What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
В чём французы преуспели больше других? Если бы проводился такой опрос, на первом месте оказались бы три ответа: в любви, вине и нытье.
(Laughter)
(Смех)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Пожалуй. Но позвольте предложить вам и четвёртый ответ: в математике. Известно ли вам, что в Париже математиков больше, чем в любом другом городе мира? А также больше улиц, носящих имена математиков. И если взглянуть на статистику лауреатов Филдсовской премии, часто называемой Нобелевской премией в математике и присуждаемой математикам моложе 40 лет, количество обладателей Филдсовской премии на душу населения во Франции больше, чем в любой другой стране.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Так чем же соблазняет нас математика? Ведь это скучная и абстрактная наука, где нет ничего, кроме чисел, расчётов и применения правил. Соглашусь, что математика абстрактна, но уж никак не скучна и вовсе не ограничивается расчётами. Её суть — в логических рассуждениях и поиске доказательств основной идеи. Для этого необходимо воображение — талант, который мы ценим больше всего. Её суть — в поиске истины. Ничто не сравнится с тем чувством, которое охватывает вас, когда после месяцев усердных раздумий вас вдруг осеняет, как именно можно решить вашу задачу. Великий математик Андре Вейль сравнил его — я не шучу — с сексуальным наслаждением. С той разницей, что это чувство может продлиться часы, а то и дни.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
Это огромное удовлетворение. Наш физический мир полон скрытых математических истин. Их не обнаружить при помощи данных нам чувств, но можно увидеть сквозь математическую призму. Закройте на минуту глаза и подумайте о том, что прямо сейчас происходит вокруг. Невидимые глазу молекулы воздуха ударяются об вас миллиардами миллиардов каждую секунду в совершенном беспорядке. И тем не менее их распределение можно точно предсказать с помощью математической физики. А теперь откройте глаза на статистику скоростей этих молекул.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
Это знаменитое колоколообразное распределение Гаусса, или закон погрешностей, — нормальное отклонение от среднестатистического поведения. Эта кривая отображает нормальное распределение скоростей частиц точно так же, как демографическая кривая отображает возрастную статистику населения. Это одна из важнейших кривых на свете. Она встречается снова и снова, во многих теориях и экспериментах, как высший пример универсальности, которая так дорогá нам, математикам.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Этому закону посвящены слова знаменитого учёного Франсиса Гальтона: «Если бы древние греки о нём знали, они бы его обожествили. Это высший закон иррациональности». И нет лучшего способа материализовать это божество, чем доска Гальтона. Доска состоит из узких туннелей, в которые случайным образом падают шарики, отскакивая то вправо, то влево и так далее. Всё происходит хаотично, как попало. Давайте посмотрим, что произойдёт со всеми этими случайными траекториями.
(Board shaking)
(Трясёт доску)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Нужно немного потрудиться, так как нам приходится избавляться от образующихся пробок. Ага. Представляете, если случайность подведёт меня сейчас на сцене.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Вот она! Наша верховная богиня иррациональности — кривая Гаусса. Мы поймали её в этот прозрачный ящик, как Сон в комиксе «Песочный человек». Вам я её просто показал, но своим студентам я объясняю, почему никакой иной кривой быть и не могло. Тут мы прикасаемся к тайне нашей богини, заменяя прекрасную случайность прекрасным объяснением.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
То же происходит в любой науке. Прекрасные математические объяснения служат не только для нашего удовольствия. Они также изменяют наше мировоззрение. Например, Эйнштейн, Перрин, Смолуховский — с помощью математического анализа случайных траекторий и распределения Гаусса они обнаружили и доказали, что наш мир состоит из атомов.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Это был не первый случай, когда математики радикально изменили наше представление о мире. Такое случалось уже более 2 000 лет назад, во времена древних греков. В те времена была изучена лишь малая часть света, и Земля многим казалась бесконечной. Но умный Эратосфен математическим путём смог определить размер Земли с погрешностью лишь в 2%.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Другой пример. В 1673 году Жан Рише заметил, что колебания маятника в Кайенне немного медленнее, чем в Париже. Благодаря лишь этому наблюдению и гениальной математике Ньютон пришёл к верному выводу о том, что Земля чуть приплюснута у полюсов, где-то на 0,3% — это настолько мáло, что не может быть замечено даже на реальном снимке Земли.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Эти истории подтверждают то, что математика способна вывести нас за рамки нашей интуиции, позволить измерить кажущуюся бесконечной Землю, увидеть невидимые атомы или определить неразличимые отклонения по форме. И если в этом выступлении и найдётся что-то полезное для вас, то это именно оно: математика позволяет нам выходить за рамки интуиции и исследовать территории, которые нам иначе и не вообразить.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
А вот современный пример, который всем вам хорошо знакóм: поиск в интернете. Во всемирной паутине более миллиарда веб-страниц, вы же не будете лазить по ним всем. Вычислительные мощности помогают, но без математической модели было бы бесполезно искать информацию, спрятанную в таком объёме данных.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Рассмотрим такую мини-задачку. Представьте, что вы детектив, расследующий преступление, в котором задействовано множество людей, каждый со своей версией событий. Кого допросить в первую очередь? Разумный ответ: непосредственных свидетелей. Но посмотрите, предположим, что человек под номером семь вам что-то рассказал, признавшись, что сам узнал об этом от человека под номером три. А номер третий, в свою очередь, в качестве источника информации указывает на первого. Первый был свидетелем преступления, поэтому я непременно должен допросить его в первую очередь. Но на графике мы видим, что четвёртый — тоже непосредственый свидетель. Пожалуй, лучше допросить сначала его, так как на него указало больше человек.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Ладно, это было просто, но что, если у вас масса людей, готовых дать показания? Представьте, что этот график изображает всех людей, давших показания в запутанном преступлении, но он также может изображать указывающие друг на друга веб-страницы, то есть содержащие ссылки на другие сайты. Которые из них наиболее значимые? Это не очевидно.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Возьмите PageRank, один из ранних краеугольных алгоритмов Google. Алгоритм использует законы математической случайности для автоматического определения наиболее значимых страниц так же, как мы использовали случайность в эксперименте с доской Гальтона. Давайте запустим в этот график горсть цифровых шариков и позволим им случайным образом прокатиться по графику. Каждый раз, оказавшись на одном из сайтов, они продолжат путь, следуя по случайно выбранной ссылке. И так далее, и так далее. А растущими столбиками мы обозначим количество заходов на страницу нашими цифровыми шариками.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Поехали. Случайность, случайность. Давайте время от времени для развлечения будем перепрыгивать совсем уж произвольно.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
И взгляните: из полного хаоса вырисовывается решение. Самые высокие столбики соответствуют тем сайтам, которые наиболее задействованы, на которые ссылаются больше всего. И нам становится ясно, какие веб-страницы интересуют нас в первую очередь. И снова решение появляется из случайности. Разумеется, с тех пор в Google придумали намного более изощрённые алгоритмы, но уже и этот был прекрасен.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
И всё же это лишь одна из миллиона задач. С появлением цифрового пространства всё больше и больше задач опираются на математический анализ, делая профессию математика всё более и более востребованной. Востребованной настолько, что несколько лет назад она оказалась профессией номер 1 среди сотен профессий в исследовании самых лучших и самых худших профессий, опубликованном в Wall Street Journal в 2009 году.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Математик — лучшая профессия в мире?! Это благодаря её применению в теории коммуникаций, в теории информации, в теории игр, при обработке сигналов, машинном обучении, графическом анализе, гармоническом анализе. А как насчёт вероятностных процессов, линейного программирования или моделирования жидкости? Каждая их этих областей имеет колоссальные промышленные применения. А следовательно, в математику вкладываются большие деньги. И я допускаю, что если говорить об извлечении денег из математики, то тут американцы впереди планеты всей, с их умными, выдающимися миллиардерами и поразительными гигантскими фирмами, опирающимися, по сути, на хорошие алгоритмы.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Вот теперь красивая, востребованная и с деньгами, математика и в самом деле выглядит более соблазнительной. Но не подумайте, что у учёного-математика лёгкая жизнь. Она наполнена недоумением, разочарованием, отчаянными попытками понять.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Позвольте рассказать вам об одном из самых поразительных дней в моей математической карьере. Или, лучше сказать, одной из самых поразительных ночей. В то время я работал в Институте перспективных исследований в Принстоне, где провёл многие годы Альберт Эйнштейн, — я бы сказал, «святая святых» математических исследований в мире. В ту самую ночь я безуспешно бился над выводом одного доказательства, которое упорно от меня ускользало. Я пытался разобраться в парадоксальном свойстве устойчивости плазм, являющихся по сути кучей электронов. В идеальном мире плазмы не существует ни столкновений, ни трения для обеспечения привычной для нас устойчивости. И тем не менее при малейшем нарушении плазменного равновесия вы обнаружите, что образующееся в результате электрическое поле спонтанно исчезает, или испаряется, как бы под влиянием некой таинственной силы трения.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Это парадоксальное явление, называемое затуханием Ландау, неимоверно важно в физике плазмы, и оно было открыто математическим путём. И всё же понять до конца это явление математикам прежде не удавалось. Вместе с моим бывшим студентом и ближайшим коллегой Клементом Муо, тогда ещё в Париже, мы работали над этим доказательством в течение долгих месяцев. На самом деле я по недоразумению уже объявил, что мы нашли решение. Но по правде говоря, наше доказательство просто не сходилось. Несмотря на более чем сотню страниц сложнейших математических выкладок, ряд промежуточных открытий, огромного количества расчётов, доказательство не работало. И в ту ночь в Принстоне одно расхождение в цепи умозаключений просто сводило меня с ума. Я вкладывал в него всю свою энергию, опыт и известные мне приёмы, но ничего не получалось. Час ночи, два часа, три часа — всё тщетно. Около четырёх я отправляюсь спать в подавленном состоянии. Спустя несколько часов я просыпаюсь и думаю: «Ох, пора собирать детей в школу...» Но что это? Вдруг я услышал голос, клянусь. «Перенеси вторую переменную вправо, примени преобразование Фурье и инверсию по L2».
(Laughter)
(Смех)
Damn it, that was the start of the solution!
Чёрт возьми, это было началом решения!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Понимаете, я думал, что немного отдохнул, а на самом деле мой мозг продолжал работать. В такие моменты вы не думаете ни о карьере, ни о коллегах, это сражение один на один с проблемой.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Безусловно, не мешает получить повышение в награду за свой тяжкий труд. После того как мы закончили тот грандиозный анализ затухания Ландау, мне посчастливилось получить самую желанную премию Филдса из рук мадам президента Индии в Хайдарабаде 19 августа 2010 года — награду, о которой любой математик и мечтать-то не смеет. Этот день я буду помнить всю жизнь.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Что приходит на ум в такой момент? Конечно, гордость. И чувство благодарности коллегам, которые сделали это возможным. Поскольку это было коллективным достижением, им надо было поделиться, причём не только со своими коллегами. Я уверен, что каждый понимает волнение математического поиска и может поделиться увлекательными историями о стоя́щих за ним людях и идеях. Вместе с моими коллегами в Институте Анри Пуанкаре, вместе с партнёрами и художниками мировой математической коммуникации мы работаем над созданием собственного музея, посвящённого математике.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Так что через пару лет, когда будете в Париже, отведав великолепный, хрустящий багет и печенье макарон, прошу вас, зайдите к нам в Институт Анри Пуанкаре и разделите с нами нашу математическую мечту.
Thank you.
Спасибо.
(Applause)
(Аплодисменты)