Wenn du das Wort Symmetrie hörst, denkst du vielleicht an eine einfache geometrische Figur, wie ein Quadrat oder ein Dreieck, oder das komplexe Muster auf Schmetterlingsflügeln. Ist man künstlerisch veranlagt, könnte man an die feinen Modulationen eines Mozartkonzerts oder die mühelose Grazie einer Prima Ballerina denken. Verwendet man es im Alltag, verkörpert das Wort Symmetrie vage Vorstellungen von Schönheit, Harmonie und Balance. In Mathematik und Wissenschaft hat Symmetrie eine andere, sehr spezifische Bedeutung. In diesem technischen Sinne ist Symmetrie die Eigenschaft eines Objekts. So ziemlich jede Art von Objekt kann Symmetrie haben, von greifbaren Dingen wie Schmetterlingen, zu abstrakte Entitäten wie geometrische Formen. Also, was bedeutet es, dass ein Objekt symmetrisch ist? Hier ist die Definition: Symmetrie ist eine Transformation, die das Objekt unverändert lässt. Okay, das klingt ein bisschen abstrakt, also lasst uns das auseinandernehmen. Es hilft, ein bestimmtes Beispiel zu betrachten, wie dieses gleichseitige Dreieck. Wenn wir unser Dreieck um 120 Grad drehen, um einen Zugang durch sein Zentrum, enden wir mit einem Dreieck, das mit dem Original identisch ist. In diesem Fall ist das Objekt das Dreieck, und die Umwandlung, die das Objekt unverändert lässt, ist die Drehung um 120 Grad. Wir können also sagen, dass ein gleichseitiges Dreieck symmetrisch ist in Bezug auf Rotationen von 120 Grad um seine Mitte. Hätten wir das Dreieck um etwa 90 Grad gedreht, sähe das gedrehte Dreieck anders aus als das Original. Anders gesagt, ein gleichseitiges Dreieck ist nicht symmetrisch in Bezug auf Rotationen von 90 Grad um seine Mitte. Aber warum interessieren sich Mathematiker und Wissenschaftler für Symmetrien? Sie sind in vielen Bereichen der Mathematik und der Wissenschaft wesentlich. Schauen wir uns ein Beispiel an: Symmetrie in der Biologie. Du hast wohl bemerkt, dass es eine sehr vertraute Art von Symmetrie gibt, die wir noch nicht erwähnt haben: Die Symmetrie der rechten und linken Seiten des menschlichen Körpers. Die Transformation, die zu dieser Symmetrie führt, ist Spiegelung, durch einen imaginären Spiegel, der den Körper senkrecht durchtrennt. Biologen nennen das bilaterale Symmetrie. Wie bei allen Symmetrien bei Lebewesen ist sie nur annähernd, aber immer noch ein markantes Merkmal des menschlichen Körpers. Wir Menschen sind nicht die einzigen bilateral symmetrischen Organismen. Viele andere Tiere -- Füchse, Haie, Käfer, der Schmetterling, den wir früher erwähnten -- haben diese Art von Symmetrie, wie einige Pflanzen wie Orchideenblumen. Andere Organismen haben unterschiedliche Symmetrien, diejenigen, die nur sichtbar werden, wenn du den Organismus um seinen Mittelpunkt drehst. So ähnlich wie die Rotationssymmetrie des Dreiecks, die wir früher gesehen haben. Aber wenn es bei Tieren vorkommt, wird diese Art von Symmetrie als radiale Symmetrie bezeichnet. So haben einige Seeigel und Seesterne eine pentaradiale oder fünffache Symmetrie, das heißt, Symmetrie in Bezug auf Rotationen von 72 Grad um ihre Mitte. Diese Symmetrie tritt auch bei Pflanzen auf, wie du selbst sehen kannst, wenn du einen Apfel horizontal aufschneidest. Einige Quallen sind symmetrisch in Bezug auf Rotationen um 90 Grad, während Seeanemonen symmetrisch sind, egal um wie viel Grad man sie dreht. Einige Korallen haben dagegen überhaupt keine Symmetrie. Sie sind völlig asymmetrisch. Aber warum zeigen die Organismen diese unterschiedlichen Symmetrien? Sagt die Körpersymmetrie etwas über den Lebensstil eines Tieres? Schauen wir uns eine bestimmte Gruppe an: Bilateral symmetrische Tiere. In diesem Lager haben wir Füchse, Käfer, Haie, Schmetterlinge, und natürlich Menschen. Das, was bilateral symmetrische Tiere verbindet, ist, dass ihre Körper um Bewegung herum entworfen sind. Wenn man eine Richtung auswählen und sich bewegen möchte, hilft es, eine Vorderseite zu haben, wo man die Sinnesorgane gruppieren kann -- deine Augen, Ohren und Nase. Es hilft dir auch dort den Mund zu haben, da man da eher auf Nahrung oder auf Feinde treffen kann. Du bist wahrscheinlich vertraut mit dem Namen für eine Organgruppe, plus einen Mund, auf die Vorderseite des Körpers eines Tieres montiert. Man nennt es Kopf. Ein Kopf führt natürlich zur Entwicklung einer bilateralen Symmetrie. Es hilft Fischen bei der Entwicklung stromlinienförmiger Flossen, Vögeln dabei aerodynamische Flügel oder Füchsen gut koordinierte Beine zum Laufen zu entwickeln. Aber was hat das alles mit der Evolution zu tun? Wie sich zeigt, können Biologen diese verschiedenen Körpersymmetrien nutzen, um herauszufinden, welche Tiere miteinander verwandt sind. So haben wir gesehen, dass Seesterne und Seeigel fünffache Symmetrie haben. Aber wir hätten sagen sollen: erwachsene Seesterne und Seeigel. In ihrem Larvenstadium sind sie bilateral, genau wie wir Menschen. Für Biologen ist dies ein starker Beweis dafür, dass wir näher mit Seestern verwandt sind, als, zum Beispiel, mit Korallen, oder anderen Tieren, die keine bilaterale Symmetrie aufweisen, in jedem Stadium ihrer Entwicklung. Eines der faszinierendsten und bedeutendsten Probleme der Biologie ist die Rekonstruktion des Baums des Lebens, zu entdecken, wann und wie die verschiedenen Zweige abzweigten. Über etwas so Einfaches wie Körpersymmetrie nachzudenken, kann uns helfen, weit in unserer evolutionären Vergangenheit zu graben und zu verstehen, woher wir als Spezies gekommen sind.
When you hear the word symmetry, maybe you picture a simple geometric shape like a square or a triangle, or the complex pattern on a butterfly's wings. If you are artistically inclined, you might think of the subtle modulations of a Mozart concerto, or the effortless poise of a prima ballerina. When used in every day life, the word symmetry represents vague notions of beauty, harmony and balance. In math and science, symmetry has a different, and very specific, meaning. In this technical sense, a symmetry is the property of an object. Pretty much any type of object can have symmetry, from tangible things like butterflies, to abstract entities like geometric shapes. So, what does it mean for an object to be symmetric? Here's the definition: a symmetry is a transformation that leaves that object unchanged. Okay, that sounds a bit abstract, so let's unpack it. It will help to look at a particular example, like this equilateral triangle. If we rotate our triangle through 120 degrees, around an access through its center, we end up with a triangle that's identical to the original. In this case, the object is the triangle, and the transformation that leaves the object unchanged is rotation through 120 degrees. So we can say an equilateral triangle is symmetric with respect to rotations of 120 degrees around its center. If we rotated the triangle by, say, 90 degrees instead, the rotated triangle would look different to the original. In other words, an equilateral triangle is not symmetric with respect to rotations of 90 degrees around its center. But why do mathematicians and scientists care about symmetries? Turns out, they're essential in many fields of math and science. Let's take a close look at one example: symmetry in biology. You might have noticed that there's a very familiar kind of symmetry we haven't mentioned yet: the symmetry of the right and left sides of the human body. The transformation that gives this symmetry is reflection by an imaginary mirror that slices vertically through the body. Biologists call this bilateral symmetry. As with all symmetries found in living things, it's only approximate, but still a striking feature of the human body. We humans aren't the only bilaterally symmetric organisms. Many other animals, foxes, sharks, beetles, that butterfly we mentioned earlier, have this kind of symmetry, as do some plants like orchid flowers. Other organisms have different symmetries, ones that only become apparent when you rotate the organism around its center point. It's a lot like the rotational symmetry of the triangle we watched earlier. But when it occurs in animals, this kind of symmetry is known as radial symmetry. For instance, some sea urchins and starfish have pentaradial or five-fold symmetry, that is, symmetry with respect to rotations of 72 degrees around their center. This symmetry also appears in plants, as you can see for yourself by slicing through an apple horizontally. Some jellyfish are symmetric with respect to rotations of 90 degrees, while sea anemones are symmetric when you rotate them at any angle. Some corals, on the other hand, have no symmetry at all. They are completely asymmetric. But why do organisms exhibit these different symmetries? Does body symmetry tell us anything about an animal's lifestyle? Let's look at one particular group: bilaterally symmetric animals. In this camp, we have foxes, beetles, sharks, butterflies, and, of course, humans. The thing that unites bilaterally symmetric animals is that their bodies are designed around movement. If you want to pick one direction and move that way, it helps to have a front end where you can group your sensory organs-- your eyes, ears and nose. It helps to have your mouth there too since you're more likely to run into food or enemies from this end. You're probably familiar with a name for a group of organs, plus a mouth, mounted on the front of an animal's body. It's called a head. Having a head leads naturally to the development of bilateral symmetry. And it also helps you build streamlined fins if you're a fish, aerodynamic wings if you're a bird, or well coordinated legs for running if you're a fox. But, what does this all have to do with evolution? Turns out, biologists can use these various body symmetries to figure out which animals are related to which. For instance, we saw that starfish and sea urchins have five-fold symmetry. But really what we should have said was adult starfish and sea urchins. In their larval stage, they're bilateral, just like us humans. For biologists, this is strong evidence that we're more closely related to starfish than we are, to say, corals, or other animals that don't exhibit bilateral symmetry at any stage in their development. One of the most fascinating and important problems in biology is reconstructing the tree of life, discovering when and how the different branches diverged. Thinking about something as simple as body symmetry can help us dig far into our evolutionary past and understand where we, as a species, have come from.