When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.
対称性という言葉を聞いたとき 幾何学図形を 思い浮かべるかもね 四角形とか三角形のような それか蝶のはねの模様が 頭に浮かぶかも 芸術的センスがあれば モーツァルトの協奏曲の 微妙なリズムとか プリマバレリーナのポーズを 思い浮かべるかも 日々の生活の中で 対称性という言葉は 美、調和、バランスのような あいまいな概念を示している けれど数学と科学では それとはまた違う はっきりした意味を示している 専門的に言うと 対称性とは 対象が持っている性質だ とても多くのものに対称性がある 蝶のようにはっきりした 形があるものや 幾何学図形のような抽象的なもの じゃあ対象が対称性を持つって どういうことなんだろう 定義はこうだ 対称性とは 対象を変えない変換のこと ちょっと抽象的だから かみくだいてみよう たとえばこの正三角形 こういうのを見るときに 対称性が役に立つ これを120度回してみる 真ん中を通る 軸を中心にして すると最初と全く同じ 三角形になる このとき 三角形が さっき言った対象で 対象を変えない変換とは 120度の回転のことを指す つまり正三角形は 対称性を持つと言える 中心軸を基準に 120度回転させたときにね もし90度回転させたら 最初とは違う三角形になる この場合正三角形は対称ではない 中心軸を基準に 90度回転させたときはね でもどうして数学者や科学者は 対称性に興味を持つんだろう それは 数学や科学で 対称性はとても重要だからだ 一つ例を見てみよう 生物学における対称性だ もっと身近に対称性がある と気づいているかもしれないね これはまだ話してないけど 人間の体における 左右の対称性だ ここで対称性を得る変換は 鏡映といい 体を垂直に通る 鏡をイメージするんだ 生物学者はこれを 左右対称と呼ぶ 全ての生物にみられる 対称性と同様に 完璧な対称性ではない けれどこれは人間の体の 際立った特徴だ 人間だけが左右対称な生物 というわけではない 他の多くの動物 キツネ、サメ、甲虫 さっき出てきた蝶だって 人間のような対称性を 持っている ランのような 花だってそうだ また他の生物は 異なる対称性を持つ それがはっきりわかるのは 中心点を基準に 回転させてみたときだ さっきみた正三角形の 回転対称性のようなものだね ただ回転対称性が 動物にみられるとき これは放射対称とも呼ばれる たとえばウニやヒトデのなかには 五放射対称を持つものがいる 中心を基準に72度回転したとき 対称になるんだ これは植物にもみられる りんごを水平に切ってみると わかるだろう 90度回転させると対称な クラゲがいるし イソギンチャクはどう回してみても 必ず対称だ 一方でサンゴは 全く対称性を持たない 完全に非対称なんだ でもなぜ生物はこのような 異なる対称性を持つのだろう 体の対称性を見ることで その動物の生活がわかるだろうか 一つのグループを例に 見てみよう 左右対称の動物だ 今ここにいるのは キツネ、甲虫、サメ、蝶 そしてもちろん人間もいる 左右対称の動物の共通点は 動きやすさを基準に 体が作られていることだ ある方向に進みたいときに 体の前側が決まっているのは 便利だ そこに感覚器官を 集結させればいい つまり目と耳と鼻だ そこに口もあると便利だ 食べ物を見つけるのは 体の前側だし 敵だって見つけやすい こういった器官と口が 動物の体の前面についているけど これを何と呼ぶか知っているね 頭だ 頭を持つことによって 左右対称性を持つようになる それに加えて 魚なら流線型のひれ 鳥なら空気力学的な羽 きつねなら走りやすい脚 なんかがあると役立つ しかしこれは進化と何の 関係があるのだろう どうやら生物学者は これらの対称性を使って 動物同士の関係を 見つけ出せるようだ 例えばヒトデとウニは 五放射対称だと言ったけど もっと正確に言うと 大人になったヒトデとウニが 五放射対称なんだ 幼生期では 人間のように左右対称なんだ 生物学者にとってこれは 有力な証拠になる 人間がヒトデと 生物学的に近いという証拠だ たとえばサンゴ あるいは― 発達段階で 左右対称を持たない他の動物と 比べたときよりもね 生物学で最も素晴らしく 重要な問題は 生物の系図を 構築しなおすことだ いつどうやって枝分かれしたのかを 見つけ出すことだ 体の対称性という 単純なことを考えることは 私たちが進化してきた 過程を探求し 私たち人類がどこから来たかを 理解する助けとなる