Was machen Franzosen besser als alle anderen? Wenn Sie Umfragen nehmen würden, könnten die drei häufigsten Antworten Liebe, Wein und Jammern sein. (Lachen) Vielleicht. Aber lassen mich Ihnen eine vierte Antwort vorschlagen: Mathematik.
What is it that French people do better than all the others? If you would take polls, the top three answers might be: love, wine and whining. (Laughter) Maybe. But let me suggest a fourth one: mathematics.
Wussten Sie, dass es mehr Mathematiker in Paris gibt als in jeder anderen Stadt der Welt? Und mehr Straßen sind nach Mathematikern benannt. Wenn Sie die Statistiken der Fields-Medaille betrachten, die auch als Nobelpreis für Mathematiker bezeichnet und nur an Mathematiker unter 40 Jahren verliehen wird, werden Sie feststellen, dass Frankreich mehr Medaillengewinner pro Einwohner hat als jedes andere Land. Warum finden wir Mathematik so sexy? Sie scheint doch so stumpf und abstrakt zu sein. Nur Ziffern und Berechnungen und Anwendungen von Regeln.
Did you know that Paris has more mathematicians than any other city in the world? And more streets with mathematicians' names, too. And if you look at the statistics of the Fields Medal, often called the Nobel Prize for mathematics, and always awarded to mathematicians below the age of 40, you will find that France has more Fields medalists per inhabitant than any other country. What is it that we find so sexy in math? After all, it seems to be dull and abstract, just numbers and computations and rules to apply.
Mathematik ist vielleicht abstrakt, aber keineswegs stumpf und nicht nur bloßes Rechnen. Es geht um Denken und die Bestätigung unseres grundlegenden Handelns. Es geht um die Phantasie, unser höchstgepriesenes Talent. Es geht darum, die Wahrheit zu finden. Nichts ist besser als das Gefühl, wenn man nach monatelangem Überlegen endlich den Lösungsansatz des Problems gefunden hat. Der große Mathematiker André Weil verglich dieses Gefühl -- kein Scherz -- mit sexuellem Genuss, aber bemerkte, dass dieses Gefühl für Stunden anhalten kann, manchmal sogar Tage. Die Belohnung kann groß sein. Verborgene mathematischen Wahrheiten durchdringen unsere ganze physische Welt. Sie sind unseren Sinnen verschlossen,
Mathematics may be abstract, but it's not dull and it's not about computing. It is about reasoning and proving our core activity. It is about imagination, the talent which we most praise. It is about finding the truth. There's nothing like the feeling which invades you when after months of hard thinking, you finally understand the right reasoning to solve your problem. The great mathematician André Weil likened this -- no kidding -- to sexual pleasure. But noted that this feeling can last for hours, or even days. The reward may be big. Hidden mathematical truths permeate our whole physical world. They are inaccessible to our senses
aber können durch die Brille der Mathematik betrachtet werden. Schließen Sie Ihre Augen für einen Moment und denken Sie an das, was gerade um Sie herum stattfindet. Unsichtbare Teilchen aus der Luft stoßen auf Sie, mehrere Trillionen mal pro Sekunde. Alle in komplettem Chaos. Trotzdem können ihre Statistiken genau, mithilfe mathematischer Physik, vorhergesagt werden. Öffnen Sie nun Ihre Augen und sehen Sie die Statistik der Geschwindigkeit dieser Teilchen. Die berühmte glockenförmige Gaußkurve, oder das Fehlergesetz von Abweichungen bezüglich des Mittelwertverhaltens.
but can be seen through mathematical lenses. Close your eyes for moment and think of what is occurring right now around you. Invisible particles from the air around are bumping on you by the billions and billions at each second, all in complete chaos. And still, their statistics can be accurately predicted by mathematical physics. And open your eyes now to the statistics of the velocities of these particles. The famous bell-shaped Gauss Curve, or the Law of Errors -- of deviations with respect to the mean behavior.
Die Kurve zeigt die Statistik von Teilchengeschwindigkeiten in derselben Weise, wie eine demographische Kurve die Statistik von Altersstrukturen einer Bevölkerung darstellt. Sie ist eine der wichtigsten Kurven überhaupt. Sie kommt immer wieder vor, in vielen Theorien und Experimenten, als ein schönes Beispiel für die Universalität, die uns Mathematikern so teuer ist. Von dieser Kurve sagte der berühmte Wissenschaftler Francis Galton: „Die Griechen hätten sie vergöttert, wenn Sie sie gekannt hätten.
This curve tells about the statistics of velocities of particles in the same way as a demographic curve would tell about the statistics of ages of individuals. It's one of the most important curves ever. It keeps on occurring again and again, from many theories and many experiments, as a great example of the universality which is so dear to us mathematicians. Of this curve, the famous scientist Francis Galton said, "It would have been deified by the Greeks if they had known it.
Sie ist das höchste Gesetz der Unvernunft.“ Es gibt kein besseres Mittel, um diese Göttin zu materialisieren, als das Galtonbrett. Innerhalb dieses Brettes sind enge Tunnel, durch die winzige Kügelchen zufällig fallen, nach rechts oder links und so weiter. Alle in völligem Zufall und Chaos. Mal sehen, was passiert, wenn wir diese zufälligen Bahnen gemeinsam betrachten. (schüttelt das Galtonbrett) Es ist nicht ganz einfach ... weil wir im Brett einige Staus zu lösen haben.
It is the supreme law of unreason." And there's no better way to materialize that supreme goddess than Galton's Board. Inside this board are narrow tunnels through which tiny balls will fall down randomly, going right or left, or left, etc. All in complete randomness and chaos. Let's see what happens when we look at all these random trajectories together. (Board shaking) This is a bit of a sport, because we need to resolve some traffic jams in there.
Aha.
Aha.
Spielt mir der Zufall einen Streich auf der Bühne? Und siehe da: Unsere oberste Göttin der Unvernunft, die Gaußkurve.
We think that randomness is going to play me a trick on stage. There it is. Our supreme goddess of unreason. the Gauss Curve,
Eingeklemmt in einer durchsichtigen Kiste wie Dream in den „Sandmann“-Comics. Ihnen habe ich es gezeigt, aber meinen Studenten muss ich erklären, warum es keine andere Kurve sein könnte. Und das berührt das Geheimnis dieser Göttin. Es ersetzt einen wunderschönen Zufall durch eine wunderschöne Erklärung. Jede Wissenschaft funktioniert so. Schöne mathematischen Erklärungen sind nicht nur zum Vergnügen. Sie ändern auch unsere Wahrnehmung der Welt.
trapped here inside this transparent box as Dream in "The Sandman" comics. For you I have shown it, but to my students I explain why it could not be any other curve. And this is touching the mystery of that goddess, replacing a beautiful coincidence by a beautiful explanation. All of science is like this. And beautiful mathematical explanations are not only for our pleasure. They also change our vision of the world.
Zum Beispiel, Einstein, Perrin, Smoluchowski, sie verwendeten die mathematische Analyse von zufälligen Bahnen und die Gaußkurve, um zu erklären und beweisen, dass unsere Welt aus Atomen zusammengesetzt ist. Es war nicht das erste Mal, dass die Mathematik unsere Wahrnehmung der Welt revolutionierte. Bereits vor über 2000 Jahren,
For instance, Einstein, Perrin, Smoluchowski, they used the mathematical analysis of random trajectories and the Gauss Curve to explain and prove that our world is made of atoms. It was not the first time that mathematics was revolutionizing our view of the world. More than 2,000 years ago,
im griechischen Altertum, fand dies schon einmal statt. Nur ein kleiner Teil der Welt war schon entdeckt und es schien, dass die Erde unendlich sei. Aber der kluge Eratosthenes bediente sich der Mathematik und konnte die Erde mit einer erstaunlichen Genauigkeit von zwei Prozent messen. Hier ist ein weiteres Beispiel. Im Jahr 1673 stellt Jean Riecher fest, dass ein Pendel in Cayenne etwas langsamer schwingt als in Paris.
at the time of the ancient Greeks, it already occurred. In those days, only a small fraction of the world had been explored, and the Earth might have seemed infinite. But clever Eratosthenes, using mathematics, was able to measure the Earth with an amazing accuracy of two percent. Here's another example. In 1673, Jean Richer noticed that a pendulum swings slightly slower in Cayenne than in Paris.
Aus dieser Beobachtung allein, und kluger Mathematik, hat Newton richtig geschlossen, dass die Erdkugel etwas plattgedrückt ist, etwa 0,3 Prozent. So wenig, dass das nicht zu bemerken ist, wenn man sich ein echtes Bild der Erde anschaut. Diese Geschichten zeigen, dass man mit der Mathematik aus seiner bloße Intuition herausgehen kann. Man kann die Erde messen, die unendlich scheint,
From this observation alone, and clever mathematics, Newton rightly deduced that the Earth is a wee bit flattened at the poles, like 0.3 percent -- so tiny that you wouldn't even notice it on the real view of the Earth. These stories show that mathematics is able to make us go out of our intuition measure the Earth which seems infinite,
Atome sehen, die unsichtbar sind oder einen unmerklichen Unterschied einer Körperform erkennen. Wenn bei Ihnen nur eines von diesem Gespräch hängen bleibt, dann dies: Die Mathematik ermöglicht es uns, über die Intuition hinaus weiterzugehen und Gebiete zu erkunden, die außerhalb unserer Wahrnehmung liegen. Hier ist ein modernes Beispiel, das Sie alle kennen: Die Suche im Internet, das World Wide Web.
see atoms which are invisible or detect an imperceptible variation of shape. And if there is just one thing that you should take home from this talk, it is this: mathematics allows us to go beyond the intuition and explore territories which do not fit within our grasp. Here's a modern example you will all relate to: searching the Internet. The World Wide Web,
Mehr als eine Milliarde Webseiten. Wollen Sie jede einzeln durchgehen? Maschinelle Rechenleistung hilft, aber ohne die mathematische Modellierung wäre sie nutzlos, die Information zu finden, die in den Daten verborgen ist. Gehen wir mal ein Anfängerproblem durch. Stellen Sie sich vor, dass Sie ein Detektiv sind, der an einem Kriminalfall arbeitet und es gibt viele Menschen, die ihre eigene Version der Fakten haben.
more than one billion web pages -- do you want to go through them all? Computing power helps, but it would be useless without the mathematical modeling to find the information hidden in the data. Let's work out a baby problem. Imagine that you're a detective working on a crime case, and there are many people who have their version of the facts. Who do you want to interview first?
Wen möchten Sie zuerst verhören? Vernünftige Antwort: die Hauptzeugen. Nehmen Sie an, dass es Person Nummer 7 gibt, die Ihnen eine Geschichte erzählt, aber wenn Sie fragen, von wo sie diese Geschichte bekam, zeigt sie auf Person Nummer 3 als Quelle. Vielleicht zeigt Person Nummer 3 wiederum auf Person Nummer 1 als Primärquelle. Jetzt ist Nummer 1 der Hauptzeuge, also möchte ich auf jeden Fall zuerst ihn verhören. Aus dem Graphen sehen wir auch, dass Person Nummer 4 ein Hauptzeuge ist. Vielleicht möchte ich ihn sogar zuallererst interviewen, weil mehr Leute auf ihn hingewiesen haben. Ok, das war einfach. Aber was macht man, wenn eine ganze Menge Menschen als Zeugen in Betracht kommen? Und dieser Graph
Sensible answer: prime witnesses. You see, suppose that there is person number seven, tells you a story, but when you ask where he got if from, he points to person number three as a source. And maybe person number three, in turn, points at person number one as the primary source. Now number one is a prime witness, so I definitely want to interview him -- priority. And from the graph we also see that person number four is a prime witness. And maybe I even want to interview him first, because there are more people who refer to him. OK, that was easy, but now what about if you have a big bunch of people who will testify? And this graph, I may think of it as all people who testify in a complicated crime case,
stellt beispielsweise alle Zeugen in einem komplizierten Kriminalfall dar. Aber es könnten genauso gut Webseiten sein, die auf einander zeigen; die sich bei der Suche nach Inhalten auf einander berufen. Welche sind die ergiebigsten Quellen? Nicht ganz so klar. Schauen wir auf PageRank, einem der frühen Eckpfeiler von Google. Dieser Algorithmus verwendet die Gesetze mathematischer Zufälligkeit, um automatisch die wichtigsten Webseiten zu bestimmen in der gleichen Weise, wie Zufälligkeit im Galtonbrett verdeutlicht wird. Lassen Sie uns also in diese Grafik einige kleine digitale Murmeln senden und lassen wir sie irgendwie durch den Graphen gehen. Jedes Mal, wenn sie auf einer Seite ankommen, werden sie zufällig durch weiterführende Links auf die nächste Seite gehen. Wieder und wieder und wieder. Mit kleinen, wachsenden Haufen werden wir zählen, wie oft jede Seite von den digitalen Murmeln besucht wurde. Also los geht's! Zufälligkeit, Zufälligkeit. Und von Zeit zu Zeit
but it may just as well be web pages pointing to each other, referring to each other for contents. Which ones are the most authoritative? Not so clear. Enter PageRank, one of the early cornerstones of Google. This algorithm uses the laws of mathematical randomness to determine automatically the most relevant web pages, in the same way as we used randomness in the Galton Board experiment. So let's send into this graph a bunch of tiny, digital marbles and let them go randomly through the graph. Each time they arrive at some site, they will go out through some link chosen at random to the next one. And again, and again, and again. And with small, growing piles, we'll keep the record of how many times each site has been visited by these digital marbles. Here we go. Randomness, randomness. And from time to time,
werden sie auch ganz zufällige Sprünge machen, um den Spaß zu erhöhen. Und siehe da: Aus dem Chaos ersteht eine Lösung. Die höchsten Säulen haben die Seiten,
also let's make jumps completely randomly to increase the fun. And look at this: from the chaos will emerge the solution. The highest piles correspond to those sites
die irgendwie besser verbunden sind als die anderen, also häufiger verlinkt werden. Hier sehen wir deutlich, welche die Webseiten sind, die wir zuerst versuchen wollen. Und wieder kommt die Lösung aus der Zufälligkeit. Natürlich hat Google inzwischen wesentlich aufwendigere Algorithmen gefunden. Aber das war schon sehr schön. Und doch nur ein Problem unter Millionen. Mit dem Aufkommen des digitalen Zeitalters
which somehow are better connected than the others, more pointed at than the others. And here we see clearly which are the web pages we want to first try. Once again, the solution emerges from the randomness. Of course, since that time, Google has come up with much more sophisticated algorithms, but already this was beautiful. And still, just one problem in a million. With the advent of digital area,
lassen sich immer mehr Probleme mathematisch analysieren, was die Arbeit des Mathematikers immer nützlicher macht. Bis dahin, dass dieser Job vor ein paar Jahren an erste Stelle stand unter hunderten anderen, in einer Studie über die besten und die schlechtesten Jobs des Wall Street Journals im Jahr 2009. Mathematiker -- der beste Job der Welt. Das liegt an den Anwendungen:
more and more problems lend themselves to mathematical analysis, making the job of mathematician a more and more useful one, to the extent that a few years ago, it was ranked number one among hundreds of jobs in a study about the best and worst jobs published by the Wall Street Journal in 2009. Mathematician -- best job in the world. That's because of the applications:
Kommunikationstheorie, Informationstheorie, Spieltheorie, Komprimierte Erfassung, maschinelles Lernen, Graphentheorie, harmonische Analyse und warum nicht stochastische Verfahren, lineare Programmierung, oder Flüssigkeitssimulation? Jeder dieser Bereiche hat riesige industrielle Anwendungen und durch sie gibt es viel Geld in der Mathematik. Ich muss zugeben, dass, wenn es darum geht, Geld aus der Mathematik zu machen, die Amerikaner bei Weitem die Weltmeister sind. Mit schlauen Vorzeigemilliardären und erstaunlichen Großkonzernen, alle letztlich von guten Algorithmen abhängig. Jetzt, mit all dieser Schönheit, Nützlichkeit und Reichtum, sieht Mathematik mehr sexy aus. Aber glauben Sie nicht,
communication theory, information theory, game theory, compressed sensing, machine learning, graph analysis, harmonic analysis. And why not stochastic processes, linear programming, or fluid simulation? Each of these fields have monster industrial applications. And through them, there is big money in mathematics. And let me concede that when it comes to making money from the math, the Americans are by a long shot the world champions, with clever, emblematic billionaires and amazing, giant companies, all resting, ultimately, on good algorithm. Now with all this beauty, usefulness and wealth, mathematics does look more sexy. But don't you think
das Leben eines mathematischen Forschers sei einfach. Es ist mit Verworrenheit gefüllt, Frustration und einem verzweifelten Kampf um das Verstehen. Lassen Sie mich Ihnen einen der markantesten Tage in meinem Mathematikerleben beschreiben. Oder sollte ich sagen,
that the life a mathematical researcher is an easy one. It is filled with perplexity, frustration, a desperate fight for understanding. Let me evoke for you one of the most striking days in my mathematician's life. Or should I say,
eine der markantesten Nächte? Damals befand ich mich am „Institute for Advanced Studies“ in Princeton -- über viele Jahre der Wirkungsort von Albert Einstein und wohl auch der heiligste Ort der mathematischen Forschung weltweit. In dieser Nacht arbeitete ich an einem schwer fassbaren Beweis, der unvollständig war. Es ging um das Verständnis der paradoxen Stabilitätseigenschaft des Plasmas, was eine Ansammlung von Elektronen ist. Im perfekten Modell der Plasmen gibt es keine Kollisionen und keine Reibung, die normalerweise die Stabilität bewirken. Doch wenn das Gleichgewicht eines Plasmas leicht gestört wird, werden Sie feststellen, dass die resultierende elektrische Abschirmung sofort verschwindet oder gedämpft wird, als ob eine geheimnisvolle Reibungskraft im Spiel wäre. Dieser paradoxe Effekt, genannt die Landau-Dämpfung, ist einer der wichtigsten in der Plasmaphysik.
one of the most striking nights. At that time, I was staying at the Institute for Advanced Studies in Princeton -- for many years, the home of Albert Einstein and arguably the most holy place for mathematical research in the world. And that night I was working and working on an elusive proof, which was incomplete. It was all about understanding the paradoxical stability property of plasmas, which are a crowd of electrons. In the perfect world of plasma, there are no collisions and no friction to provide the stability like we are used to. But still, if you slightly perturb a plasma equilibrium, you will find that the resulting electric field spontaneously vanishes, or damps out, as if by some mysterious friction force. This paradoxical effect, called the Landau damping, is one of the most important in plasma physics,
Und er wurde mithilfe mathematischer Ideen entdeckt. Doch ein vollständiges mathematisches Verständnis dieses Phänomens fehlte und zusammen mit meinem früheren Schüler und Hauptmitarbeiter Clément Mouhot, damals in Paris, hatte ich monatelang auf einen solchen Beweis hingearbeitet. Irrtümlicherweise hatte ich bereits angekündigt, dass wir es lösen können. Aber die Wahrheit ist, dass der Beweis nicht funktionierte. Trotz mehr als 100 Seiten komplizierter, mathematischer Argumente und einer Reihe von Entdeckungen und riesigen Rechnungen funktionierte es nicht. In dieser Nacht in Princeton machte mich eine bestimmte Lücke in der Argumentationskette verrückt. Ich bot all meine Energie, Erfahrung und Tricks auf, aber es funktioniert trotzdem nicht. 1.00 Uhr, 2.00 Uhr, 3.00 Uhr morgens. Nichts funktionierte. Um 4.00 Uhr ging ich niedergeschlagen schlafen. Dann ein Paar Stunden später stand ich auf und bemerkte: „Ah, es ist Zeit, die Kinder zur Schule zu bringen.“ Was ist das? Da war diese Stimme in meinem Kopf, ich schwöre es. „Nimm den zweiten Term auf die andere Seite, Fourier-Transformation und invertiere in L2.“ (Lachen) Verdammt. Das war der Anfang der Lösung!
and it was discovered through mathematical ideas. But still, a full mathematical understanding of this phenomenon was missing. And together with my former student and main collaborator Clément Mouhot, in Paris at the time, we had been working for months and months on such a proof. Actually, I had already announced by mistake that we could solve it. But the truth is, the proof was just not working. In spite of more than 100 pages of complicated, mathematical arguments, and a bunch discoveries, and huge calculation, it was not working. And that night in Princeton, a certain gap in the chain of arguments was driving me crazy. I was putting in there all my energy and experience and tricks, and still nothing was working. 1 a.m., 2 a.m., 3 a.m., not working. Around 4 a.m., I go to bed in low spirits. Then a few hours later, waking up and go, "Ah, it's time to get the kids to school --" What is this? There was this voice in my head, I swear. "Take the second term to the other side, Fourier transform and invert in L2." (Laughter) Damn it, that was the start of the solution!
Sehen Sie, ich dachte,
You see,
dass ich mich etwas ausgeruht hatte, aber eigentlich hatte mein Gehirn weitergearbeitet.
I thought I had taken some rest, but really my brain had continued to work on it.
In diesen Momenten denkt man nicht an seine Karriere oder an seine Kollegen, es ist nur ein totaler Kampf zwischen dem Problem und dir. Übrigens schadet es nie, wenn Sie eine Belohnung für Ihre harte Arbeit erhalten. Nach dem Abschluss unserer gewaltigen Analyse der Landau-Dämpfung
In those moments, you don't think of your career or your colleagues, it's just a complete battle between the problem and you. That being said, it does not harm when you do get a promotion in reward for your hard work. And after we completed our huge analysis of the Landau damping,
hatte ich das Glück, die höchst begehrte Fields-Medaille aus den Händen der Präsidentin von Indien am 19. August 2010 in Hyderabad entgegenzunehmen. Eine Ehre, von der Mathematiker nicht einmal zu träumen wagen. Ein Tag, an den ich mich mein ganzes Leben lang erinnern werde. Was denkt man bei einer solchen Gelegenheit? Stolz, ja?
I was lucky enough to get the most coveted Fields Medal from the hands of the President of India, in Hyderabad on 19 August, 2010 -- an honor that mathematicians never dare to dream, a day that I will remember until I live. What do you think, on such an occasion? Pride, yes?
Und Dankbarkeit an die Hauptmitarbeiter, die dies ermöglichten? Und weil es ein kollektives Abenteuer war, muss man es teilen -- nicht nur mit den Mitarbeitern. Ich glaube, dass jeder den Nervenkitzel der mathematischen Forschung schätzen lernen kann, und die leidenschaftlichen Geschichten von Menschen und Ideen dahinter teilen kann. Ich arbeitete mit meinen Mitarbeitern am „Institut Henri Poincaré“ dafür, gemeinsam mit Partnern und Künstlern der mathematischen Kommunikation weltweit, dass wir unser eigenes, ganz besonderes Museum der Mathematik gründen können. In ein paar Jahren, wenn Sie nach Paris kommen, und Sie den Geschmack von knusprigen Baguettes und Makronen genießen,
And gratitude to the many collaborators who made this possible. And because it was a collective adventure, you need to share it, not just with your collaborators. I believe that everybody can appreciate the thrill of mathematical research, and share the passionate stories of humans and ideas behind it. And I've been working with my staff at Institut Henri Poincaré, together with partners and artists of mathematical communication worldwide, so that we can found our own, very special museum of mathematics there. So in a few years, when you come to Paris, after tasting the great, crispy baguette and macaroon,
kommen Sie uns bitte am „Institut Henri Poincaré“ besuchen und teilen Sie mit uns den mathematischen Traum. Danke. (Applaus)
please come and visit us at Institut Henri Poincaré, and share the mathematical dream with us. Thank you. (Applause)