When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.
Quando você ouve a palavra simetria, talvez você imagine uma forma geométrica simples, como um quadrado ou um triângulo, ou o padrão complexo das asas de uma borboleta. Se você tiver um pendor artístico, poderia pensar nas modulações de um concerto de Mozart ou na leveza natural de uma primeira-bailarina. Quando usado no sentido comum, a palavra simetria representa noções vagas de beleza, harmonia e equilíbrio. Em matemática e em ciência, simetria tem um significado diferente e muito específico. Neste sentido técnico, simetria é a propriedade de um objeto. Quase todos os tipos de objeto podem ter simetria, desde coisas concretas como as borboletas, a entes abstratos como as formas geométricas. O que significa um objeto ser simétrico? Eis a definição: simetria é uma transformação que não altera o objeto. Certo, é um pouco abstrato. Vamos explicar melhor. Ajuda usar um exemplo específico, como este triângulo equilátero. Se nós girarmos o triângulo em 120 graus, em torno do seu centro, ficaremos com um triângulo idêntico ao original. Neste caso, o objeto é o triângulo, e a transformação que deixa o objeto inalterado é a rotação de 120 graus. Então podemos afirmar que um triângulo equilátero é simétrico em relação a rotações de 120 graus em torno do seu centro. Se girássemos o triângulo, por, digamos, 90 graus, o triângulo assim girado não seria parecido com o original. Em outras palavras, um triângulo equilátero não é simétrico em relação a rotações de 90 graus em torno do seu centro. Mas por que os matemáticos e cientistas se preocupam com simetrias? Ela é essencial em vários campos da matemática e da ciência Examinemos de perto um exemplo: a simetria na biologia. Você pode ter notado que há um tipo comum de simetria que nós ainda não mencionamos: a simetria dos lados direito e esquerdo do corpo humano. A transformação que produz esta simetria é a reflexão de um espelho imaginário que corta o corpo verticalmente. Os biólogos a denominam simetria bilateral. A exemplo de todas as simetrias encontradas nos seres vivos, ela é apenas aproximada, mas, ainda assim, é uma característica marcante do corpo humano. Nós humanos não somos os únicos organismos com simetria bilateral. Muitos outros animais, raposas, tubarões, besouros, aquela borboleta já mencionada, têm este tipo de simetria, assim como algumas plantas, como as orquídias, por exemplo. Outros organismos têm simetrias diferentes, algumas que só ficam evidentes quando o organismo é girado em torno do seu ponto central. É muito semelhante à simetria de rotação do triângulo que vimos. Quando ocorre em animais, este tipo de simetria é conhecido como simetria radial. Por exemplo, alguns ouriços-do-mar e estrelas-do-mar têm simetria pentarradial ou de quinta ordem, ou seja, simetria em relação a rotações de 72 graus ao redor do seus centros. Esta simetria também aparece em vegetais, como você mesmo pode ver cortando horizontalmente uma maçã. Algumas medusas são simétricas em relação a rotações de 90 graus, enquanto as anêmonas-do-mar são simétricas quando giradas em qualquer ângulo. Por outro lado, certos corais não têm simetria alguma. Eles são completamente assimétricos. Por que os organismos exibem essas várias simetrias? A simetria corporal nos diz algo a respeito do estilo de vida do animal? Examinemos um grupo particular: os animais bilateralmente simétricos. Neste campo, temos as raposas, os besouros, os tubarões, as borboletas e, claro, os humanos. O que une os animais com simetria bilateral é que seus corpos são estruturados para o movimento. Se quiserem escolher uma direção e se deslocar para lá, ajuda ter uma extremidade frontal onde podem estar agrupados os órgãos sensoriais – seus olhos, ouvidos e nariz. É vantajoso que a boca também fique ali, pois é provável que precisem correr atrás da comida ou fugir dos inimigos, a partir desta extremidade. Você certamente conhece o nome de um grupo de órgãos e mais uma boca, situado na extremidade frontal do corpo do animal. Ele é chamado de cabeça. Ter uma cabeça leva naturalmente ao desenvolvimento de simetria bilateral. Também favorece surgir nadadeiras aerodinâmicas, se você for um peixe, asas aerodinâmicas, se você for uma ave, e patas com boa coordenação para correr, se você for uma raposa. Mas o que tudo isto tem a ver com a evolução? Ocorre que os biólogos podem usar as diversas simetrias corporais para estabelecer quais animais estão relacionados com outros. Por exemplo, vimos que a estrela-do-mar e o ouriço-do-mar têm simetria de quinta ordem. Deveríamos ter dito que a estrela-do-mar e o ouriço-do-mar adultos, em seus estágios de larva, são bilaterais, como os humanos. Para os biólogos, esta é uma forte evidência de que temos relação mais próxima com as estrelas-do-mar do que, digamos, com os corais, ou outros animais que não têm simetria bilateral em qualquer estágio do seu desenvolvimento. Um dos problemas mais importantes e mais fascinantes da biologia é reconstruir a árvore da vida, descobrir quando e como os vários ramos divergiram. Pensar em algo tão simples como a simetria corporal pode nos ajudar na investigação do nosso passado evolutivo e a compreendermos qual é a origem da nossa espécie.