What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining.
¿Qué es lo que los franceses hacen mejor que todos los demás? Si hacemos una encuesta, las tres respuestas podrían ser: El amor, el vino y el lloriqueo.
(Laughter)
(Risas)
Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics. Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country.
Tal vez. Pero permítanme sugerir una cuarta: Las matemáticas. ¿Sabían que París tiene más matemáticos que cualquiera otra ciudad del mundo? Además de más calles con nombres de matemáticos. Y si uno mira las estadísticas de la Medalla Fields, a menudo llamada Premio Nobel de matemáticas, y siempre concedida a matemáticos con menos de 40 años, verá que Francia tiene más Medallas Fields por habitante que cualquier otro país.
What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply. Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days.
¿Qué nos parece tan atractivo de las matemáticas? Al fin y al cabo, parece que son tediosas y abstractas, con solo números y cálculos y reglas para aplicar. Las matemáticas pueden ser abstractas, pero no son tediosas y no son todo cálculos. Tienen que ver con el raciocinio y con demostrar nuestra principal actividad. Se trata de imaginación, el talento que más apreciamos. Se trata de encontrar la verdad. No hay nada como la sensación que invade a uno cuando tras meses de reflexión, entiende por fin el raciocinio correcto para resolver su problema. El gran matemático André Weil lo comparó, y no es broma, al placer sexual. Pero señaló que ese sentimiento puede durar horas o incluso días.
The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles.
La recompensa puede ser grande. Verdades matemáticas ocultas están por todas partes en nuestro mundo físico. Son inaccesibles a nuestros sentidos, pero pueden ser vistas a través de lentes matemáticos. Cierren los ojos por un momento y piensen en lo que ocurre ahora a su alrededor. Partículas invisibles del aire chocan con Uds., miles de millones cada segundo, todo es un completo caos. Y aún así, sus estadísticas pueden ser precisamente previstas por la física matemática. Abran ahora los ojos para las estadísticas de las velocidades de estas partículas.
The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior. This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians.
La famosa curva gaussiana en forma de campana o distribución normal... de las desviaciones del comportamiento promedio. Esta curva habla de la estadística de velocidades de las partículas de la misma manera como una curva demográfica hablaría de la estadística de edades de los individuos. Es una de las curvas más importantes. Sigue apareciendo una y otra vez, en muchas teorías y muchos experimentos, como gran ejemplo de universalidad, lo que es tan querido por nosotros los matemáticos.
Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it. It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together.
Sobre esta curva, el famoso científico Francis Galton dijo "Los griegos la habrían deificado de haberla conocido. Es la ley suprema de la sinrazón". La mejor forma de materializar esa diosa suprema es con el tablero de Galton. Dentro de esta placa hay estrechos túneles a través de la cual diminutas bolas caerán al azar, yendo de derecha a izquierda, o hacia la izquierda, etc. Todo en aleatoriedad y caos completo. Veamos lo que sucede al mirar esas trayectorias aleatorias juntas.
(Board shaking)
(Agitando la tabla)
This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there. Aha. We think that randomness is going to play me a trick on stage.
Esto es como un deporte, porque tenemos que resolver algunos atascos de tráfico en ese país. Ajá. Pensamos que la aleatoriedad me jugaría un truco en el escenario.
There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve, trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation.
Aquí está. Nuestra diosa suprema de la sinrazón. La curva de Gauss atrapada aquí en esta caja transparente como el sueño en los cómics "The Sandman". Se lo he mostrado así a Uds., pero a mis estudiantes les explico por qué no podría haber otra curva. Y esto está en contacto con el misterio de esa diosa, sustituyendo una hermosa coincidencia por una hermosa explicación.
All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world. For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms.
Toda la ciencia es así. Y hermosas explicaciones matemáticas no son solo para nuestro deleite. También cambian nuestra visión del mundo. Por ejemplo, Einstein, Perrin, Smoluchowski, usaron el análisis matemático de las trayectorias aleatorias y la curva de Gauss para explicar y demostrar que nuestro mundo está hecho de átomos.
It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago, at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent.
No era la primera vez que la matemática estaba revolucionando nuestra visión del mundo. Hace más de 2000 años, en la época de los antiguos griegos, ya se produjo. En aquellos días, solo una pequeña fracción del mundo había sido explorada, y la Tierra parecería infinita. Pero el inteligente Eratóstenes usando las matemáticas, pudo medir la Tierra con una increíble precisión de 2 %.
Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris. From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth.
He aquí otro ejemplo. En 1673 Jean Richer notó que un péndulo se balancea ligeramente más lento en Cayenne que en París. A partir de esta sola observación y matemáticas inteligentes, Newton dedujo acertadamente que la Tierra es un poquito achatada en los polos, un 0,3 %. tan pequeña que ni siquiera se nota en la visión real de la Tierra.
These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite, see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp.
Estas historias muestran que las matemáticas pueden hacernos salir de nuestra intuición, medir la Tierra que parece infinita, ver átomos que son invisibles o detectar una variación imperceptible de forma. Y si solo hay una cosa que Uds. pueden aprovechar de esta charla, es la siguiente: Las matemáticas nos permiten ir más allá de la intuición y explorar territorios que no están a nuestro alcance.
Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web, more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data.
Esto es un ejemplo moderno todos Uds. se refieren a: buscar en Internet. La World Wide Web, más de mil millones de páginas web, ¿quieren repasar todas ellas? La potencia informática ayuda, pero sin el modelado matemático esta sería inútil para encontrar la información oculta en los datos.
Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first? Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him.
Vamos a resolver un problema hiperfácil. Imagine que Ud. es un detective que trabaja en un caso penal, y hay muchas personas que tienen su versión de los hechos. ¿A quién entrevistaría Ud. primero? Respuesta sensata: a los testigos principales. Vean, supongamos que la persona número siete, cuenta una historia, pero cuando se le pregunta de dónde sacó la historia, apunta a la persona número tres como fuente. Y la persona número tres, a su vez, apunta a la persona número uno como fuente primaria. Ahora el número uno es el principal testigo, así que definitivamente quiero entrevistarlo con prioridad. Y a partir de la gráfica también vemos que la persona número cuatro es un testigo principal. Y puede que incluso quiera entrevistarlo en primer lugar, porque hay varias personas que se refieren a él.
OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case, but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear.
Bien, eso fue fácil. Pero ahora ¿qué pasa si un gran grupo de personas va a declarar? Y este grafo, puedo pensarlo como todas las personas que atestiguan en un caso de delito complicado. Pero pueden muy bien ser páginas web apuntando uno al otro, refiriéndose a la otra para los contenidos. ¿Cuáles son las más autorizadas? No es tan claro.
Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles.
Introduzcan PageRank, uno de los primeros pilares de Google. Este algoritmo usa leyes de la aleatoriedad matemática para determinar automáticamente las páginas web más relevantes. De la misma forma que usamos aleatoriedad en el experimento del tablero de Galton. Así que vamos a enviar en este grafo un montón de pequeñas canicas, digitales y que vayan al azar a través del grafo. Cada vez que llegan a algún sitio, irán a algún tipo de relación elegido al azar hasta la siguiente. Y otra vez, y otra vez, y otra vez. Y con pilas pequeñas crecientes haremos un registro continuado de cuántas veces ha sido visitado el sitio por estas canicas digitales.
Here we go. Randomness, randomness. And from time to time, also let's make jumps completely randomly to increase the fun.
Allá vamos. El azar, la aleatoriedad. Y de vez en cuando, también haremos saltos por completo al azar para aumentar la diversión.
And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful.
Y miren esto: del caos surgirá la solución. Las pilas más altas corresponden a esos sitios que de alguna manera están mejor conectados que los otros, más referenciados que los otros. Y aquí vemos claramente qué páginas web queremos en el primer intento. Una vez más, la solución surge de la aleatoriedad. Por supuesto, desde aquel momento, Google ha desarrollado algoritmos mucho más sofisticados. Pero ya era hermosa.
And still, just one problem in a million. With the advent of digital area, more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009.
Y aún así, es solo un problema entre un millón. Con el advenimiento de la era digital, más y más problemas se prestan a un análisis matemático, haciendo que el trabajo del matemático sea cada vez más útil, en comparación a hace unos años, que estaba clasificado como número uno entre los cien puestos de trabajo de un estudio sobre los mejores y peores trabajos publicado en el Wall Street Journal en 2009.
Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications: communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm.
Matemático: el mejor trabajo del mundo. Esto es debido a sus aplicaciones: teoría de la comunicación, teoría de la información, teoría de juegos, muestreo comprimido, aprendizaje automático, análisis de grafos, análisis armónico. ¿Y por qué no los procesos estocásticos, la programación lineal, o la simulación de fluidos? Cada uno de estos campos tiene inmensas aplicaciones industriales. Y a través de ellas, hay mucho dinero en matemáticas. Y permítanme confirmar que cuando se trata de hacer dinero con matemáticas, los estadounidenses son con diferencia los campeones del mundo, multimillonarios emblemáticos inteligentes y sorprendentes empresas gigantes, todo descansa, en última instancia, en buenos algoritmos.
Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding.
Con toda esta belleza, utilidad y riqueza, las matemáticas tiene un aspecto más atractivo. Pero no crean que la vida de un investigador matemático es una tarea fácil. Está llena de perplejidad, frustración, una lucha desesperada por la comprensión.
Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say, one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force.
Permítanme recordarles uno de los días más llamativos de mi vida como matemático. O debería decir, una de las noches más llamativas. En ese momento, estaba en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton; muchos años, la casa de Albert Einstein y posiblemente lugar santo de la mayoría de la investigación matemática del mundo. Y esa noche yo estaba trabajando en una prueba difícil de demostrar, y que estaba incompleta. Se trataba de comprender la estabilidad paradójica característica de plasmas, que son una multitud de electrones. En el mundo perfecto del plasma, no hay colisiones y tampoco fricción para dar estabilidad como estamos acostumbrados. Pero aún así, si perturban ligeramente un equilibrio de plasma, encontrarán que el blindaje eléctrico resultante desaparece espontáneamente, o lo amortigua, como por una fuerza de fricción misteriosa.
This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics, and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2."
Este efecto paradójico, llamado amortiguación de Landau, es uno de los más importantes en la física del plasma, y se descubrió a través de ideas matemáticas. Pero aun así, no existía una comprensión matemática completa de este fenómeno. Y junto con mi exestudiante y colaborador principal Clément Mouhot, en París en ese momento, habíamos trabajado durante meses y meses en una prueba de este tipo. En realidad, yo ya había anunciado por error que podríamos resolverlo. Pero la verdad es que la prueba simplemente no funcionaba. A pesar de más de 100 páginas de complicados argumentos, matemáticos, y un montón de descubrimientos y mucho cálculo, no funcionaba. Y esa noche en Princeton, un cierto vacío en la cadena de argumentos me estaba volviendo loco. Yo estaba poniendo allí toda mi energía y experiencia y trucos, y seguía sin funcionar. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., no funcionaba. Alrededor de las 4 a.m. me fui a la cama con la moral baja. Entonces, un par de horas más tarde, me desperté y "Ah, es hora de que los niños vayan a la escuela". ¿Qué es esto? Había una voz en mi cabeza, lo juro. "Lleva el segundo término al otro lado, transformada de Fourier e invertir en L2".
(Laughter)
(Risas)
Damn it, that was the start of the solution!
Maldita sea, ¡era el comienzo de la solución!
You see, I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it. In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you.
Ven, pensé que había descansado, pero realmente mi cerebro había seguido trabajando en esto. En esos momentos, uno no piensa en su carrera o sus colegas, es solo una batalla campal entre el problema y uno mismo.
That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping, I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live.
Una vez dicho esto, no perjudica cuando uno logra un ascenso en recompensa por su arduo trabajo. Y tras completar nuestro enorme análisis de la amortiguación de Landau, tuve la suerte de obtener la codiciada medalla Fields de manos del Presidente de la India, en Hyderabad el 19 de agosto de 2010. Un honor que los matemáticos nunca se atreven a soñar, un día que recordaré toda mi vida.
What do you think, on such an occasion? Pride, yes? And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there.
¿Qué piensa uno en una ocasión así? Orgullo, ¿sí? Y agradecimiento a los colaboradores que hicieron esto posible. Ya que fue una aventura colectiva, uno necesita compartirlo, no solo con sus colaboradores. Creo que todo el mundo puede apreciar la emoción de la investigación matemática, y compartir historias apasionadas de humanos e ideas detrás de esta. Y he estado trabajando con mi equipo en el Instituto Henri Poincaré, junto con los socios y artistas de comunicación matemática de todo el mundo, para encontrar allí nuestro propio museo de matemáticas muy especial.
So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon, please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us.
Así que en unos pocos años, cuando vengan a París, tras probar la gran baguette crujiente y los macarrones, visítennos en el Instituto Henri Poincaré y compartan el sueño matemático con nosotros.
Thank you.
Gracias.
(Applause)
(Aplausos)