What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
Waarin zijn de Fransen beter dan alle anderen? Bij een rondvraag zouden de meesten misschien antwoorden: liefde, wijn en klagen.
(Laughter)
(Gelach)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Misschien. Ik stel een vierde voor: wiskunde. Wist je dat er in Parijs meer wiskundigen wonen dan in enige andere stad ter wereld? En er zijn ook meer straten genoemd naar wiskundigen. Als je de statistieken van de Fieldsmedaille bekijkt, -- soms de Nobelprijs voor wiskunde genoemd en altijd toegekend aan wiskundigen jonger dan 40 -- zal je zien dat Frankrijk meer Fieldswinnaars per inwoner telt dan enig ander land.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Wat vinden we nu zo sexy aan wiskunde? Het lijkt zo saai en abstract, altijd maar cijfers, berekeningen, regeltjes... Wiskunde is misschien abstract, maar het is niet saai en het gaat niet om rekenen. Het gaat om redeneren en je kernactiviteit bewijzen. Het gaat om verbeelding, ons meest geprezen talent. Het gaat om het vinden van de waarheid. Niets is te vergelijken met het gevoel als je na maanden hard nadenken eindelijk de juiste redenering vindt om je probleem op te lossen. De grote wiskundige André Weil vergeleek dit -- ik lach niet -- met seksueel plezier, maar merkte op dat dit gevoel uren, zelfs dagen, kan aanhouden.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
De beloning kan groot zijn. Verborgen wiskundige waarheden doordrenken onze hele fysische wereld. Ze zijn ontoegankelijk voor onze zintuigen, maar waarneembaar door wiskundige lenzen. Sluit even je ogen en denk aan wat er rondom je gebeurt. Onzichtbare deeltjes in de lucht rondom je bombarderen je, miljarden en miljarden per seconde, in een volledige chaos. En toch kan hun statistiek nauwkeurig worden voorspeld door de wiskundige fysica. Open nu jullie ogen voor de statistiek van de snelheden van deze deeltjes.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
De beroemde klokvormige Gausscurve of Foutenwet -- van afwijkingen ten opzichte van het gemiddeld gedrag. Deze curve vertelt je iets over de statistische verdeling van deeltjessnelheden net zoals een demografische curve de statische verdeling van de ouderdom van individuen aantoont. Het is een van de belangrijkste curves ooit. Ze duikt overal weer op in vele theorieën en experimenten als een schitterend voorbeeld voor de universaliteit waar wij wiskundigen zo van houden.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Over deze curve zei de beroemde wiskundige Francis Galton: "De Grieken zouden ze vergoddelijkt hebben, mochten ze ervan geweten hebben. Het is de opperste wet van willekeur." En er bestaat geen betere manier dan Galtons Bord om deze opperste godin te materialiseren. In de bord zitten nauwe doorgangen waardoor kleine balletjes willekeurig omlaag vallen, naar rechts of links, of naar links, enz. Allemaal volledig willekeurig en chaotisch. Kijk wat er gebeurt met deze willekeurige bewegingen.
(Board shaking)
(Schudt het bord)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Een beetje sport. We moeten wat files bijsturen. Aha. We denken dat toeval mij hier voor schut zet.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Ziezo. Onze opperste godin van de onrede: de Gausscurve, gevangen in deze doorzichtige doos net als Dream in 'The Sandman'-strip. Aan jullie heb ik het laten zien, maar aan mijn studenten leg ik uit waarom het geen andere curve kan zijn. En dit is het mysterie van die godin: een mooi toeval wordt vervangen door een mooie uitleg.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Alle wetenschap zit zo in elkaar. Mooie wiskundige verklaringen zijn er niet alleen voor ons plezier. Ze veranderen ook onze kijk op de wereld. Bijvoorbeeld, Einstein, Perrin en Smoluchowski gebruikten de wiskundige analyse van willekeurige banen en de Gausscurve om uit te leggen en aan te tonen dat onze wereld opgebouwd is uit atomen.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Het was niet de eerste keer dat de wiskunde ons wereldbeeld op zijn kop zette. Meer dan 2000 jaar geleden, in de tijd van de Oude Grieken, gebeurde het ook al eens. Toentertijd was slechts een klein deel van onze wereld bekend en de aarde kon wel oneindig groot hebben geleken. Maar slimme Eratosthenes kon door middel van wiskunde de aarde meten met een verbazende nauwkeurigheid van twee percent.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Nog een voorbeeld. In 1673 merkte Jean Richer op dat een slinger in Cayenne een beetje trager slingerde dan in Parijs. Alleen uit deze waarneming en door slimme wiskunde leidde Newton terecht af dat de aarde aan de polen een ietsje afgeplat is, zowat 0,3% -- zo weinig dat je het niet eens kan zien
These stories show that mathematics
als je de aarde van op een afstand bekijkt.
is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Deze verhalen laten zien dat de wiskunde ons tegen onze intuïtie in de aarde kan laten meten ook al lijkt ze oneindig, ons onzichtbare atomen kan laten zien of een onwaarneembare vormafwijking kan laten waarnemen. Als er iets is dat je van deze talk moet onthouden, dan is het dit: door wiskunde kunnen we onze intuïtie overstijgen en ontoegankelijke gebieden onderzoeken.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Hier een modern voorbeeld waar je wat aan hebt: zoeken op het internet. Het wereldwijde web, met meer dan één miljard webpagina's -- wil je ze allemaal overlopen? Computervermogen helpt, maar zou nutteloos zijn zonder wiskundige modellen om de informatie te vinden die in de data verborgen is.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Laten we aan een klein vraagstuk werken. Stel dat je een detective bent die een misdaad moet oplossen en er vele mensen zijn met hun eigen versie van de feiten. Wie ga je het eerst ondervragen? Redelijk antwoord: de primaire getuigen. Maar, veronderstel dat persoon nummer zeven je een verhaal vertelt, maar als je hem vraagt van wie hij het had, wijst hij nummer drie als bron aan. En op zijn beurt wijst nummer drie nummer één aan als primaire bron. Dus is nummer één een primaire getuige en ga ik hem het eerst ondervragen. Maar uit de grafiek blijkt dat ook nummer vier een primaire getuige is. Misschien wil ik hem wel het eerst ondervragen omdat meer mensen naar hem verwijzen.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Oké, dat was gemakkelijk. Maar wat als een heleboel mensen getuigenis moeten afleggen? Deze grafiek kan je zien als alle mensen die in een ingewikkelde zaak moeten getuigen, maar het kunnen evengoed webpaginas zijn die naar elkaar verwijzen, naar elkaar refereren voor inhoud. Welke hebben het meeste gezag? Niet zo duidelijk.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Nu komt PageRank op de proppen, een van de vroege hoekstenen van Google. Dit algoritme gebruikt de wetten van wiskundig toeval om automatisch uit te maken welke webpaginas het meest relevant zijn op dezelfde manier als dat we toeval gebruikten bij het Galtonbord. We sturen door deze grafiek een hoop kleine, digitale knikkers en laten ze willekeurig door de grafiek banjeren. Telkens ze ergens aankomen, gaan ze door een willekeurige verbinding naar een volgende, en opnieuw, opnieuw en opnieuw. Met kleine aangroeiende stapeltjes houden we bij hoe vaak een bepaalde plek werd bezocht door deze digitale knikkers.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Daar gaan we. Willekeur, willekeur. Af en toe maken we deze sprongen helemaal willekeurig voor de lol.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
En kijk: uit de chaos komt de oplossing tevoorschijn. De hoogste stapels komen overeen met de plekken die op de een of andere manier beter verbonden zijn dan de andere, die waarnaar vaker wordt verwezen. En zo zien we duidelijk welke webpagina's onze voorkeur krijgen. Opnieuw komt de oplossing tevoorschijn uit willekeur. Natuurlijk gebruikt Google nu meer gesofistikeerde algoritmen, maar deze deed het ook al goed.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
En toch is dat maar één voorbeeld uit een miljoen. Met de komst van het digitale tijdperk lenen steeds meer problemen zich voor een wiskundige analyse waardoor het beroep van wiskundige steeds maar nuttiger wordt, zelfs in die mate dat het een paar jaar geleden op de eerste plaats stond tussen honderden beroepen in een studie over de beste en de slechtste beroepen die in 2009 werd gepubliceerd in de Wall Street Journal.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Wiskundige -- beste beroep ter wereld. Door de toepassingen ervan: communicatietheorie, informatietheorie, speltheorie, compressed sensing, machinaal leren, grafiekanalyse, harmonische analyse. En waarom geen stochastische processen, lineair programmeren of vloeistofsimulatie? Elk van deze velden kent enorme industriële toepassingen. Daardoor is er veel geld te verdienen met wiskunde. Ik geef toe dat wanneer het erop aankomt om geld te verdienen met wiskunde de Amerikanen veruit wereldkampioen zijn met slimme, emblematische miljardairs en verbazende, reusachtige bedrijven die uiteindelijk allemaal berusten op goede algoritmen.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Door al deze schoonheid, nuttigheid en weelde ziet de wiskunde er meer sexy uit. Maar denk maar niet dat het leven van een wiskundig onderzoeker gemakkelijk is. Het is doordrenkt met verbijstering, frustratie, een wanhopig gevecht om te begrijpen.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Laat me voor jullie een van de frappantste dagen van mijn bestaan als wiskundige oproepen. Of beter, een van de frappantste nachten. Ik verbleef toen aan het Institute for Advanced Studies in Princeton -- vele jaren lang de thuis van Albert Einstein en bovenal het heiligdom van het wiskundig onderzoek. Die nacht werkte ik constant aan een ongrijpbaar bewijs dat onvolledig was. Het ging over het begrijpen van de paradoxale stabiliteit van plasma's, die bestaan uit een menigte elektronen. In een perfecte plasmawereld zijn er geen botsingen en geen wrijving die zorgen voor de stabiliteit waaraan we gewend zijn. Maar toch, als je een plasma-evenwicht wat verstoort, zal je merken dat het resulterende elektrische veld spontaan verdwijnt of uitdempt, als door een mysterieuze wrijvingskracht.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Dit paradoxale effect heet Landaudemping en is een van de belangrijkste effecten in de plasmafysica. Het werd ontdekt door wiskundig redeneren. Maar toch ontbrak nog een volledig wiskundig begrip van dit fenomeen. Samen met mijn vroegere student en hoofdmedewerker Clément Mouhot had ik indertijd in Parijs maanden en maanden gewerkt aan dit bewijs. In feite had ik al voorbarig aangekondigd dat we het konden oplossen. Maar het bleek dat het bewijs niet deugdelijk was. Ondanks meer dan 100 pagina's ingewikkelde, wiskundige argumenten en een hoop ontdekkingen en enorm veel rekenwerk deugde het bewijs niet. Die nacht in Princeton bleef een leemte in de keten van argumenten mij parten spelen. Ik stak er al mijn energie, ervaring en truken in en toch werkte het niet. 1 uur 's ochtends, 2 uur, 3 uur, niets. Rond 4 uur ging ik ontmoedigd naar bed. Een paar uur later stond ik op: "Ah, tijd om de kinderen naar school te brengen --" Wat? Ik zweer dat een stem in mijn hoofd zei: "Breng de tweede term over naar de andere kant, doe een Fourier transformatie en inverteer in L2."
(Laughter)
(Gelach)
Damn it, that was the start of the solution!
En verdorie, daarmee begon de oplossing!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Je ziet dat ik dacht dat ik wat rust had genomen, maar mijn brein was blijven doorwerken. Op zo'n momenten denk je niet aan je carrière of aan je collega's. Het gaat dan om het gevecht tussen het vraagstuk en jezelf.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Dat gezegd zijnde is het natuurlijk altijd meegenomen dat je een promotie krijgt voor je harde werk. Nadat we onze enorme analyse van de Landaudemping hadden voltooid, had ik het geluk de zo begeerde Fieldsmedaille te ontvangen uit handen van de Indiase president in Hyderabad op 19 augustus 2010 -- een eer waar wiskundigen niet over durven te dromen, een dag die ik nooit zal vergeten.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Waaraan denk je op zo'n ogenblik? Trots, ja? En dankbaarheid voor mijn medewerkers die dit mogelijk maakten. En omdat het een gezamenlijk avontuur was, moet je het delen, en niet alleen met je medewerkers. Ik geloof dat iedereen de opwinding van wiskundig onderzoek kan appreciëren en deelhebben aan de gepassioneerde verhalen van mensen en ideeën erachter. Ik werk met mijn staf aan het Henri Poincaré-instituut samen met partners en kunstenaars in wiskundecommunicatie van overal om ons zeer speciale wiskundige museum te stichten.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Kom over enkele jaren, als je Parijs bezoekt, na van een geweldige, krokante baguette en macaron te hebben genoten, ook eens binnen in het Institut Henri Poincaré en deel onze wiskundige droom.
Thank you.
Bedankt.
(Applause)
(Applaus)