When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.
Als je het woord symmetrie hoort, stel je je misschien een eenvoudige geometrische vorm als een vierkant of een driehoek voor of het complexe patroon op de vleugels van een vlinder. Als naar het artistieke neigt, denk je wellicht aan de subtiele modulaties van een Mozartconcerto of het moeiteloze evenwicht van een prima ballerina. In het dagelijkse leven roept het woord symmetrie vage noties van schoonheid, harmonie en evenwicht op. In wiskunde en wetenschap, heeft symmetrie een andere, zeer specifieke betekenis. In deze technische zin, is een symmetrie een eigenschap van een object. Vrijwel elk type object kan symmetrie hebben, van tastbare dingen zoals vlinders, tot abstracte entiteiten als geometrische vormen. Wat betekent het voor een object symmetrisch te zijn? Hier is de definitie: een symmetrie is een transformatie die dat object ongewijzigd laat. Dat klinkt een beetje abstract. We leggen het even uit. Een specifiek voorbeeld helpt ons. Bijvoorbeeld deze gelijkzijdige driehoek. Als we onze driehoek 120 graden roteren, rond een as door het midden, krijgen we een driehoek die identiek is met het origineel. In dit geval is het object de driehoek, en de transformatie die het object ongewijzigd laat, is de rotatie over 120 graden. Dus is een gelijkzijdige driehoek symmetrisch voor rotaties van 120 graden rond het middelpunt. Hadden we de driehoek over 90 graden gedraaid, dan zou de geroteerde driehoek verschillen van de oorspronkelijke. Met andere woorden, een gelijkzijdige driehoek is niet symmetrisch voor rotaties van 90 graden rond het middelpunt. Maar waarom vinden wiskundigen en wetenschappers symmetrieën zo belangrijk? Ze zijn essentieel op veel gebieden van de wiskunde en wetenschap. Laten we eens goed kijken naar een voorbeeld: symmetrie in de biologie. Misschien merkte je op dat een zeer bekende soort symmetrie nog niet werd genoemd: de symmetrie van de rechter- en linkerzijde van het lichaam. De transformatie die deze symmetrie geeft, is reflectie door een denkbeeldige spiegel verticaal dwars door het lichaam. Biologen noemen dit tweezijdige symmetrie. Zoals bij alle symmetrieën in levende dingen, is het slechts bij benadering, maar toch wel een opvallend kenmerk van het menselijk lichaam. Wij mensen zijn niet de enige bilateraal symmetrische organismen. Veel andere dieren, vossen, haaien, kevers, ook de vlinder, hebben dit soort symmetrie, evenals sommige planten zoals orchideeën. Andere organismen vertonen andere symmetrieën zoals die zich pas manifesteren als je het organisme rond zijn middelpunt laat draaien. Zoals de rotatiesymmetrie van de driehoek die we eerder bekeken. Bij dieren noemen we dat radiale symmetrie. Bijvoorbeeld, sommige zee-egels en zeesterren hebben een pentaradiale of vijfvoudige symmetrie. Een symmetrie voor rotaties van 72 graden rond het middelpunt. Deze symmetrie heb je ook bij planten, kijk maar wat je ziet als je een appel horizontaal doorsnijdt. Sommige kwallen zijn symmetrisch voor rotaties van 90 graden, terwijl zeeanemonen symmetrisch zijn voor alle hoeken. Maar sommige koralen vertonen helemaal geen symmetrie. Ze zijn volledig asymmetrisch. Maar waarom vertonen organismen deze verschillende symmetrieën? Vertelt lichaamssymmetrie ons iets over de levensstijl van een dier? Neem een bepaalde groep: bilateraal symmetrische dieren. Hier vinden we vossen, kevers, haaien, vlinders, en, natuurlijk, mensen. Wat deze bilateraal symmetrische dieren verenigt, is dat hun lichamen ontworpen zijn voor beweging. Als je in een bepaalde richting wilt bewegen, dan helpt een voorkant waar je je zintuigen kunt groeperen - je ogen, oren en neus. Ook om daar je mond te hebben omdat je daar meer kans loopt voedsel of vijanden tegen te komen. Je hebt waarschijnlijk wel een naam voor zo’n groep organen met een mond, aan de voorzijde van het lichaam van een dier. Het heet een kop. Een kop hebben, leidt vanzelf tot bilaterale symmetrie. Als je een vis bent, helpen gestroomlijnde vinnen, of aerodynamische vleugels als je een vogel bent, of goed gecoördineerde poten om te rennen als je een vos bent. Maar wat heeft dit alles te maken met evolutie? Biologen kunnen deze verschillende lichaamssymmetrieën gebruiken om erachter te komen welke dieren verwant zijn. Zo zagen we dat zeesterren en zee-egels vijfvoudige symmetrie hebben. Maar in feite is dat alleen het geval bij volwassen zeesterren en zee-egels. In hun larvale stadium zijn ze bilateraal, net als wij mensen. Voor biologen is dit een sterk bewijs dat we nauwer zijn verwant met zeesterren dan met bijvoorbeeld koralen, of andere dieren zonder bilaterale symmetrie in enige fase van hun ontwikkeling. Een van de meest fascinerende en belangrijke problemen in de biologie is de reconstructie van de boom des levens, om te zien wanneer en hoe de verschillende takken uiteenlopen. Iets eenvoudigs als lichaamssymmetrie kan ons diep helpen graven in ons evolutionaire verleden en begrijpen waar we als soort van afstammen.