What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
Що французи роблять краще, ніж всі інші? Якщо ви проведете опитування, першими трьома відповідями можуть бути: кохання, вино і скиглення.
(Laughter)
(Сміх)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Можливо. Але дозвольте мені запропонувати четверту: математика. Чи знаєте ви, що в Парижі було більше математиків, ніж у будь-якому місті світу? І також більше вулиць на честь математиків. Якщо ви розглянете статистику тих, хто отримав Філдсівську премію, яку часто називають Нобелівською премією з математики і завжди дають математикам у віці до 40 років, ви побачите, що у Франції більше медалістів Філдса на одну людину, ніж у будь-якій країні.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Що ж такого привабливого у математиці? Зрештою, вона здається нудною і абстрактною: лише цифри, розрахунки і правила застосування. Математика може бути абстрактною, але вона не є нудною і складається не лише з розрахунків. Вона складається з міркувань і доведень нашої основної діяльності. Вона складається з уяви - таланту, що його ми цінуємо понад усе. У ній йдется про пошук істини. Немає нічого схожого до почуття, яке наповнює вас, коли після місяців напруженого мислення вам нарешті приходять правильні думки для розв'язання задачі. Великий математик Андре Вейль порівняв це - без жартів - із сексуальним задоволенням. Але зауважив, що це почуття може тривати годинами або навіть днями.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
Винагорода може бути значна. Приховані математичні істини пронизують весь наш фізичний світ. Вони недоступні для наших почуттів, але їх можна побачити через призму математики. На мить заплющіть очі і подумайте, що відбувається прямо зараз навколо вас. Невидимі частинки з повітря навколо вдаряються об вас - мільярди і мільярди кожної секунди - і все це в повному хаосі. І все ж, ця статистика може бути точно передбачена математичною фізикою. А зараз розплющте очі на статистику швидкостей цих частинок.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
Відома дзвоноподібна крива Ґауса - або Закон помилок - відхилення стосовно звичних закономірностей. Ця крива розкриває статистику щодо швидкостей цих частинок, так само як і демографічна крива розкриває статистику щодо віку людей. Це одна з найважливіших кривих за все існування. Вона виникає знову і знову, з багатьох теорій і багатьох експериментів, як яскравий приклад універсальності, який є таким цінним для нас - математиків.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Завдяки цій кривій, відомий науковець Френсіс Ґальтон сказав: "Якби греки знали про неї, вони б її боготворили. Це вища ступінь безрозсудності". І немає кращого способу матеріалізувати вище божество, ніж дошка Ґальтона. Всередині неї - вузькі проходи, через які крихітні кульки падають у довільному порядку, просуваючись вправо або вліво, або вправо і так далі. Все це у повній довільності і хаосі. Розгляньмо, що відбувається, коли ми дивимось на всі ці траєкторії одночасно
(Board shaking)
(Трясе дошку).
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Це трохи кумедно, адже нам немовби треба розібратися з певними "заторами". Ага. Ми думаємо, що довільність насміхається наді мною на сцені.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Так і є. Наша найвища ступінь безрозсудності, крива Ґауса, розміщена всередині цієї прозорої коробки, наче Сон з коміксу "Пісочна людина". Для вас я показав її, але моїм студентам я пояснив, чому тут не може бути жодної іншої кривої. Ми торкаємось при цьому таємниці того божества, замінюючи прекрасний збіг прекрасним поясненням.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Всі науки такі ж, як ця. І прекрасні математичні пояснення існують не лише для нашого задоволення. Вони також змінюють наше бачення світу. Наприклад: Ейнштейн, Перрін, Смолуховський - вони використовували математичний аналіз довільних траєкторій і криву Ґауса, щоб пояснити і довести, що наш світ складається з атомів.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Це було не вперше, коли математика кардинально змінювала наш погляд на світ. Більш ніж 2000 років тому, в часи давніх греків, вона вже існувала. У ті дні лише мала частина світу була досліджена, і Земля могла б здаватися нескінченною. Але розумний Ератосфен, використовуючи математику, спромігся виміряти Землю з дивовижною точністю до двох відсотків.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Ось ще один приклад. У 1673 році Жан Ріше помітив, що маятник гойдається трішки повільніше в місті Каєнна, ніж у Парижі. З цього єдиного спостереження і детально продуманої математики Ньютон правильно вивів, що Земля трохи сплющена біля полюсів, до близько 0.3 відсотка - настільки мало, що ви навіть не помітите цього на справжній проекцї Землі.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Ці історії показують, що математика змушує нас змінити своє сприйняття, виміряти Землю, яка здається нескінченною, побачити невидимі атоми або виявити непомітну зміну форми. І якщо існує лише одна річ, яку ви повинні запам'ятати з нашої розмови, це буде саме це: математика дає нам змогу вийти за межі сприйняття і дослідити території, які не вписуються в межі наших міркувань.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Ось ще один сучасний, добре знайомий вам приклад: пошук в Інтернеті. "Всесвітня павутина" - більш ніж один мільярд веб-сторінок - чи ви хочете їх детально дослідити? Обчислювальна потужність допоможе вам у цьому, але вона була б марна без математичного моделювання для пошуку інформації, прихованої в базі даних.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Розв'яжімо одне легке завдання. Уявіть, що ви - детектив, який працює над кримінальним злочином, і є багато людей, у кожного з яких своя версія фактів. У кого спершу ви візьмете інтерв'ю? Слушна відповідь: у головного свідка. Як бачите, припустімо, ніби існує особа номер сім, яка розповідає вам історію, але коли ви спитаєте, звідки вона її взяла, вона вкаже на особу номер три як на першоджерело. І, можливо, особа номер три, своєю чергою, вкаже на особу номер один, як на основне джерело. Номер один є головним свідком, так що я, безумовно, хочу спершу взяти інтерв'ю у нього. А зі списку ми також бачимо, що особа номер чотири є головним свідком. І, можливо, я захочу спершу у нього взяти інтерв'ю, через те, що більше людей посилаються на нього.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Добре, це було легко, але що якби ви мали велику групу свідків? І цей графік - може це всі люди, які свідчили у справі про складний кримінальний злочин, а може це веб-сторінки, що вказують одна на одну, посилаючись на зміст кожної з них. Які з них найбільш авторитетні? Не дуже зрозуміло.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Ввійдіть на PageRank - один із важливих елементів Google. Цей алгоритм використовує закони математичної випадковості, щоб автоматично визначити найактуальніші веб-сторінки, таким же чином, як і довільність у експерименті з дошкою Ґальтона. Отже, відправмо в цей список купу крихітних, цифрових кульок і дозволимо їм у довільному порядку рухатися по ньому. Потрапляючи на сайт, вони пройдуть через певне випадково вибране посилання до наступного. І знову, і знову, і знову. І, за допомогою цих елементів, ми слідкуватимемо за тим, скільки разів потрапляли на сайт ті цифрові кульки.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Ось так. Випадковість, випадковість. І час від часу також стрибаймо абсолютно довільно, щоб було ще веселіше.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
І подивіться на це: від хаосу з'явиться рішення. Найчастотніші елементи відповідають тим сайтам, які певним чином краще з'єднані з іншими, на них більше звертають увагу. І тут ми ясно бачимо, на які веб-сторінки ми хочемо зайти в першу чергу. І знову рішення приходить випадково. Звичайно, відтоді Google стикався зі складнішими алгоритмами, але вже цей був прекрасний.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
І все ж, лише одна проблема на мільйон. З появою цифрової галузі все більше і більше задач надаються до математичного аналізу, що робить професію математика дедалі кориснішою, так що декілька років тому цей фах зайняв перше місце серед сотень професій у дослідженні найкращих і найгірших з них, опублікованому у Wall Street Journal у 2009 році.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Математик - найкраща професія у світі. А все завдяки зв'язку зі сферою використання: комунікативна теорія, інформаційна теорія, ігрова теорія, стиснене вимірювання, машинне навчання, графічний аналіз, гармонічний аналіз. І чому б не випадковий процес, лінійне програмування або моделювання рідини? Кожна з цих галузей є монстром у сфері промислового застосування. І завдяки ним у математиці крутяться великі гроші. Припускаю, що коли справа доходить до отримання прибутку, американці є світовими чемпіонами зі своїми розумними, харизматичними мільярдерами і дивовижними, гігантськими компаніями - по суті, це все базується на майстерному алгоритмі.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
З усією цією красою, корисністю і багатством математика виглядає привабливіше. Але чи не здається вам, що життя дослідника - математика є легким? Воно наповнене подивом, розчаруванням, відчайдушною боротьбою за усвідомлення.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Хочу навести приклад одного з найвражаючих днів з мого математичного життя. Чи то пак однієї з найвражаючих ночей. У той час я перебував в Інституті перспективних досліджень у Прінстоні - у багатолітньому домі Альберта Ейнштейна і, можливо, "свята святих" для математичних досліджень у світі. Тієї ночі я працював і працював над смутним доказом, який був незавершеним. Він заключався в усвідомленні парадоксальної стабільної властивості плазми, яка є скупченням електронів. В ідеальному світі плазми немає жодних зіткнень і тертя, щоб забезпечити стійкість, до якої ми звикли. І тим не менш, при найменшому порушенні плазмової рівноваги ви виявите, що електричне поле, яке виникає в результаті, спонтанно зникає або випаровується, ніби під впливом якоїсь таємничої сили тертя.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Це парадоксальне явище, назване затуханням Ландау, є одним з найважливіших серед фізичних властивостей плазми, і його відкрили математичним шляхом. І все ж, повністю зрозуміти цей феномен математикам раніше не вдавалось. Разом з моїм колишнім студентом і найближчим колегою Клементом Муо, тоді ще в Парижі, ми працювали над пошуком цього доказу довгими місяцями. Насправді я вже ненароком оголосив, що ми могли б розв'язати цю задачу. Але насправді з доказом щось було не так. Попри більш, ніж сотню сторінок складних, математичних аргументів, купу відкриттів і безліч розрахунків, він не спрацьовував. І тієї ночі у Прінстоні певна розбіжність у низці умовиводів зводила мене з розуму. Я вкладав у пошук всю свою енергію, досвід і навички, але нічого не виходило. Перша година ночі, друга, третя - все марно. Близько четвертої ранку я пішов спати у кепському настрої. Згодом, через декілька годин, я прокидаюсь і думаю: "Ох, час збирати дітей до школи..." Але що це? Присягаюсь, я почув свій внутрішній голос. "Перенеси другу змінну вправо, застосуй перетворення Фур'є і інверсію L2".
(Laughter)
(Сміх).
Damn it, that was the start of the solution!
Чорт забирай, це стало початком розв'язку!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Розумієте, я подумав, що трохи відпочив, але насправді мій мозок продовжував над цим працювати. В такі моменти ви не думаєте про кар'єру чи про колег - це бій віч-на-віч із проблемою.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Безумовно це не заважає вам отримати підвищення як нагороду за вашу складну працю. Після того, як ми завершили наш грандіозний аналіз затухання Ландау, мені пощастило отримати омріяну медаль Філдса з рук Президента Індії в Гайдабараді 19 серпня 2010 року - нагороду, про яку математики і мріяти не сміють, це був день, який я запам'ятаю на все життя.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Що ви відчуваєте у такому випадку? Гордість, так? І вдячність багатьом колегам, які зробили це можливим. Оскільки це колективне досягнення, ним потрібно поділитися, і не лише зі своїми колегами. Я певен, що кожен може зрозуміти захоплення математичним пошуком і поділитися захопливими історіями про людей та ідеї, які стоять за ними. Разом з моїми колегами з Інституту Анрі Пуанкаре, разом із партнерами і майстрами математичної комунікації зі всього світу ми працюємо над створенням власного музею, присвяченого математиці.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Так що через декілька років, коли ви приїдете до Парижу, покуштувавши чудовий, хрумкий багет і макаруни, прошу вас, зайдіть до нас в Інститут Анрі Пуанкаре і розділіть з нами нашу математичну мрію.
Thank you.
Дякую вам.
(Applause)
(Оплески).