What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
Vad är det som det franska folket gör bättre än alla andra? Om du skulle göra en enkät skulle de tre vanligaste svaren kunna vara: kärlek, vin och klagan.
(Laughter)
(Skratt)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Kanske. Men låt mig föreslå ett fjärde: matematik. Visste ni att Paris har fler matematiker än någon annan stad i världen? Och fler gator uppkallade efter matematiker också. Om man tittar på statistiken för Fieldsmedaljen, som ofta kallas för Nobelpriset för matematiker, och alltid ges till matematiker under 40 år, upptäcker man att Frankrike har fler Fieldsmedaljörer per invånare än något annat land.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Vad är det vi tycker är så sexigt med matte? Trots allt verkar det vara tråkigt och abstrakt, bara nummer och beräkningar och regler att tillämpa. Matematik må vara abstrakt, men det är inte tråkigt och det handlar inte om beräkningar. Det handlar om att resonera och bevisa vår huvudaktivitet. Det handlar om fantasi, den egenskap som vi prisar mest. Det handlar om att hitta sanningen. Inget går upp mot känslan som överväldigar dig när du efter månader av koncentrerat tänkande äntligen hittar rätt resonemang för att lösa ditt problem. Den store matematikern André Weil liknade det här vid - jag skojar inte - sexuell njutning. Men han påpekade också att känslan kan hålla i sig i timmar, till och med dagar.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
Belöningen kan vara stor. Gömda matematiska sanningar genomsyrar hela vår fysiska värld. De är oåtkomliga för våra sinnen, men kan ses genom matematiska linser. Blunda en stund och tänk på vad som händer omkring dig just nu. Osynliga partiklar från luften runt dig studsar på dig, miljardtals varje sekund, i fullständig oordning. Och ändå kan deras statistik förutsägas korrekt genom matematisk fysik. Öppna nu ögonen för statistiken över hastigheten hos dessa partiklar.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
Den berömda klockformade Gauss-kurvan eller normaldistributionen för avvikelser från det genomsnittliga beteendet. Den här kurvan berättar om statistiken för hastigheten hos partiklar på samma sätt som en demografisk kurva skulle berätta om individers ålder. Den är en av de viktigaste kurvorna någonsin. Den fortsätter att uppkomma om och om igen, ur många teorier och många experiment, som ett enastående exempel på den universalitet som vi matematiker tycker så mycket om.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Om den här kurvan, har den kände vetenskapsmannen Francis Galton sagt: "Den skulle ha avgudats av grekerna om de hade vetat om den. Det är den högsta lagen om oförnuft." Det bästa sättet att levandegöra den högsta gudinnan är med Galtons bräde. I det här brädet finns smala tunnlar genom vilka mycket små bollar faller slumpmässigt, till höger eller vänster, eller vänster, etc. Helt slumpmässigt och oordnat. Låt oss se vad som händer om vi tittar på de här slumpmässiga banorna tillsammans.
(Board shaking)
(Brädet skakas)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Det här är lite av en utmaning, för vi behöver lösa några trafikstockningar där inne. Aha. Vi tror att slumpen ska spela mig ett spratt på scenen.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Nu så. Vår högsta gudinna av oförnuft, Gauss-kurvan, fångad här inuti en transparent låda likt Dream i Sandman-serierna. Jag har visat det här för er, men för mina elever förklarar jag varför det inte kunde vara någon annan kurva. Det här snuddar vid den där gudinnans mysterium och ersätter ett vackert sammanträffande med en vacker förklaring.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
All vetenskap är så här. Och vackra matematiska förklaringar finns inte bara till för vårt nöjes skull. De förändrar också hur vi ser på världen. Till exempel Einstein, Perrin, Smoluchowski, de använde matematisk analys av slumpmässiga banor, och Gauss-kurvan, för att förklara och bevisa att vår värld är gjord av atomer.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Det var inte första gången som matematik revolutionerade vår syn på världen. Redan för mer än 2 000 år sedan, på de antika grekernas tid, förekom det. På den tiden hade bara en bråkdel av världen utforskats, och världen kan ha verkat oändlig. Men den smarte Eratosthenes kunde med hjälp av matematik mäta jorden med en imponerande noggrannhet på två procent.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Här är ett till exempel. År 1673 lade Jean Richer märke till att en pendel svänger något långsammare i Cayenne än i Paris. Utifrån enbart den här observationen, och klyftig matematik, härledde Newton helt korrekt att jorden är en smula tillplattad vid polerna, ungefär 0,3 procent så lite att ni inte ens skulle se det på en riktig bild av jorden.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
De här berättelserna visar att matematik kan få oss att gå utanför vår intuition, mäta jorden som verkar oändlig, se atomer som är osynliga, eller upptäcka en omärklig variation i en form. Om det är en sak ni ska ta med er från den här föreläsningen, så är det detta: Matematik låter oss gå bortom intuitionen och utforska territorier som inte finns inom räckhåll för oss.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Det här är ett modernt exempel som ni alla kan relatera till: att söka på internet. World wide web, fler än en miljard webbsidor - vill du gå igenom alla? Datorkraft hjälper, men det vore värdelöst utan de matematiska modellerna som hittar informationen som är gömd i datan.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Låt oss lösa ett problem för småbarn. Föreställ dig att du är en detektiv som försöker lösa ett brott, och det finns många personer som har sina egna versioner av fakta. Vem vill du förhöra först? Förnuftigt svar: huvudvittnen. Du förstår, anta att person nummer sju berättar en historia, men när du frågar var han fått den från pekar han på person nummer tre som källa. Och så kanske person nummer tre i sin tur pekar ut person nummer ett som källan. Nu är nummer ett huvudvittne, så jag vill definitivt förhöra honom - prioritering. Och av grafen ser vi också att person nummer fyra är ett huvudvittne. Jag kanske till och med vill förhöra honom först, eftersom fler personer hänvisar till honom.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Okej, det var enkelt, men vad händer om du har en hel hög människor som vittnar? Och den här grafen, jag kanske tänker på den som alla som vittnar i ett komplicerat brottmål, men det kan lika gärna vara webbsidor som pekar mot varandra, som hänvisar till varandra för innehåll. Vilka är mest pålitliga? Inte så självklart.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Låt mig presentera PageRank, en av Googles tidiga hörnstenar. Den här algoritmen använder lagarna om matematisk slump för att automatiskt bedöma vilka webbsidor som är mest relevanta, på samma sätt som vi använde slumpen i experimentet med Galton-brädet. Låt oss skicka in ett gäng små, digitala kulor i den här grafen. och låta dem röra sig slumpmässigt genom den. Varje gång de hamnar på en sida, kommer de gå ut därifrån genom en slumpmässigt vald länk, till nästa. Och igen, och igen, och igen. Med små, växande högar kommer vi hålla koll på hur många gånger varje sida har besökts av dessa digitala kulor.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Då kör vi. Slumpmässighet, slumpmässighet. Och då och då gör vi också slumpmässiga hopp för att göra det ännu roligare.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
Och titta på det här: Ur kaos kommer lösningen. De högsta högarna motsvarar de sidor som på något sätt är bättre sammankopplade än de andra, får fler hänvisningar än de andra. Här ser vi tydligt vilka webbsidor vi vill försöka med först. Återigen kommer lösningen ur slumpmässighet. Sedan dess har Google så klart tagit fram mycket mer komplicerade algoritmer, men redan det här var vackert.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
Och ändå, bara ett problem av en miljon. I och med den digitala erans frammarsch lämpar sig fler och fler problem för matematisk analys, vilket gör matematikerns jobb mer och mer användbart, så till den grad att för ett par år sedan så rankades det som nummer ett bland hundratals jobb i en studie om de bästa och sämsta jobben, som publicerades 2009 i Wall Street Journal.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Matematiker - världens bästa jobb. Det är tack vare tillämpningsområdena: kommunikationsteori, informationsteori, spelteori, komprimerad avkänning, maskininlärning, grafanalys, harmonisk analys. Och varför inte stokastiska processer, linjär programmering, eller vätskesimulering? Var och ett av dessa fält har monstruösa industriella tillämpningsmöjligheter. Och genom dem finns det stora pengar i matematik. Låt mig tillstå att i fråga om att tjäna pengar på matte, så är amerikanerna ohotade världsmästare, med smarta, emblematiska miljardärer och fantastiska, enorma företag, som alla i slutänden vilar på bra algoritmer.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Med all den här skönheten, användbarheten och rikedomen ser matematik faktiskt sexigare ut. Men tro inte att en matematikforskares liv är enkelt. Det är fyllt med bryderi, frustration, en vildsint kamp för förståelse.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Låt mig beskriva en av de mest slående dagarna i mitt liv som matematiker för er. Eller kanske snarare en av de mest slående nätterna. Vid den tiden bodde jag vid the Institute for Advanced Studies i Princeton, som under många år var Albert Einsteins hem, och kanske den heligaste platsen i världen för matematisk forskning. Den natten jobbade jag på ett gäckande bevis som inte var komplett. Det handlade om att förstå den paradoxala stabilitetsegenskapen hos plasma, som är en samling av elektroner. I plasmans perfekta värld finns det inga kollisioner och ingen friktion som kan ge den stabilitet som vi är vana vid. Men ändå, om man stör plasmans jämvikt litegrann, upptäcker man att den elektriska sköld som uppstår försvinner spontant eller dämpas, som av en mystisk friktionskraft.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Den här paradoxala effekten, kallad Landaudämpning, är en av de viktigaste inom plasmafysiken, och den upptäcktes med hjälp av matematiska idéer. Ändå saknades en full matematisk förståelse av det här fenomenet. Tillsammans med min tidigare student och huvudmedarbetare Clément Mouhot, då i Paris, hade vi arbetat i månader på ett sådant bevis. Faktum är att jag redan av misstag hade tillkännagivit att vi kunde lösa det. Men sanningen är att beviset helt enkelt inte fungerade. Trots mer än 100 sidor komplicerade, matematiska argument och ett gäng upptäckter, och enorma uträkningar, fungerade det inte. Den natten på Princeton var det en särskild lucka i kedjan av argument som gjorde mig galen. Jag lade all min energi, erfarenhet och list i det, och ändå fungerade det inte. Klockan 01, 02, 03, det fungerade inte. Vid 04 lägger jag mig, nedstämd. Några timmar senare vaknar jag och tänker, "Ah, det är dags att få barnen till skolan ..." Vad är detta? Det var en röst i mitt huvud, jag svär. "Ta den andra termen till andra sidan, Fouriertransformera och invertera i L2."
(Laughter)
(Skratt)
Damn it, that was the start of the solution!
Banne mig, det var början på lösningen!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Ni förstår, jag trodde att jag hade vilat, men egentligen hade min hjärna fortsatt arbeta. I dessa stunder, tänker man inte på sin karriär eller sina kollegor, det är bara en kamp mellan dig och problemet.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Med det sagt så skadar det inte att få en befordran som belöning för hårt arbete. Efter att vi slutfört vår stora analys av Landaudämpningen, hade jag turen att få den hett eftertraktade Fieldsmedaljen ur handen på Indiens president, i Hyderabad den 19 augusti 2010, en ära som matematiker inte vågar drömma om, en dag jag kommer minnas resten av mitt liv.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Vad tänker man, vid ett sånt tillfälle? Stolthet, ja? Och tacksamhet mot alla de medarbetare som gjorde det möjligt. Eftersom det var ett gemensamt äventyr, behöver man dela det, inte bara med sina medarbetare. Jag tror att alla kan uppskatta spänningen i matematisk forskning, och dela de passionerade historierna om människorna och idéerna bakom den. Jag har arbetat med min personal vid Institut Henri Poincaré, tillsammans med partners och konstnärer inom matematisk kommunikation i världen, så att vi kan skapa ett eget, speciellt matematiskt museum där.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Så om några år, när du kommer till Paris och har ätit en knaprig baguette och en macaron, kom och besök oss på Institut Henri Poincaré, och dela den matematiska drömmen med oss.
Thank you.
Tack.
(Applause)
(Applåder)