What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
מה הדבר שהצרפתים עושים טוב יותר מכל אחד אחר? אם תעשו סקר, שלושת התשובות הראשונות יכולות להיות: אהבה, יין וקיטורים.
(Laughter)
(צחוק)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
אולי. אבל תנו לי להציע תשובה רביעית: מתמטיקה. האם ידעתם שבפאריז יש יותר מתמטיקאים מאשר בכל עיר אחרת בעולם? וגם יותר רחובות עם שמות של מתמטיקאים. ואם תסתכלו על הסטטיסטיקה של מדליית פילדס, שלעתים קרובות נקראת פרס הנובל של מתמטיקה, ותמיד מוענקת למתמטיקאים מתחת לגיל 40, תמצאו שלצרפת יש יותר זוכים של מדליית פילדס ביחס למספר התושבים מאשר לכל מדינה אחרת.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
מה זה שאנחנו מוצאים כל כך סקסי במתמטיקה? אחרי הכל, זה נראה משעמם ומופשט, רק מספרים וחישובים וחוקים שצריך ליישם. מתמטיקה היא אולי מופשטת, אבל היא לא משעממת והיא לא על חישובים. מדובר על הגיון והוכחת הפעילויות העסקיות שלנו. מדובר על דמיון, הכישרון שאנחנו הכי מהללים. מדובר על למצוא את האמת. אין כמו ההרגשה שפולשת לתוכך כשאחרי חודשים של מחשבה מאומצת, אתה סוף סוף מבין את ההגיון הנכון לפיתרון הבעיה שלך. המתמטיקאי הדגול אנדרה ווייל דימה את זה -- ברצינות -- להנאה מינית. אבל יש לציין שההרגשה הזו יכולה להישאר למשך שעות, או אפילו ימים.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
הגמול יכול להיות גדול. אמיתות מתמטיקאיות נסתרות מחלחלות לכל העולם הפיזי שלנו. הן לא נגישות לחושים שלנו אבל ניתן לראותן דרך עדשות מתמטיות. תעצמו את עיניכם לרגע ותחשבו מה מתרחש ברגע זה סביבכם. חלקיקים בלתי נראים מהאוויר סביבכם מתנגשים בכם במיליארדים על גבי מיליארדים בכל שניה, כל זה בכאוס מוחלט. ועדיין, הסטטיסטיקה שלהם ניתנת לחיזוי מדויק בעזרת פיזיקה מתמטית. ותפתחו את עיניכם עכשיו לסטטיסטיקה של המהירויות של החלקיקים האלו.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
עקומת הפעמון המפורסמת של גאוס, או חוק הטעויות -- של סטיות עם התאמה להתנהגות הממוצע. העקומה הזו מספרת על הסטטיסטיקה של המהירויות של החלקיקים באותו אופן שעקומה דמוגרפית תספר על הסטטיסטיקה של הגילאים של פרטים. היא אחת מהעקומות החשובות ביותר אי פעם. זה ממשיך להתרחש שוב ושוב, מהרבה תיאוריות והרבה ניסויים, כדוגמא מצוינת של האוניברסליות שהיא כל כך יקרה לנו המתמטיקאים.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
על העקומה הזו, המדען המפורסם פרנסיס גאלטון אמר: "היוונים היו סוגדים לה אם הם היו מכירים אותה. זה החוק העליון של התוהו ובוהו." ואין דרך טובה יותר לתת צורה לאלה הנעלה הזו מאשר "הלוח של גאלטון". בתוך הלוח הזה יש תעלות צרות שדרכן כדורים קטנטנים נופלים בצורה אקראית, זזים ימינה או שמאלה, או שמאלה וכו'. כל זה באקראיות מוחלטת וכאוס. בואו נראה מה קורה כשאנחנו מסתכלים על כל המסלולים אקראיים האלו ביחד.
(Board shaking)
(הלוח רועד)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
זה קצת לעשות ספורט, כי אנחנו צריכים לפתור כמה פקקי תנועה שם בפנים. אהה. אנחנו חושבים שאקראיות הולכת לעשות לי תרגיל על הבמה.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
הנה זה. האלה הנעלה של התוהו ובוהו. עקומת גאוס, נמצאת כאן בקופסה השקופה, כחלום בקומיקס של "איש החול". בשבילכם הראיתי את זה, אבל לסטודנטים שלי אני מסביר למה זה לא יכול להיות אף עקומה אחרת. וזה נוגע למיסתוריות של האלה ההיא, מחליפים צירוף מקרים יפה בהסבר יפה.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
כל המדע הוא כזה. והסברים מתמטיים יפים הם לא רק להנאה שלנו. הם גם משנים את ההשקפה שלנו על העולם. לדוגמא, איינשטיין, פרין, סמולצ'אוסקי, הם השתמשו בניתוח מתמטי של מסלולים אקראיים ובעקומת גאוס כדי להסביר ולהוכיח שהעולם שלנו מורכב מאטומים.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
זו לא היתה הפעם הראשונה שמתמטיקה גרמה למהפכה בהשקפה שלנו על העולם. לפני יותר מ-2,000 שנים, בזמן יוון העתיקה, זה כבר התרחש. בימים ההם, רק חלק קטן מהעולם נחקר, וכדור הארץ היה נראה אינסופי. אבל ארטוסתנס הנבון, בעזרת מתמטיקה, הצליח למדוד את כדור הארץ עם דיוק מדהים של שני אחוזים.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
הנה דוגמא נוספת. ב-1673, ז'אן רישר הבחין שמטוטלת מתנדנדת מעט לאט יותר בקאיין מאשר בפאריז. מהתצפית הזו בלבד, ומתמטיקה חכמה, ניוטון הסיק בצדק שכדור הארץ הוא ממש קצת שטוח בקטבים, בסביבות 0.3 אחוז -- כל כך מעט שאפילו לא תשימו לב לזה בנוף האמיתי של כדור הארץ.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
הסיפורים האלו מראים שמתמטיקה מאפשרת לנו לצאת מהאינטואיציה שלנו, למדוד את כדור הארץ שנראה אין סופי, לראות אטומים שהם בלתי נראים או להבחין בצורה בלתי ניתנת לאבחנה. ואם יש רק דבר אחד שאתם צריכים לקחת מהרצאה זו, זה זה: מתמטיקה מאפשרת לנו ללכת מעבר לאינטואיציה שלנו ולחקור טריטוריות שלא מתאימות לתפיסה שלנו.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
הנה דוגמא מודרנית שכולכם תתחברו אליה: לגלוש באינטרנט. רשת האינטרנט העולמית, יותר ממיליארד דפי אינטרנט -- האם אתם רוצים לעבור על כולם? כוח מיחשוב עוזר, אבל הוא יהיה חסר תועלת בלי מודלים מתמטיים למצוא את המידע חבוי בתוך הנתונים.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
בואו נעבוד על בעיה קטנטונת. דמיינו שאתם בלשים שעובדים על מקרה פשע, ויש הרבה אנשים שיש להם את הגרסה שלהם של העובדות. את מי אתם מראיינים קודם? תשובה הגיונית: עדים ראשוניים. אתם מבינים, נניח שיש אדם מספר שבע, מספר לכם סיפור, אבל כשאתם שואלים מאיפה הוא קיבל את זה, הוא מצביע על אדם מספר שלוש כמקור. ואולי אדם מספר שלוש, בתורו, מצביע על אדם מספר אחד כמקור הראשוני. עכשיו אדם מספר אחד הוא עד ראשוני, אז אני בהחלט רוצה לראיין אותו -- עדיפות, ומהגרף אנחנו רואים גם שאדם מספר ארבע הוא עד ראשוני. ואולי אני אפילו רוצה לראיין אותו ראשון, כי יש יותר אנשים שמפנים אליו.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
בסדר, זה היה קל, אבל עכשיו, מה אם יש לכם קבוצה גדולה של אנשים שיעידו? והגרף הזה, אני אולי אחשוב על זה ככל האנשים שמעידים במקרה פשע מסובך, אבל זה יכול באותה מידה להיות דפי אינטרנט שמכוונים אחד על השני, מפנים זה לזה בשביל תכנים. איזה מהם הכי מהימנים? לא כל כך ברור.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
תיכנסו לדירוג הדפים, אחת מאבני הפינה המוקדמות של גוגל. האלגוריתם משתמש בחוקים של אקראיות מתמטית בשביל לקבוע אוטומטית את דפי האינטרנט הרלוונטיים ביותר, באותו אופן שאנחנו משתמשים באקראיות בניסוי לוח גאלטון. אז בואו נשלח לתוך הגרף הזה קבוצה של גולות דיגיטליות קטנטנות וניתן להם לעבור רנדומלית דרך הגרף. בכל פעם שהם מגיעים לאתר מסוים, הם יעברו דרך קישור מסויים שנבחר באקראיות לאתר הבא. ושוב, ושוב, ושוב. ועם ערימות קטנות שגודלות, אנחנו נשמור את הרשומה של כמה פעמים כל אתר בוקר על ידי הגולות הדיגיטליות האלו.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
הנה אנחנו מתחילים. אקראיות, אקראיות. ומדי פעם, בואו נעשה קפיצות לגמרי באקראיות כדי להגביר את הכיף.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
ותראו את זה: מהתוהו ובוהו יצוץ הפיתרון. הערימות הגבוהות ביותר מתאימות לאתרים האלו שאיכשהו טובים יותר בלהתחבר לאחרים, יותר מכוונים אליהם מאשר לאחרים. וכאן אנחנו רואים בבירור אילו דפי אינטרנט אנחנו רוצים לנסות קודם. שוב, הפיתרון צץ מהאקראיות. כמובן, מאז הזמן הזה, גוגל פיתחה אלגוריתמים מפותחים בהרבה, אבל כבר כאן זה היה יפה.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
ועדיין, רק בעיה אחת ממיליון. עם הופעת העידן הדיגיטלי, יותר ויותר בעיות שמות עצמן לניתוח מתמטי, והופכות את העבודה של המתמטיקאים ליותר ויותר שימושית, למצב שבו לפני מספר שנים, היא דורגה מקום ראשון בין מאות עבודות במחקר על העבודות הטובות והגרועות ביותר שפורסם ב'וול סטריט ג'ורנל' ב-2009.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
מתמטיקאים -- העבודה הכי טובה בעולם. זה בעקבות היישומים שלה: תיאוריית התקשורת, תיאוריית המידע, תיאוריית המשחקים, חישה דחוסה, למידת מכונה, ניתוח גרפים, ניתוח הרמוני. ולמה לא תהליכים הסתברותיים, תיכנות ליניארי, או סימולציית נוזל? לכל אחד מהתחומים האלו יש יישומים תעשייתיים מפלצתיים. ודרכם, יש כסף גדול במתמטיקה. ותנו לי להתוודות שכשזה נוגע ללעשות כסף ממתמטיקה, האמריקנים הם בלי שום ספק אלופי העולם, עם מיליארדרים נבונים וסמליים וחברות ענק מדהימות, כולן מושתתות, בסופו של דבר, על אלגוריתם טוב.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
עכשיו עם כל היופי הזה, שימושיות ועושר, מתמטיקה באמת נראית יותר סקסית. אבל אל תחשבו שהחיים של חוקר מתמטיקה הם חיים קלים. הם מלאים בתסבוכת, תיסכול, מאבק נואש להבנה.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
תנו לי להעלות בשבילכם את אחד מהימים הכי מרשימים בחיי כמתמטיקאי. או שאני צריך לומר, אחד מהלילות הכי מרשימים. באותו זמן, אני הייתי במכון למחקרים מתקדמים בפרינסטון - למשך הרבה שנים, הבית של אלברט אינשטיין ואפשר לטעון שהמקום הקדוש ביותר למחקר מתמטי בעולם. באותו לילה אני עבדתי ועבדתי על הוכחה חמקמקה, שהיתה לא מושלמת. זה היה על ההבנה של מאפיין היציבות הפרדוקסלית של פלסמה, שהם אוסף של אלקטרונים. בעולם המושלם של הפלסמה, אין התנגשויות, ואין חיכוך שיספק את היציבות שאנחנו רגילים אליה. אבל עדיין, אם קצת מבלגנים את שיווי המשקל של הפלסמה, רואים שהשדה החשמלי שנוצר נעלם באופן ספונטני, או נחלש, כאילו על ידי כוח חיכוך מסתורי.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
האפקט הפרדוקסלי הזה, נקרא 'היחלשות לנדאו', הוא אחד הדברים החשובים ביותר בפיזיקה של פלסמה, והוא התגלה דרך רעיונות מתמטיים. אבל עדיין, הבנה מתמטית מלאה של התופעה הזו הייתה חסרה. ויחד עם תלמיד שלי לשעבר ומשתף פעולה ראשי קלמנט מוהו, בפאריז בזמנו, עבדנו במשך חודשים על גבי חודשים על הוכחה שכזו. למעשה, אני כבר הכרזתי בטעות שאנחנו יכולים לפתור את זה. אבל האמת היא, ההוכחה פשוט לא עבדה. למרות יותר מ-100 דפים של טענות מתמטיות מסובכות, וכמה תגליות, וחישוב ענק, זה לא עבד. ובאותו לילה בפרינסטון, פער קטן בשרשרת הטענות שיגע אותי אני שמתי שם את כל האנרגיה והניסיון והטריקים שלי, ועדיין שום דבר לא עבד. אחד בלילה, שתיים בלילה, שלוש בלילה, לא עובד. בסביבות ארבע לפנות בוקר, אני הולך למיטה עגמומי. ואז כמה שעות לאחר מכן, מתעורר ועושה, "אה, זה הזמן לקחת את הילדים לבית הספר --" מה זה? היה קול בראש שלי, אני נשבע. "תיקח את הביטוי השני לצד השני, התמרת פורייה ותהפוך ב-L2."
(Laughter)
(צחווק)
Damn it, that was the start of the solution!
לעזאזל, זו הייתה ההתחלה של הפיתרון!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
אתם מבינים, אני חשבתי שנחתי קצת, אבל למעשה המוח שלי המשיך לעבוד על זה. ברגעים האלו, אתה לא חושב על הקריירה שלך או על העמיתים שלך, זה פשוט קרב מוחלט בין הבעיה לבינך.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
ואחרי שזה נאמר, זה לא פוגע אם כן מקבלים קידום כפרס על העבודה הקשה שעושים. ואחרי שהשלמנו את הניתוח הענק של "דעיכת לנדאו", אני הייתי מספיק בר מזל לקבל את מדליית פילדס הנחשקת מידיו של נשיא הודו, בהיידראבאד, ב-19 באוגוסט, 2010 -- כבוד שמתמטיקאים לא מעזים לחלום עליו, יום שאני אזכור כל חיי.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
מה אתם חושבים, על אירוע שכזה? גאווה, נכון? והכרת תודה למשתפי הפעולה הרבים שעשו את זה אפשרי. וכיוון שזו הייתה הרפתקה כוללת, צריך לחלוק את זה, לא רק עם אלו ששיתפו פעולה איתך. אני מאמין שכולם יכולים להעריך את הריגוש של מחקר מתמטי, ולשתף את הסיפורים מלאי התשוקה של בני האדם והרעיונות מאחוריהם. ואני עבדתי עם הצוות שלי במכון הנרי פואנקארה, ביחד עם שותפים ואמנים של תקשורת מתמטית מרחבי העולם, כדי שנוכל להקים מוזיאון מיוחד של מתמטיקה משל עצמנו שם.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
אז בעוד כמה שנים, כשתגיעו לפריז, אחרי שתטעמו את הבאגט הפריך המדהים והמקרון, בבקשה תבואו לבקר אותנו במכון הנרי פואנקארה, ותחלקו את החלום המתמטי איתנו,
Thank you.
תודה רבה.
(Applause)
(מחיאות כפיים)