What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
Điều gì mà người Pháp làm tốt hơn những người khác ? Nếu bạn thực hiện một cuộc khảo sát thì 3 đáp án đứng đầu sẽ là tình yêu, rượu và sự than vãn
(Laughter)
(khán giả cười)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Có thể là như thế Nhưng tôi muốn thêm vào một điều nữa Toán học Bạn có biết rằng Paris có nhiều nhà toán học hơn bất cứ thành phố nào trên thể giới ? Và nhiều con đường mang tên những nhà toán học nữa. Và nếu bạn xem thống kê của huy chương Fields thường được gọi là giải Nobel toán học, được trao cho những nhà toán học dưới 40 tuổi, bạn sẽ nhận thấy rằng người Pháp đạt được nhiều huy chương trên đầu người hơn bất kì một nước nào khác.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Vậy Toán học có gì hấp dẫn? Sau tất cả, toán học luôn có vẻ mơ hồ và ngu ngốc chỉ có những con số, phép tính và các quy luật để áp dụng Toán học có thể rất trừu tượng nhưng nó không ngu ngốc chút nào và nó không chỉ là tính toán. Toán học là sự lí giải và chứng minh cho hoạt động cốt lõi Nó là sự tưởng tượng, là năng lực mà chúng ta ca tụng nhiều nhất. Nó là quá trình tìm hiểu sự thật Sẽ không có điều gì giống được với cảm giác ập đến sau nhiều tháng suy nghĩ miệt mài, bạn cuối cùng cũng hiểu được lập luận đúng để giải quyết vấn đề của bạn Nhà toán học vĩ đại - André Weil so sánh toán học -- không đùa đâu -- với sự niềm vui nhục dục. Nhưng hãy chú ý là cảm giác đó có thể tồn tại hàng nhiều giờ, thậm chí nhiều ngày
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
Thành tựu đạt được có thể lớn. Những chân lí toán học tiềm ẩn thấm vào cả thế giới của chúng ta Chúng ta không thể cảm thấy chúng bằng giác quan nhưng có thể thấy chúng qua ống kính toán học. Hãy nhắm mắt lại một lúc và suy nghĩ về những gì đang diễn ra xung quanh bạn. Những hạt vô hình từ không khí xung quanh đang chạm vào bạn hàng tỉ tỉ hạt mỗi giây, tất cả hoàn toàn hỗn loạn. Nhưng, chuyển động của chúng có thể được dự đoán một cách chính xác bằng vật lí toán học Và bây giờ hãy mở mắt để nhìn thống kê vận tốc của các hạt này.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
Đường cong chuông Gauss nổi tiếng, hay đường phân phối chuẩn -- của độ lệch so với giá trị trung bình Đường cong này cho ta thấy thống kê của vận tốc hạt Cũng như đường đồ thị dân số cho ta biết thống kê tuổi của con người. Đó là một trong những đồ thị quan trọng nhất. Nó xuất hiện lặp đi lặp lại trong nhiều lý thiết và thí nghiệm như là một ví dụ điển hình cho sự phổ biến, điều trân quý đối với các nhà toán học.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Về đồ thị này nhà khoa học nổi tiếng Francis Galton đã phát biểu "Nếu người Hy Lạp biết về nó, họ sẽ phong nó thành thần. Nó là định luật tối thượng của sự phi lí" Và cũng không có cách nào tốt hơn để cụ thể hoá vị thần này như mô hình của Galton. Mô hình này bao gồm những chiếc ống chằng chịt và những trái banh nhỏ sẽ rơi ngẫu nhiên, sang phải, hoặc trái, hoặc trái ... Tất cả đều hoàn toàn ngẫu nhiên và hỗn loạn Hãy xem điều gì sẽ xảy ra khi ta nhìn những quỹ đạo ngẫu nhiên đó cùng một lúc.
(Board shaking)
(Lắc mô hình)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Cần phải tập thể thao một chút, bởi vì chúng ta phải "khai thông" một vài đợt "tắc nghẽn giao thông" ở đây Aha Tôi nghĩ rằng sự ngẫu nhiên sẽ chơi tôi một vố trên sân khấu
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Nó đây rồi Vị thần tối cao của sự phi lý đường cong Gauss, bị mắc kẹt trong chiếc hộp trong suốt này, giống Dream trong truyện "The Sandman". Tôi đã cho mọi người thấy đường cong này, nhưng đối với sinh viên, tôi luôn giải thích tại sao nó không thể là đường cong khác. và điều này đang chạm đến bí ẩn của vị thần đó, thay thế một sự trùng hợp đẹp đẽ bằng một sự lí giải đẹp đẽ.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Tất cả khoa học đều như thế. Và những lí giải toán học này không chỉ dùng để mua vui. Chúng còn thay đổi cách nhìn của chúng ta về thế giới. Ví dụ như, Einstein, Perrin, Smoluchowski, họ đều dùng sự phân tích toán học của những quỹ đạo ngẫu nhiên và đường cong Gauss để giải thích và chứng minh thế giới của chúng ta cấu tạo bởi nguyên tử.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Đó không phải là lần đầu tiên mà toán học đã cách mạng hoá cái nhìn của chúng ta về thế giới. Hơn 2000 năm về trước, vào thời đại của người Hy Lạp cổ đại điều đó đã diễn ra rồi. Ngày đó, chỉ một phần nhỏ của thế giới đã được khám phá, và trái đất được xem như vô tận. Nhưng Eratosthenes thông thái, bằng cách sử dụng toán học, đã có thể đo được trái đất với sự chính xác đến hai phần trăm.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Đây là một ví dụ khác. Năm 1673, Jean Richer đã nhận thấy rằng một con lắc đung đưa hơi chậm hơn ở Cayenne so với ở Paris. Chỉ từ quan sát này, và nền toán học thông thái, Newton đã đi đến kết luận đúng đắn rằng Trái đất hơi dẹt ở các cực, khoảng 0.3 phần trăm -- nhỏ đến mức bạn không hề nhận thấy trên hình ảnh thực của trái đất.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Những câu chuyện này cho thấy rằng toán học có thể đưa chúng ta đi xa hơn trực giác của chính mình, đo đạc Trái Đất tưởng chừng vô tận, thấy được những nguyên tử vô hình hay tìm ra sự thay đổi không thể thấy được của hình dạng. Và nếu như có một điều bạn nên mang về nhà sau cuộc nói chuyện này chính là điều này : Toán học cho phép chúng ta vượt xa hơn trực giác và khám phá những vùng đất ngoài tầm tay với của chúng ta.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Đây là một ví dụ gần nhất mà tất cả chúng ta đều có liên quan đến: tìm kiếm trên mạng. Hệ thống World Wide Web, hơn một tỉ trang web -- bạn có muốn vào hết tất cả ? Công nghệ điện toán có thể giúp, thế nhưng chúng sẽ vô dụng nếu không có mô hình toán học đề tìm những thông tin ẩn giấu trong dữ liệu.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Bây giờ hãy giải quyết một vấn đề nhỏ. Tưởng tượng rằng bạn là một thám tử đang điều tra một vụ án, và có rất nhiều người chứng kiến sự việc. Bạn sẽ muốn thẩm vấn ai đầu tiên ? Câu trả lời dễ nhận thấy là : nhân chứng chính. Bạn thấy đấy, cứ cho rằng người số bảy kể cho bạn một câu chuyện nhưng khi bạn hỏi anh ấy biết câu chuyện ấy từ đâu thì anh ta lại chỉ người số 3. Và có thể người số 3, cũng sẽ chỉ người số 1 là nguồn tin chính. Vậy người số 1 là nhân chứng chính, cho nên tôi muốn thẩm vấn anh ta trước tiên. Và từ sơ đồ, ta cũng thấy rằng người thứ 4 cũng là nhân chứng chính. và có thể tôi cũng muốn thẩm vấn anh ta trước tiên, bởi vì có nhiều người chỉ về anh ấy.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Được rồi, chuyện đó có vẻ dễ, nhưng bây giờ nếu bạn có hàng tá nhân chứng ? Và sơ đồ này, Tôi có thể xem đây là tất cả những nhân chứng trong một vụ án phức tạp, nhưng nó cũng có thể chỉ là các trang web liên kết với nhau, tham chiếu nội dung của nhau. Những web nào là xác thực nhất? Không rõ ràng cho lắm.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Hãy truy cập vào PageRank, một trong những nền tảng ban đầu của Google. Thuật toán này sử dụng quy luật ngẫu nhiên của toán học để tự động xác định những web thích đáng nhất, giống như cách mà chúng ta dùng sự ngẫu nhiên trong mô hình thí nghiệm của Galton. Cho nên hãy đưa vào sơ đồ này một số những viên bi kỹ thuật số nhỏ và để chúng di chuyển một cách ngẫu nhiên qua đồ thị. Cứ mỗi lần chúng đến một vị trí, chúng sẽ đi đến vị trí tiếp theo thông qua một vài đường dẫn ngẫu nhiên. Và lặp lại lần nữa, lần nữa, lần nữa. và với các cột nhỏ cao dần lên chúng ta sẽ có được số liệu về số lần mỗi trang web được truy cập nhờ những viên bi kỹ thuật số này.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Bắt đầu nào. Sự ngẫu nhiên, sự ngẫu nhiên. Và dần dần, Hãy để cho chúng hoàn toàn ngẫu nhiên để tăng niềm vui.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
Và hãy nhìn đây: từ sự hỗn loạn sẽ xuất hiện giải pháp. Những cột cao nhất tương ứng với những trang web một cách nào đó liên kết tốt hơn những trang khác, và được chuyển hướng đến nhiều hơn những trang khác. Và chúng ta có thể thấy rõ ràng rằng đâu là trang web chúng ta muốn truy cập đầu tiên. Một lần nữa, giải pháp đã phát sinh từ sự ngẫu nhiên. Tất nhiên, từ thời điểm đó, Google đã có nhiều thuật toán phức tạp hơn, nhưng như vầy là đã đẹp rồi.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
Và còn nữa, đây chỉ là một vấn đề trong hàng triệu. với sự ra đời của lĩnh vực kĩ thuật số, ngày càng nhiều vấn đề được giải quyết bằng phân tích toán học, khiến cho công việc của nhà toán học trở nên ngày càng có ích hơn, đến mức một vài năm trước, công việc đó được xếp thứ hạng đầu tiên trong hàng trăm công việc trong một nghiên cứu về những công việc tốt nhất và tệ nhất được công bố bởi Wall Street Journal năm 2009.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Nhà toán học -- công việc tốt nhất trên thế giới. Đó là bởi vì các ứng dụng của toán: lí thuyết truyền thông, lý thuyết thông tin, lý thuyết trò chơi, cảm biến nén, học máy (trí tuệ nhân tạo), phân tích đồ thị, phân tích điều hoà, và tại sao không phải là quá trình ngẫu nhiên, lập trình tuyến tính, hoặc mô phỏng chất lỏng ? Mỗi lĩnh vực trên đều có những ứng dụng công nghiệp khổng lồ. Và thông qua chúng, ta có thể kiếm nhiều tiền từ toán học. và hãy để tôi khẳng định rằng nhắc đến việc dùng toán học tạo ra tiền, người Mĩ từ lâu đã trở thành vô địch thế giới, với những tỉ phú tiêu biểu, thông thái, và những công ti khổng lồ tuyệt vời, sau cùng, tất cả đều dựa vào những thuật toán tốt.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Bây giờ với tất cả sự hoàn mĩ, hữu dụng và giàu có này, toán học quả thật rất thu hút. Nhưng bạn có nghĩ rằng cuộc sống của một nhà nghiên cứu toán học là dễ dàng ? Nó luôn đầy sự hỗn tạp, sự thất vọng, và những cuộc chiến vô vọng tìm kiếm sự hiểu biết.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Để tôi cho bạn thấy một trong những ngày tiêu biểu của tôi, một nhà toán học hay tôi nên nói là một trong những đêm tiêu biểu. Vào thời điểm đó, tôi đang ở tại Viện nghiên cứu Cao Cấp ở Princeton nơi là nhà của Albert Einstein trong nhiều năm và được cho là một trọng những thánh đường của nghiên cứu toán học trên thế giới. Và trong đêm đó tôi đang làm việc với một chứng minh khó mà vẫn chưa được hoàn thành. Chứng minh về tính chất về sự ổn định nghịch lí của plasmas, một đám mây electrons. Trong thế giới hoàn hảo của plasma, không có sự va chạm và không có sự ma sát để tạo nên sự ổn định như chúng ta thường làm. Nhưng, nếu bạn xáo trộn nhẹ trạng thái cân bằng của plasma, bạn sẽ thấy rằng các lá chắn điện sẽ tự động biến mất, hoặc bị kiềm hãm lại, như thể bởi một lực kì bí nào đó.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Hiệu ứng nghịch lí này, được gọi là Landau giảm xóc là một trong những điều quan trọng nhất của vật lí plasma, và nó đã được khám phá bằng những ý tưởng toán học. Nhưng, vẫn còn thiếu sự hiểu biết toàn diện về mặt toán học của hiện tượng này và cùng với cựu học sinh và cộng sự của tôi Clément Mouhot, ở Paris vào lúc đó, chúng tôi đã nghiên cứu hàng tháng trời để chứng minh điều này. Thật ra, tôi đã vô tình công bố rằng chúng tôi có thể giải quyết nó. Nhưng sự thật là, Chứng minh đó không đúng. Bất chấp hơn 100 trang giấy về những lập luận toán học phức tạp, và hàng tá khám phá, và sự tính toán khổng lồ, nó vẫn không đúng. Và vào một đêm ở Princeton, một lỗ hỗng cụ thể trong một chuỗi lập luận đã làm tôi muốn nổ tung. Tôi đã từng dành tất cả năng lượng, kinh nghiệm và mưu mẹo của mình nhưng vẫn không được. 1 giờ sáng, 2 giờ sáng, 3 giờ sáng.., không được. Khoảng 4 giờ sáng, tôi đi ngủ với tinh thần kiệt quệ. Và rồi một vài giờ sau, tôi thức dậy, "Ôi, đã đến giờ đưa lũ trẻ tới trường --" Cái gì đây ? Có một giọng nói trong đầu tôi, tôi thề đấy. "Đem phần tử thứ hai sang phía bên kia, Chuyển đổi và nghịch đảo Fourier trong L2"
(Laughter)
(khán giả cười)
Damn it, that was the start of the solution!
Khỉ thật đó là nơi đáp án bắt đầu!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Bạn thấy đấy, Tôi tưởng rằng tôi đã nghĩ ngơi nhưng thật ra bộ não của tôi vẫn tiếp tục hoạt động. Trong những khoảnh khắc đó, bạn sẽ không nghĩ đến sự nghiệp hay đồng nghiệp của bạn, mà chỉ hoàn toàn là một trận chiến giữa vấn đề và bạn.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Có thể nói rằng không có hại gì nếu bạn được thăng chức vì bạn đã làm việc chăm chỉ. và sau khi chúng tôi hoàn thành quá trình phân tích Landau giảm xóc, tôi đã may mắn nhận được huy chương Fields mà tôi hằng khao khát từ tay của vị tổng thống Ấn Độ, ở Hyderabad vào ngày 19 tháng Tám, 2010 -- một vinh dự mà những nhà toán học không bao giờ dám mơ đến một ngày mà tôi sẽ luôn nhớ trong suốt cuộc đời mình.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Bạn nghĩ sao , trong những dịp như thế ? Tự hào, đúng chứ ? và biết ơn những cộng tác viên đã giúp tôi thực hiện điều này. Và bởi vì nó là một hành trình chung, bạn cần phải chia sẻ nó, không chỉ với những cộng tác viên. Tôi tin rằng mọi người đều trân trọng sự rộn ràng của những nghiên cứu toán học, và chia sẻ những câu chuyện đầy nhiệt huyết của con người và ý tưởng đằng sau chúng Và tôi đã làm việc với nhân viên của mình tại viện Henri Poincaré, cùng với những cộng sự và những "nghệ sĩ" truyền thông toán học trên toàn thế giới, để chúng tôi có thể tự mình lập nên một viện bảo tàng toán học tại đó.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Cho nên trong một vài năm nữa, khi bạn đến Paris, sau khi đã nếm thử bánh mì baguette và macaron giòn ngon tuyệt, hãy đến gặp chúng tôi tại viện Henri Poincaré, và chia sẻ những giấc mơ toán học của bạn.
Thank you.
Xin cảm ơn.
(Applause)
(vỗ tay)