When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.
Quando vocês ouvem a palavra simetria se calhar, imaginam uma forma geométrica simples como um quadrado ou um triângulo, ou o padrão complexo das asas das borboletas. Se tiverem veia artística, poderão pensar nas modulações suaves de um concerto de Mozart, ou da pose sem esforço de uma "prima ballerina". No seu uso quotidiano, a palavra "simetria" representa vagas noções de beleza, harmonia e equilíbrio. Na matemática e nas ciências, a simetria tem um significado diferente e muito específico. No sentido técnico, a simetria é a propriedade de um objeto. Quase todos os objetos podem ter simetria, das coisas tangíveis, como as borboletas, às entidades abstratas, como as formas geométricas. Então, o que significa ser simétrico para um objeto? Eis a definição: "Uma simetria é uma transformação que deixa o objeto inalterado." Ok, isso parece um pouco abstrato, por isso, vamos simplificá-lo. Ajuda se olharmos para um exemplo em particular, como este triângulo equilátero. Se rodarmos o nosso triângulo 120º, em torno do eixo do seu centro, acabamos com um triângulo idêntico ao original. Neste caso, o objeto é o triângulo, e a transformação que deixa o objeto inalterado é a rotação de 120º. Portanto, podemos dizer que um triângulo equilátero é simétrico em relação a rotações de 120º em torno do seu eixo. Se, em vez disso, rodarmos o triângulo, digamos, 90º, o triângulo rodado parecerá diferente do original. Por outras palavras, um triângulo equilátero não é simétrico nas rotações de 90º em torno do eixo do seu centro. Mas porque é que os matemáticos e os cientistas se interessam por simetrias? Acontece que elas são essenciais em muitos campos da matemática e ciência. Vamos olhar de mais perto um exemplo: a simetria na biologia. Devem ter reparado que há um tipo de simetria muito familiar que ainda não mencionámos: a simetria dos lados esquerdo e direito do corpo humano. A transformação que dá esta simetria é a reflexão através de um espelho imaginário que divide verticalmente o corpo. Os biólogos chamam-lhe "simetria bilateral". Como nas simetrias encontradas nos seres vivos, é apenas aproximada, mas ainda assim, é uma característica marcante do corpo humano. Nós, humanos, não somos os únicos organismos simétricos bilaterais. Muitos outros animais, raposas, tubarões, escaravelhos, aquela borboleta que mencionámos há bocado, têm este tipo de simetria, tal como algumas plantas, como as orquídeas. Outros organismos têm simetrias diferentes, que só se tornam aparentes quando se roda o organismo em torno do seu centro. É muito parecido com a simetria rotativa do triângulo que vimos há pouco. Mas nos animais, este tipo de simetria é conhecida como simetria radial. Por exemplo, alguns ouriços-do-mar e estrelas-do-mar têm uma simetria pentarradial ou simetria de cinco eixos, isto é, simetria em relação a rotações de 72º em torno do seu centro. Esta simetria também aparece nas plantas, como podem ver por vocês mesmos, se cortarem uma maçã horizontalmente. Algumas medusas são simétricas em relação a rotações de 90º, enquanto que as anémonas-do-mar são simétricas rodadas em qualquer ângulo. Alguns corais, por outro lado, não têm nenhuma simetria. São completamente assimétricos. Mas porque é que os organismos exibem estas diferentes simetrias? Será que a simetria corporal nos diz algo sobre o estilo de vida de um animal? Vejamos um grupo em particular: animais bilateralmente simétricos. Neste campo, temos raposas, escaravelhos, tubarões, borboletas, e, claro, seres humanos. O que une os animais bilateralmente simétricos é que os seus corpos são desenhados para o movimento. Se vocês quiserem escolher uma direção e seguir por aí, ajuda ter uma terminação frontal onde possam agrupar os órgãos sensoriais os olhos, ouvidos e nariz. Ajuda ter aí também a vossa boca visto que é mais provável encontrar comida ou inimigos a partir desta ponta. Provavelmente conhecem o nome para um grupo de órgãos, incluindo uma boca, na parte da frente do corpo de um animal. Chama-se "cabeça". Ter uma cabeça conduz, naturalmente, ao desenvolvimento da simetria bilateral. E também ajuda a construir barbatanas esguias, se for um peixe, asas aerodinâmicas, se for um pássaro, ou pernas bem coordenadas para correr, se for uma raposa. Mas o que é que isto tudo tem a ver com a evolução? Os biólogos podem usar as diversas simetrias corporais para perceberem quais os animais que são aparentados. Por exemplo, a estrela-do-mar e os ouriços-do-mar têm uma simetria de cinco eixos. Mas o que realmente devíamos ter dito era: "estrelas-do-mar e ouriços-do-mar adultos". Na sua fase larval, eles são bilaterais, tal como nós, os humanos. Para os biólogos, esta é uma forte evidência de que somos mais próximos das estrelas-do-mar do que com, digamos, os corais, ou outros animais que não têm simetria bilateral em qualquer fase do seu desenvolvimento. Um dos problemas mais fascinantes e importantes em biologia é a reconstrução da árvore da vida, descobrir quando e como é que os diferentes ramos divergiram. Pensar numa coisa tão simples como a simetria corporal ajuda-nos a escavar mais fundo no nosso passado evolutivo e compreender de onde é que nós, como espécie, viemos.