What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
Qu'est-ce que les français font mieux que les autres ? Selon les sondages, on pourrait croire que les Français occupent les trois premières places en : amour, vin et capacité de râler.
(Laughter)
(Rires)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Certes. Il y a une quatrième matière : les mathématiques. Saviez-vous que Paris compte plus de mathématiciens que toute autre ville dans le monde ? Elle a aussi le plus de rues portant le nom de mathématiciens. La lecture des statistiques de la médaille Fields, souvent considérée comme le Prix Nobel des mathématiques et toujours accordée à des mathématiciens de moins de 40 ans, vous fera découvrir que la France a plus de médaillés Fields par habitant que tout autre pays.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
Qu'est-ce que nous trouvons de si sexy dans les maths ? Après tout, elles semblent ennuyeuses et abstraites, se limitant à des nombres, des calculs, et des règles à appliquer. Les mathématiques sont peut-être abstraites, mais certainement pas ennuyantes. Il ne s'agit pas de calcul. Il s'agit de raisonner, et de démontrer notre hypothèse. Nous faisons appel à l'imagination, le talent que nous valorisons le plus. Il s'agit de découvrir la vérité. Il n'y a rien de tel que ce sentiment qui vous envahit quand après des mois de réflexions intenses, vous percevez enfin la bonne démarche pour résoudre votre problème. Le grand mathématicien André Weil assimilait cela, et ce n'est pas une plaisanterie, au plaisir sexuel. Mais il remarquait que cette sensation pouvait durer des heures, voire des jours.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
La récompense peut être grande. Des vérités mathématiques cachées imprègnent notre monde physique. Elles sont inaccessibles à nos sens, mais peuvent être perçues à travers les mathématiques. Fermez vos yeux un instant, et réfléchissez à ce qui se déroule actuellement autour de vous. Des particules invisibles dans l'air environnant vous heurtent par milliards et milliards, chaque seconde, dans un chaos complet. Pourtant, les mathématiques physiques peuvent prédire précisément leurs statistiques. A présent, tournez votre regard vers les statistiques de vitesse de ces particules.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
La célèbre fonction gaussienne en forme de cloche, ou la loi des erreurs, des écarts par rapport au comportement médian. Cette courbe décrit les statistiques de la vitesse des particules, de la même manière qu'une courbe démographique décrit les statistiques des âges des individus. C'est une des courbes les plus importantes qu'on connaisse. Elle apparaît systématiquement, encore et encore, dans de nombreuses théories et expériences, comme un des grands exemples d'universalité qui nous tient tant à cœur, nous, les mathématiciens.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
De cette courbe, le célèbre scientifique Francis Galton a dit ceci : « Les Grecs l'eussent déifiée, s'ils en avaient eu connaissance. loi suprême du désordre et de la déraison. » Il n'existe pas de meilleur moyen de matérialiser cette déesse suprême que la Planche de Galton. Dans cette planche, il y a des tunnels étroits à travers lesquels de petites balles vont tomber aléatoirement, allant à droite ou à gauche, ou à gauche, etc. Tout cela dans un complet chaos, et au hasard. Regardons ce qui arrive
(Board shaking)
quand on observe toutes ces trajectoires aléatoires ensemble.
(Planche secouée)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
C'est un peu sportif, car nous devons fluidifier quelques embouteillages. Ah ah. Vous croyez que le hasard va me jouer un tour ?
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Et voilà ! Notre déesse suprême de la déraison. La Courbe de Gauss, piégée ici dans cette boîte transparente, comme Dream dans la BD « Le Marchand de sable ». Aujourd'hui, je vous l'ai montrée, mais à mes étudiants, j'explique pourquoi il ne peut y avoir d'autre courbe. Nous touchons alors du doigt le mystère de cette déesse, en remplaçant une belle coïncidence par une belle explication.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Toute la science est pareille. Les belles explications mathématiques n'existent pas que pour notre plaisir. Elles transforment aussi notre vision du monde. Par exemple, Einstein, Perrin, Smoluchowski, ils ont tous utilisé l'analyse mathématique des trajectoires aléatoires, et la Courbe de Gauss, pour expliquer et démontrer que notre monde est fait d'atomes.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
Ce n'était pas la première fois que les mathématiques révolutionnaient notre vision du monde. Il y a plus de 2000 ans, à l'époque de la Grèce antique, c'était déjà arrivé. En ces temps là, seulement une petite partie du monde avait été explorée, et la Terre devait paraître infinie. Mais l'habile Eratosthène, utilisant les mathémiques, fut capable de mesurer la Terre avec la précision incroyable de 2%.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
Voici un autre exemple. En 1673, Jean Richer remarqua qu'un pendule se balance légèrement plus lentement à Cayenne qu'à Paris. A partir de cette seule observation, et des mathématiques assez habiles, Newton déduisit correctement que la Terre est un petit peu aplatie aux pôles, à peu près de 0,3 %, si faiblement que c'est imperceptible sur une image réelle de la Terre.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Ces histoires montrent que les mathématiques sont capables de nous faire aller au-delà de notre intuition, pour mesurer la Terre qui semble infinie, voir des atomes, invisibles à l'œil nu, ou détecter une variation imperceptible d'une forme. Si vous ne deviez retenir qu'une seule chose de ma présentation, la voici : les mathématiques nous permettent d'aller au-delà de notre intuition, et d'explorer des territoires inaccessibles à notre compréhension.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Voici un exemple moderne, auquel vous pourrez vous identifier : les recherches sur internet. Le World Wide Web, plus d'un milliard de pages internet, vous ne souhaitez-pas toutes les consulter, n'est-ce pas ? La capacité de calcul nous aide, mais ça serait inutile sans les modèles mathématiques qui permettent de trouver l'information cachée dans cette masse de données.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Résolvons un problème enfantin. Imaginez que vous êtes un détective travaillant sur une scène de crime, et qu'il y ait beaucoup de gens qui ont leur version des faits. Qui voulez-vous interrogez en premier ? Réponse sensée : les témoins principaux. Vous voyez, supposons que la personne numéro sept vous raconte une histoire, mais que, quand vous lui demandez sa source, il désigne la personne numéro trois. Et que, peut-être, la personne numéro trois, à son tour désigne la personne numéro 1 comme la source originelle. Numéro un est devenu un témoin principal, que je veux vraiment interroger prioritairement. A partir du graphique, on constate aussi que la personne numéro quatre est un témoin principal. Sans doute ferais-je mieux de l'interroger en premier, parce qu'il y a davantage de personnes qui renvoient vers lui.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Je l'admets, c'était facile. Qu'en serait-il si vous aviez un groupe important de témoignage à collecter ? Ce nouveau graphique, qui représente toutes les personnes qui témoignent dans une enquête criminelle compliquée, pourrait très bien représenter les pages internet renvoyant les unes aux autres, se réferrant au contenu des unes et des autres. Lesquelles font le plus autorité ? Ce n'est pas si clair.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Je vous présente PageRank, une des toutes premières pierres angulaires de Google. Cet algorithme utilise les lois du hasard mathématique pour déterminer automatiquement les pages web les plus pertinentes, de la même manière que nous avons utilisé le hasard dans l'expérience de la Planche de Galton. Ce que nous allons donc faire, c'est envoyer dans ce graphique un tas de petites billes numériques, et les laisser se déplacer aléatoirement sur le graphique. Chaque fois qu'elles arrivent sur un site, elles passent d'un lien choisi aléatoirement à un autre, Et ainsi de suite. Avec l'aide de petites piles qui grandissent, nous gardons trace du nombre de fois, chaque site à été visité par ces billes numériques.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
C'est parti ! Le hasard, le hasard. De temps en temps, faisons des sauts complètement aléatoirement, juste pour le fun.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
Regardez-moi ça : du chaos émerge la solution. Les plus hautes piles correspondent aux sites qui d'une certaine manière, sont mieux connectés que les autres, plus mentionnés que les autres. Nous voyons clairement quelles sont les pages internet que nous voulons consulter en premier. Une fois encore, la solution émerge du hasard. Bien sûr, depuis cette époque, Google a mis au point des algorithmes bien plus sophistiqués, mais c'était déjà beau.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
Pourtant, ce n'est qu'un problème sur un million. Avec l'arrivée de l'ère numérique, de plus en plus de problèmes se prêtent à l'analyse mathématique, rendant le métier de mathématicien de plus en plus utile, au point qu'il y a quelques années, il fut classé premier parmi des milliers de métiers dans une étude sur les meilleurs et les pires métiers, publiée par le Wall Street Journal en 2009.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Mathématicien, le meilleur métier au monde ! Nous devons remercier les applications : la théorie de la communication, la théorie de l'information, la théorie des jeux, l'acquisition comprimée, l'apprentissage automatique, l'analyse de graphique, l'analyse harmonique. Et pourquoi pas les processus stochastiques, la programmation linéaire, ou la simulation de fluide ? Chacun de ces domaines ont un nombre monstrueux d'applications industrielles. Et à travers elles, il y a des fortunes qui sont faites dans les mathématiques. Je le concède, quand il est question de faire de l'argent à partir des maths, les Américains sont de loin les champions du monde. L'Amérique possède des millionnaires malins et emblématiques, des entreprises géantes, qui tous, existent grâce à de bons algorithmes.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Evidemment, avec cette beauté, cette utilité et cette richesse, les mathématiques ne peuvent qu'avoir l'air sexy. Ne croyez cependant pas que la vie d'un mathématicien est accommodante. Elle est remplie de perplexités, de frustrations, de combats désespérés vers la compréhension.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Je vais vous narrer une des journées les plus frappantes dans ma vie de mathématicien. En fait, je devrais plutôt parler de nuits frappantes. A cette époque, je résidais à l'Institut d'Etudes avancées de Princeton, qui fut le foyer d'Albert Einstein très longtemps, et qui est, sans aucun doute, la Mecque de la recherche mathématique au monde. Cette nuit là, je séchais sur une démonstration qui m'échappait, et qui restait incomplète. La question traitait de la compréhension de la propriété paradoxale de la stabilité du plasma, qui est en fait une masse d'électrons. Dans le monde parfait du plasma, il n'y a pas de collision, et aucune friction qui permettent la stabilité à laquelle nous sommes familier. Néanmoins, si on perturbe un tout petit peu l'équilibre plasmique, on constate que le bouclier électrique qui en résulte s'évanouit spontanément, il est amorti en quelques sortes, sous l'effet d'une mystérieuse force de friction.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Cet effet paradoxal, appelé l'amortissement Landau, est un des effets les plus importants en physique des plasma. Bien qu'il ait été découvert grâce aux idées mathématiques, celles-ci n'avaient pas encore une compréhension totale de ce phénomème. Avec mon ancien étudiant, et collaborateur principal, Clément Mouhot qui résidait à Paris à l'époque, nous travaillions à cette démonstration depuis des mois. D'ailleurs, j'avais déjà annoncé erronément que nous pouvions la résoudre. Mais en réalité, la démonstration ne tenait pas la route. En dépit d'une centaine de pages d'argumentations mathématiques complexes, d'un certain nombres de découvertes, et de calculs incroyables, ça ne marchait pas. Cette nuit là, à Princeton, je me cassais la tête sur une brèche dans une chaîne de l'argumentaire. J'y consacrais toute mon énergie, mon expérience, et mes astuces, en vain. une heure du matin passe, deux heures, trois heures. Rien. A quatre heure du matin, j'abandonne, le moral dans les talons. Quelques heures plus tard, je me réveille : « Aaah. C'est l'heure d'emmener les enfants à l'école, » Qu'est-ce que c'est ? J'ai entendu une voix, je vous jure. « Déplace la seconde proposition de l'autre côté, transformation de Fourier et inverser en L2.
(Laughter)
(Rires)
Damn it, that was the start of the solution!
Incroyable ! C'était le début de la solution.
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Je croyais m'être reposé un peu, mais en fait, mon cerveau avait continué de réfléchir au problème. Dans ces moments là, on ne pense pas à sa carrière, ou à ses amis. C'est un combat entre le problème est soi.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Cela dit, une promotion en rétribution du travail accompli ne nous arrache pas le cœur. Après avoir achevé notre énorme analyse de l'amortissement Landau, j'ai eu la chance de recevoir la prestigieuse Médaille Fields, que le Président de l'Inde m'a remise à Hyderabad le 19 août 2010. C'est un honneur dont les mathématiciens n'osent jamais rêver. C'est un jour dont je me souviendrai toute ma vie.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
Qu'est-ce qui nous passe par la tête à ce moment ? Une grande fierté. Surtout de la gratitude pour tous les collègues qui ont rendu cela possible. Comme c'était une aventure collective, c'est important de la partager, pas uniquement avec ses collègues. Je crois profondément que tous le monde peut apprécier ce frisson de la recherche mathématique, et partager ses histoires passionnantes des hommes et des idées qui la sous-tendent. Je travaille avec mon équipe à l'Institut Henri Pointcaré, et avec des partenaires et des artistes de la communication des mathématiques pour y créer notre propre musée des mathématiques.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Dans quelques années, lorsque vous visiterez Paris, après avoir goûté notre baguettes croustillantes et nos macarons, venez nous rendre visite à l'Institut Pointcaré, et partager le rêve mathématique avec nous.
Thank you.
Merci.
(Applause)
(Applaudissements)