When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.
Cuando escuchas la palabra simetría, quizá imaginas una forma geométrica simple como un cuadrado o un triángulo, o el patrón complejo en las alas de una mariposa. Si tienes una inclinación artística, quizá piensas en las modulaciones sutiles de un concierto de Mozart, o el equilibrio sin esfuerzo de una primera bailarina. Usada en la vida cotidiana, la palabra simetría representa nociones vagas de belleza, armonía y equilibrio. En matemática y ciencia, tiene un significado diferente, muy específico. En este sentido técnico, la simetría es la propiedad de un objeto. Casi todo puede tener simetría, desde seres tangibles como las mariposas hasta entidades abstractas como las formas geométricas. ¿Qué significa que un objeto sea simétrico? Esta es la definición: la simetría es una transformación que deja al objeto sin cambio. Bueno, eso puede sonar un poco abstracto, veámoslo. Les mostraré un ejemplo en particular: este triángulo equilátero. Si rotamos el triángulo 120 grados, alrededor de su centro, terminamos con un triángulo idéntico al original. En este caso, el objeto es el triángulo, y la transformación que deja al objeto sin cambios es una rotación de 120 grados. Por eso podemos decir que el triángulo equilátero es simétrico respecto a las rotaciones de 120 grados alrededor de su centro. Si en cambio rotamos el triángulo 90 grados, el triángulo rotado se vería diferente al original. En otras palabras, el triángulo equilátero no es simétrico respecto a las rotaciones de 90 grados alrededor de su centro. Pero ¿por qué se preocupan matemáticos y científicos por las simetrías? Resulta que son esenciales en muchos campos de la matemática y la ciencia. Analicemos de cerca un ejemplo: la simetría en la biología. Quizá hayas notado que hay una simetría muy familiar que aún no hemos mencionado: la simetría del lado izquierdo y derecho del cuerpo humano. La transformación que da esta simetría es la reflexión de un espejo imaginario que divide verticalmente el cuerpo en dos. Los biólogos la llaman simetría bilateral. Como toda simetría hallada en seres vivos, es solo aproximada, pero no obstante es una característica notable del cuerpo humano. Los humanos no somos los únicos organismos con simetría bilateral. Muchos otros animales: zorros, tiburones, escarabajos, esa mariposa que mencionábamos antes, tienen esta simetría, así como algunas plantas como las orquídeas. Otros organismos tienen simetrías diferentes, que solo se manifiestan al rotar el organismo alrededor de su centro. Se parece mucho a la simetría de rotación del triángulo que vimos antes. Pero cuando ocurre en animales, este tipo de simetría se conoce como simetría radial. Por ejemplo, algunos erizos y estrellas de mar tener simetría pentaradial o quíntuple, es decir, simetría respecto a rotaciones de 72 grados alrededor de su centro. Esta simetría también aparece en las plantas, como pueden ver partiendo una manzana horizontalmente. Algunas medusas son simétricas respecto a rotaciones de 90 grados, mientras que las anémonas de mar son simétricas al girarlas en cualquier ángulo. Algunos corales, por otro lado, no tienen simetría alguna. Son completamente asimétricos. ¿Por qué los organismos presentan estas diferentes simetrías? ¿La simetría del cuerpo dice algo sobre el estilo de vida del animal? Veamos un grupo particular: los animales con simetría bilateral. En este campo tenemos zorros, escarabajos, tiburones, mariposas, y, por supuesto, el hombre. Lo que une a los animales de simetría bilateral es que sus cuerpos están diseñados en torno al movimiento. Si uno desea elegir una dirección y moverse de esa manera, ayuda tener un frente en el que agrupar los órganos sensoriales: ojos, oídos y nariz. Ayuda el tener la boca allí también dado que es más probable ir tras la comida o huir de enemigos por este lado. Quizá resulte familiar el nombre de este grupo de órganos, más una boca montada frente al cuerpo de un animal. Se llama cabeza. Tener una cabeza lleva naturalmente al desarrollo de la simetría bilateral. Y también ayuda a construir aletas eficientes si eres un pez, alas aerodinámicas si eres un ave, o piernas bien coordinadas para correr si eres un zorro. Pero ¿qué tiene que ver todo esto con la evolución? Resulta que los biólogos pueden usar estas varias simetrías corporales para averiguar qué animales están relacionados con otros. Por ejemplo, vimos que las estrellas y los erizos de mar tienen simetría quíntuple. En realidad debimos decir las estrellas y los erizos adultos. En su etapa larval son bilaterales, al igual que nosotros los humanos. Para los biólogos esto es evidencia fuerte de que estamos más estrechamente relacionados con la estrella de mar que, digamos, con los corales, u otros animales que no presentan simetría bilateral en cualquier etapa de su desarrollo. Uno de los problemas más fascinantes e importantes de la biología es la reconstrucción del árbol de la vida, y descubrir cuándo y cómo divergieron las distintas ramas. Pensar en algo tan simple como la simetría del cuerpo puede ayudarnos a profundizar en el pasado evolutivo y comprender de dónde venimos como especie.