المجموع يجب أن يساوي <br/>اللانهاية، صحيح؟" وهذا هو مكمن الخلل في حِجاج زينون. وكما قد أدرك الرياضياتيون لاحقا، فإنه من الممكن جمع عدد لا نهائي <br/>من الأطراف محددة القدر والحصول في النهاية على جواب محدد القدر. قد تتساءل "كيف ذلك؟" حسنا، دعنا نفكر في الأمر بهذه الطريقة. دعونا نبدأ بمربع مساحته متر. الآن، دعونا نقسمه للنصف، ثم نقسم ما تبقى للنصف، وهكذا دواليك. ونحن نقوم بهذا، فلنتتبع كل مساحات القطع. التقطيع الأولى ينتج قطعتين، كل منها بمساحة النصف والتقطيعة الموالية تقسم أحد النصفين إلى النصف، وهكذا. لكن، مهما كان عدد المرات <br/>التي قسمنا إليها المربعات، فإن المساحة الإجمالية لا تزال <br/>هي مجموع مساحات كل القطع. يمكنكم الآن أن تروا سبب اختيارنا لهذه الطريقة لتقسيم مربع. حصلنا عى نفس المتتالية اللامتناهية كما في مدة رحلة زينون. ونحن نشكل المزيد والمزيد <br/>من هذه القطع الزرقاء، وباستخدام المصطلحات الرياضياتية، ونحن نأخذ النهاية باقتراب n من اللانهاية، يصبح المربع بأكمله مغطى بالأزرق, لكن مساحة المربع هي وحدة واحدة فقط، وهكذا، فإن المجموع اللانهائي، <br/>يجب أن يساوي واحدا. وبالعودة إلى رحلة زينون، نستطيع أن نرى كيف يمكن حل المتناقضة. ليس فقط أن المتتالية اللامتناهية لها مجموع مقدّر، لكن كذلك أن ذلك الجواب هو نفس ما تقول الفطرة السليمة أنه صحيح. تستغرق رحلة زينون ساعة واحدة.
This is Zeno of Elea, an ancient Greek philosopher famous for inventing a number of paradoxes, arguments that seem logical, but whose conclusion is absurd or contradictory. For more than 2,000 years, Zeno's mind-bending riddles have inspired mathematicians and philosophers to better understand the nature of infinity. One of the best known of Zeno's problems is called the dichotomy paradox, which means, "the paradox of cutting in two" in ancient Greek. It goes something like this: After a long day of sitting around, thinking, Zeno decides to walk from his house to the park. The fresh air clears his mind and help him think better. In order to get to the park, he first has to get half way to the park. This portion of his journey takes some finite amount of time. Once he gets to the halfway point, he needs to walk half the remaining distance. Again, this takes a finite amount of time. Once he gets there, he still needs to walk half the distance that's left, which takes another finite amount of time. This happens again and again and again. You can see that we can keep going like this forever, dividing whatever distance is left into smaller and smaller pieces, each of which takes some finite time to traverse. So, how long does it take Zeno to get to the park? Well, to find out, you need to add the times of each of the pieces of the journey. The problem is, there are infinitely many of these finite-sized pieces. So, shouldn't the total time be infinity? This argument, by the way, is completely general. It says that traveling from any location to any other location should take an infinite amount of time. In other words, it says that all motion is impossible. This conclusion is clearly absurd, but where is the flaw in the logic? To resolve the paradox, it helps to turn the story into a math problem. Let's supposed that Zeno's house is one mile from the park and that Zeno walks at one mile per hour. Common sense tells us that the time for the journey should be one hour. But, let's look at things from Zeno's point of view and divide up the journey into pieces. The first half of the journey takes half an hour, the next part takes quarter of an hour, the third part takes an eighth of an hour, and so on. Summing up all these times, we get a series that looks like this. "Now", Zeno might say, "since there are infinitely many of terms on the right side of the equation, and each individual term is finite, the sum should equal infinity, right?" This is the problem with Zeno's argument. As mathematicians have since realized, it is possible to add up infinitely many finite-sized terms and still get a finite answer. "How?" you ask. Well, let's think of it this way. Let's start with a square that has area of one meter. Now let's chop the square in half, and then chop the remaining half in half, and so on. While we're doing this, let's keep track of the areas of the pieces. The first slice makes two parts, each with an area of one-half The next slice divides one of those halves in half, and so on. But, no matter how many times we slice up the boxes, the total area is still the sum of the areas of all the pieces. Now you can see why we choose this particular way of cutting up the square. We've obtained the same infinite series as we had for the time of Zeno's journey. As we construct more and more blue pieces, to use the math jargon, as we take the limit as n tends to infinity, the entire square becomes covered with blue. But the area of the square is just one unit, and so the infinite sum must equal one. Going back to Zeno's journey, we can now see how how the paradox is resolved. Not only does the infinite series sum to a finite answer, but that finite answer is the same one that common sense tells us is true. Zeno's journey takes one hour.