What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
O que é que os franceses fazem melhor do que todos os outros? Se fizéssemos um inquérito, as três respostas mais votadas poderiam ser: amor, vinho e resmunguices.
(Laughter)
(Risos)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Talvez. Mas deixem-me sugerir uma quarta opção: matemática. Sabiam que Paris tem mais matemáticos do que qualquer outra cidade do mundo? E mais ruas com nomes de matemáticos, também. Se olharem para as estatísticas da Medalha Fields, muitas vezes chamada o Prémio Nobel da matemática, e sempre atribuída a matemáticos com menos de 40 anos, verão que a França tem mais medalhistas Fields por habitante do que qualquer outro país.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
O que é que achamos tão sexy na matemática? Afinal, parece ser aborrecida e abstracta, só números e cálculos e regras para aplicar. A matemática pode ser abstracta, mas não é aborrecida e não se trata só de fazer cálculos. Trata do raciocínio e de provar a nossa actividade fundamental. Trata da imaginação, o talento que mais elogiamos. Trata de encontrar a verdade. Não há nada como a sensação que nos invade quando, após meses a pensar intensamente, compreendemos finalmente o raciocínio certo para resolver o nosso problema. O grande matemático André Weil comparou isto — não estou a brincar — ao prazer sexual. Mas notou que esta sensação pode durar horas, ou até dias.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
A recompensa pode ser grande. As verdades matemáticas ocultas permeiam todo o nosso mundo físico. São inacessíveis aos nossos sentidos mas podem ver-se através de lentes matemáticas. Fechem os olhos por um momento e pensem no que está a acontecer aqui e agora à nossa volta. Há partículas invisíveis no ar em redor a bater em nós aos milhares e milhares de milhões por segundo, todas num caos completo. Mas, ainda assim, a estatística do seu comportamento pode prever-se com exactidão pela física matemática. E abram os olhos agora para a estatística das velocidades destas partículas.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
A famosa Curva de Gauss em forma de sino, ou a Lei dos Erros, dos desvios relativamente ao comportamento médio. Esta curva conta-nos a estatística das velocidades das partículas da mesma forma que uma curva demográfica nos contaria a estatística das idades dos indivíduos. É uma das curvas mais importantes de sempre. Continua a ocorrer uma e outra vez, de muitas teorias e muitas experiências, como um óptimo exemplo da universalidade que nos é tão querida a nós, matemáticos.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Desta curva, o famoso cientista Francis Galton disse: “Teria sido endeusada pelos gregos se a tivessem conhecido. "É a suprema lei da irrazoabilidade.” Não há melhor forma de materializar essa deusa suprema do que a Tábua de Galton. Dentro desta tábua há túneis estreitos através dos quais bolas minúsculas irão cair aleatoriamente, para a direita ou para a esquerda, ou para a esquerda, etc. Tudo em completa aleatoriedade e caos. O que acontece quando olhamos para todas estas trajectórias aleatórias em conjunto?
(Board shaking)
(Som das bolas a cair na tábua)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
É um pouco como um desporto, porque vamos ter de resolver aqui alguns engarrafamentos. Aha. Achamos que a aleatoriedade me vai pregar uma partida no palco.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Cá está. A nossa suprema deusa da irrazoabilidade, a Curva de Gauss, aprisionada aqui nesta caixa transparente como o Dream em “The Sandman”. Para vocês eu demonstrei, mas aos meus alunos explico porque não poderia ser nenhuma outra curva. E isto é tocar no mistério dessa deusa, substituir uma bela coincidência por uma bela explicação.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Toda a ciência é assim. E as belas explicações matemáticas não são só para o nosso prazer. Também mudam a nossa visão do mundo. Por exemplo, Einstein, Perrin, Smoluchowski, utilizaram a análise matemática de trajectórias aleatórias e a Curva de Gauss para explicar e provar que o nosso mundo é feito de átomos.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Não foi a primeira vez que a matemática revolucionou a nossa visão do mundo. Há mais de 2000 anos, no tempo da Grécia antiga, já aconteceu. Nessa altura, só uma pequena fracção do mundo havia sido explorada, e a Terra poderia ter parecido infinita. Mas o engenhoso Eratóstenes, utilizando a matemática, conseguiu medir a Terra com uma exactidão extraordinária de 2%.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Aqui está outro exemplo. Em 1673, Jean Richer reparou que um pêndulo oscila ligeiramente mais devagar em Cayenne do que em Paris. Apenas a partir desta observação, e de matemática engenhosa, Newton deduziu correctamente que a Terra é um nadinha achatada nos pólos, algo como 0,3 % — tão pouco que nem repararíamos numa vista real da Terra.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Estas histórias mostram que a matemática consegue fazer-nos sair da nossa intuição medir a Terra que parece infinita, ver átomos que são invisíveis ou detectar uma variação imperceptível de formato. E se há uma só coisa que devem lembrar-se desta apresentação, é o seguinte: a matemática permite-nos ir para além da intuição e explorar territórios que não se enquadram no nosso entendimento.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Aqui está um exemplo moderno que todos compreendemos: pesquisar na Internet. A World Wide Web, mais de mil milhões de páginas web, será que queremos vê-las todas? O poder de computação ajuda, mas seria inútil sem a modelação matemática para encontrar a informação escondida nos dados.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Vamos resolver um problema pequenino. Imaginemos que somos um detective a trabalhar no caso de um crime, e que há muitas pessoas que têm a sua versão dos factos. Quem queremos entrevistar primeiro? Resposta sensata: as testemunhas principais. Vejamos, suponhamos que há a pessoa número sete, que nos conta uma história, mas quando lhe perguntamos onde a foi buscar, ela aponta para a pessoa número três como sendo a fonte. E, por sua vez, a pessoa número três, talvez aponte para a pessoa número um como sendo a fonte principal. Agora a número um é uma testemunha principal, portanto quero mesmo entrevistá-la prioritariamente. E a partir do gráfico também vemos que a pessoa número quatro é uma testemunha principal. E talvez até queira entrevistá-la primeiro, porque há mais pessoas que a referem.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
OK, esta parte foi fácil, mas e se tivéssemos uma enorme quantidade de pessoas para testemunhar? Posso ver este gráfico como sendo todas as pessoas que testemunharam num crime complicado, mas pode ser apenas as páginas web a apontar umas para as outras, referindo-se umas às outras quanto aos conteúdos. Quais são as mais fiáveis? Não é muito claro.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Entra o PageRank, uma das primeiras pedras angulares da Google. Este algoritmo utiliza as leis da aleatoriedade matemática para determinar automaticamente quais as páginas web mais relevantes, tal como utilizámos a aleatoriedade na experiência com a Tábua de Galton. Então vamos atirar para este gráfico um monte de berlindes digitais minúsculos, e deixá-los andar aleatoriamente pelo gráfico. De cada vez que chegam a uma página irão através da mesma ligação escolhida ao acaso para a seguinte. E uma e outra vez. E com pilhas pequenas que vão crescendo, vamos registando quantas vezes cada página foi visitada por estes berlindes digitais.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Vamos lá. Aleatoriedade, aleatoriedade. E, de tempos a tempos, também vamos dar saltos completamente ao acaso para ser mais divertido.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
E vejam: do caos irá surgir a solução. As pilhas mais altas correspondem às páginas que de alguma forma estão mais bem ligados do que as outras, para as quais apontam mais páginas do que as outras. E aqui vemos claramente quais são as páginas web que queremos experimentar primeiro. Uma vez mais, a solução surge da aleatoriedade. É claro que, desde esta altura, a Google já arranjou algoritmos muito mais sofisticados, mas isto já era belo.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
Mas ainda assim, é só um problema num milhão. Com o advento da área digital, cada vez mais problemas se prestam à análise matemática, tornando o trabalho dos matemáticos cada vez mais útil, tanto que há uns anos foi classificado como sendo o número um entre centenas de empregos num estudo sobre os melhores e piores empregos publicado pelo Wall Street Journal em 2009.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Matemático — o melhor emprego do mundo. Isto por causa das aplicações: da teoria da comunicação, da teoria da informação, da teoria de jogos, da amostragem compressiva, da aprendizagem automática, da análise de gráficos, da análise harmónica. E porque não os processos estocásticos, a programação linear, ou a simulação de fluidos? Cada uma destas áreas tem aplicações industriais monstruosas. E através delas, há muito dinheiro na matemática Deixem-me admitir que, quando se trata de fazer dinheiro com a matemática, os americanos são, de longe, os campeões mundiais, com multimilionários engenhosos, emblemáticos e empresas extraordinárias, gigantes, que assentam, fundamentalmente, em bons algoritmos.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Agora, com toda esta beleza, utilidade e riqueza, a matemática já começa a parecer mais sexy. Mas não pensem que a vida de um investigador matemático é fácil. É cheia de perplexidades, de frustrações, de uma luta desesperada pela compreensão.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Deixem-me contar-vos um dos dias mais impressionantes na minha vida de matemático. Ou, devo dizer, uma das noites mais impressionantes. Nessa altura, eu estava no Instituto de Estudos Avançados de Princeton, que foi, durante muitos anos, a casa de Albert Einstein e que é talvez o sítio mais sagrado do mundo para a investigação matemática. Nessa noite eu estava a trabalhar sem parar numa prova que me escapava, que estava incompleta. Tratava-se de compreender a propriedade paradoxal de estabilidade dos plasmas, que são uma multidão de electrões. No mundo perfeito do plasma, não há colisões e não há fricção para proporcionar a estabilidade, como estamos habituados. Ainda assim, se perturbarmos ligeiramente um equilíbrio no plasma, verificamos que o campo eléctrico resultante se desvanece espontaneamente, ou amortece, como se por alguma força misteriosa de fricção.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Este efeito paradoxal, chamado amortecimento de Landau, é um dos mais importantes na física de plasmas, e foi descoberto através de ideias matemáticas. Ainda assim, faltava uma compreensão matemática completa deste fenómeno. Juntamente com o meu ex-aluno e principal colaborador Clément Mouhot, que estava em Paris na altura, estávamos a trabalhar nessa prova há meses e meses. Na realidade, eu já tinha anunciado por engano que conseguíamos resolver o problema. Mas a verdade é que a prova não estava a resultar Apesar de mais de 100 páginas de argumentos matemáticos complicados, e de umas quantas descobertas, e de uma montanha de cálculos, não estava a resultar. Nessa noite, em Princeton, havia uma lacuna na cadeia de argumentos que estava a dar comigo em doido. Estava a pôr ali toda a minha energia e experiência e truques, e ainda assim nada resultava. Uma da manhã, duas da manhã, três da manhã, não resultava. Por volta das quatro da manhã, fui para a cama desanimado. Depois, umas horas mais tarde, acordei e pensei: “Ah, está na hora de levar os miúdos à escola...” O que é isto? Havia esta voz na minha cabeça, juro. “Leva o segundo termo para o outro lado, "faz uma transformação de Fourier e inverte em L2.”
(Laughter)
(Risos)
Damn it, that was the start of the solution!
Macacos me mordam, cá estava o início da solução!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Estão a ver, eu pensei que tinha descansado, mas na realidade o meu cérebro tinha continuado a trabalhar no problema. Nesses momentos, não pensamos na nossa carreira nem nos nossos colegas, é só uma batalha total entre o problema e nós.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Tendo dito isto, também não faz mal se formos promovidos em recompensa do trabalho árduo. E depois de termos completado a nossa enorme análise do amortecimento de Landau, tive a sorte de receber a tão cobiçada Medalha Fields das mãos do Presidente da Índia, em Hyderabad a 19 de Agosto de 2010 — uma honra com que os matemáticos nunca se atrevem a sonhar — um dia que vou recordar enquanto viver.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
O que é que acham, numa ocasião destas? Orgulho, não é? E gratidão para com os colaboradores que tornaram isto possível. E, porque foi uma aventura colectiva, temos de a partilhar, não só com os nossos colaboradores. Acho que toda a gente pode apreciar a emoção da investigação matemática, e partilhar as histórias apaixonantes das pessoas e das ideias subjacentes. Tenho estado a trabalhar com a minha equipa no Instituto Henri Poincaré, juntamente com parceiros e artistas da comunicação matemática em todo o mundo, para que possamos fundar ali o nosso museu, muito especial, da matemática.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Portanto daqui a uns anos, quando vierem a Paris, depois de provarem a saborosa baguete estaladiça e os "macaroons", venham visitar-nos no Instituto Henri Poincaré, e partilhar o sonho matemático connosco.
Thank you.
Obrigado.
(Applause)
(Aplausos)