Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Большое спасибо. Прошу прощения за то, что я сижу. Я очень старый человек. (Смех) Моя сегодняшняя тема в определённом смысле весьма особенная, потому что она очень древняя. Изломы – неотъемлемая часть человеческой жизни, они есть всегда. Об этом писали древние. Эта вещь по большей части нам неподконтрольна. И в каком-то смысле они кажутся крайней степенью усложнения – просто сплошной беспорядок. Есть много видов беспорядка. Так вот, по чистой случайности много лет назад я стал заниматься этой формой усложнения, и, к моему полному удивлению, я нашёл признаки, и, должен сказать, весьма чёткие признаки порядка в изломах. А потому сегодня я хотел бы представить вам несколько примеров того, что это значит. Я предпочитаю слово «изломанность» слову «неровность» потому, что для того, кто изучал латынь, как и я в своей далёкой молодости, неровность – это противоположность ровности. Но ведь это не так. Ровность есть противоположное к изломанности, потому что мир по большей части предстаёт нам как полный изломов.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Позвольте показать вам пару объектов. Некоторые их них созданы искусственно. Прочие – весьма реальны, в определённом смысле. Вот это – реальная вещь. Это – цветная капуста. Отчего я показываю вам цветную капусту, это обыденное и древнее растение? Оттого, что, несмотря на свою обыденность и древность, оно сложное и простое. оно сложное и простое. К примеру, взвесить его не представляет труда. Вес имеет значение, если мы собираемся есть её. Но предположим, что мы собираемся измерить её поверхность. Это становится интересным. Вырезав острым ножом один из цветочков цветной капусты, и приглядевшись, нам видится цветная капуста целиком, только меньшего размера. Тогда можно вырезать снова, и снова, и снова, и снова, и снова… И получаются всё более маленькие образцы цветной капусты. Человеческий опыт показал что есть формы с таким интересным свойством, что каждая часть подобна целому, но меньшего размера. И что же человек извлёк из этого факта? Очень мало (Смех)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
В связи с изучением этой проблемы я обнаружил нечто совершенно удивительное: изломанность можно измерить числом, скажем, 2,3 или 1,2, а иногда и намного большим. Однажды, один мой друг принёс фотографию и, полушутя, спросил: «Каков излом у этой кривой?» Я сказал: «Чуть меньше, чем полтора» Как оказалось, он был равен 1,48. Это не заняло у меня много времени, поскольку я так долго изучал эти вещи. Числа, о которых идёт речь, означают степень изломанности поверхности. Сразу оговорюсь, что поверхности абсолютно искусственны и создавались на компьютере. Единственным исходным пунктом было число. Это число и есть изломанность. Изломанность слева есть результат копирования с нескольких ландшафтов. Справа – я сам задал более высокую изломанность. Если приглядеться, то спустя некоторое время можно распознать различия в этих двух случаях невооружённым глазом.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Человеку пришлось освоиться с понятием изломанности. Вот это очень изломано, а вот это, можно сказать, гладко, а вот это совершенно гладко. Немного вещей можно назвать очень гладкими. Зададимся теперь вопросом: какова поверхность цветной капусты? Можно её измерять и измерять и измерять… Чем точнее замер, тем больше поверхность, и так далее, вплоть до очень малых расстояний. Какова длина береговой линии у этих озёр? Чем точнее будет замер, тем длиннее получится. Понятие длины береговой линии, кажущееся столь очевидным оттого, что оно часто приводится, на самом деле абсолютно ошибочно: такой вещи просто нет. Тут должен быть другой подход.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
И в чём польза от этого знания? Как ни удивительно, пользы немало. Начнём с того, что искусственные ландшафты, которые я, скажем так, изобрёл, постоянно используются в кинематографе. Нам видятся горы на расстоянии. Это могут быть горы, но это вполне могут быть просто идущие потоком формулы. Этого очень легко добиться. Раньше это требовало много времени, но сейчас это – сущий пустяк. Взгляните сюда. Это – настоящее лёгкое. Лёгкое – очень странный объект. Нам всем прекрасно известно, что оно имеет какой-то вес. Известно также, что объём лёгкого весьма мал. А как насчёт площади лёгкого? Анатомы долго вели по этому поводу дискуссии. Считается, что у нормального мужчины площадь лёгкого равна площади одного баскетбольного мяча. Другие утверждают, что нет, пяти таких мячей. Расхождения колоссальны. Почему? Потому, что площадь лёгкого – весьма нечётко определённое понятие. Бронхи разветвляются и разветвляются всё глубже. А перестают они разветвляются не ввиду какого-то принципа, а из-за чисто физических условий, из-за слизи внутри лёгкого. Так образуется намного большее лёгкое: бронхи разветвляются всё глубже, пока просвет между ними примерно одинаковым и для кита, и для человека, и для небольшого грызуна.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Так в чём же от этого польза? Удивительно и даже поразительно, но анатомы плохо себе представляли структуру лёгкого вплоть до недавнего времени. Думаю, мои математические исследования, как ни удивительно, оказали большую помощь хирургам, занятым изучением лёгочных заболеваний, а также болезней печени, где имеются подобные ответвляющиеся системы с отсутствием понятной геометрии. Иными словами, мне пришлось создавать геометрию того, что не имеет своей геометрии. Обнаружилось удивительное качество: очень часто правила этой геометрии являются чрезвычайно краткими. Начинаешь с недлинных формул, применяешь их несколько раз, иногда повторно, снова и снова. Тот же повтор. И в конце концов получается нечто такое.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Это облако полностью искусственное, на 100%. Ну ладно, на 99,9%. Единственный естественный элемент тут – число, изломанность облака – это число взято у природы. Такая сложная вещь, как облако, такая неустойчивая, изменчивая, подчиняется простому правилу. Это простое правило не есть объяснение облачности. Но море облаков должно учитывать это правило. Не знаю, насколько совершенны эти старые фотографии. Я интенсивно занимался этим, но потом моё внимание было направлено на другие явления.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
А вот ещё одна довольная любопытная вещь. Одно из революционных событий в истории математики, недостаточно оцененное многими, произошло примерно 130 лет назад, 145 лет назад. Математики начали создавать несуществующие формы. Среди математиков стало цениться, причём в совершенно невообразимой степени, умение человека создать то, чего в природе никогда не было. В частности, они смогли изобрести кривую, которая заполняет всю плоскость до последней точки. Кривая – это кривая, плоскость – это плоскость, и эти два понятия не стыкуются. Оказалось, что всё-таки стыкуются. Человек по имени Пеано определил такие кривые, и они вызвали исключительный интерес. Они очень важны и вызывают интерес по большей части оттого, что произошло некое разделение математики на ту, что основана на реальности, и ту, что происходит от чистого разума. К сожалению, мне довелось доказать, что то, что стало известно благодаря усилиям чистого разума, на самом деле давно известно в другой форме. Вот тут у меня система ручейков в виде заполняющих плоскость кривых. Само по себе, это – история. Это было в период с 1875 по 1925, удивительное время, когда математика готовилась оторваться от реального мира. Иллюстрацией разрыва, со времен моего детства и моих студенческих лет, разрыва между математикой и видимой реальностью служили определённые объекты. Однако мне удалось их переосмыслить, поставить с ног на голову, и с их помощью описать некоторые аспекты усложнённости природы.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
В 1919-м году человек по имени Хаусдорф определил число, которое можно было считать математической шуткой. Но я обнаружил, что это число – хороший инструмент измерения изломанности. Когда я впервые рассказал об этом моим коллегам, они сказали: «Не занимайся глупостями. Это же нечто… » На самом деле я не занимался глупостями. Великий художник Хокусай прекрасно знал это. В нижней части картины – водоросли. Хокусай не владел нужной математикой: её тогда просто не существовало. Кроме того, будучи японцем, он [в те времена] не имел контактов с Западом. Но художественное искусство с давних времен содержит фрактальные элементы. Об этом я могу говорить долго. Эйфелева башня имеет фрактальные элементы. Я прочитал книгу Эйфеля о его башне – объём его понимания просто потрясающий.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Вот беспорядок внутри беспорядка. Броуновская петля. Однажды я решил, что прошла немалая часть моей профессиональной жизни, и столько разного занимало меня, что я решил, что пора бы испытать себя. Могу ли я исследовать объект, который все уже давно исследуют, и найти в нём что-либо радикально новое? Я стал изучать всё, что входит в категорию Броуновского движения. Пытался подойти с разных сторон, пробовал различные методы, и вернулся к тому, с чего начал. Тогда я предложил своему ассистенту: «Я тут ничего не вижу. Сможешь закрасить?» Он так и сделал, то есть заполнил все внутренности. «У меня получилось…» Но я закричал: «Стоп! Стоп! Стоп! Понял: это – остров.» Удивительно. Броуновское движение имеет изломанность равную двум. Измеряю, получается 1,33. Измеряю заново и заново. Долгие замеры, большие Броуновские движения. Опять: 1,33. Тут же возникает математическая проблема: как это доказать? Моим друзьям для этого понадобилось 20 лет. У троих доказательства были неполные. Они соединили усилия, и вместе им удалось получить доказательство. В результате они удостоились известной [Филдсовской] медали для математиков. В целом, математики получили три медали [Филдса] за доказательство фактов, которые я видел, но не мог доказать.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Сейчас меня всюду спрашивают: «Как это всё началось? Как ваши занятия привели вас к таким необычным вещам?» Что позволило мне быть одновременно инженером-механиком, географом, математиком и т.п.? Как это ни странно, но я начинал с изучения цен на фондовом рынке. У меня возникла теория, и я написал об этом книги. «Движения цен финансовых инструментов» Слева вам видны данные за длительный период, справа же, наверху, – данные согласно очень и очень модной теории. Это крайне просто и об этом можно очень быстро написать массу книг. (Смех) На эту тему есть тысячи книг. Теперь сравните с реальными движениями цен. И где же они? Дополнительные линии включают реальные движения цен, а также небольшую подделку с моей стороны. Основная идея там состояла в том, что надо уметь делать… Как это называется? …моделирование колебаний цен. Это прекрасно срабатывало 50 лет назад. В течение 50 лет к моей идее относились с насмешкой, потому что можно было делать проще. Но сейчас, скажу я вам, ко мне стали прислушиваться. (Смех) Эти две кривые представляют средние значения. Синяя – индекс Standard and Poor’s [S&P 500], а красная – индекс Standard and Poor’s, из которого вычтены 5 крупнейших скачков цен. Скачок, безусловно, портит анализ, и во многих исследованиях он считается [не поддающимся анализу] особым случаем. «Невероятное совпадение, вмешательство Господа. Ну, мелочь, её можно просто отложить в сторону.» Вмешательства Господа на этом графике, а их ровно пять, как оказалось, так же важны, как и всё остальное. Иными словами, вмешательства Господа нельзя откладывать в сторону. Это – существо, это – сам объект анализа. Если разобраться с ними, то можно разобраться и с движениями цен. Но не разобрался со скачками, то можешь анализировать так называемый шум сколько угодно, но этот анализ не будет иметь смысла. Вот эти кривые показывают влияние.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Теперь я перейду к последней теме – множество, названное моим именем. В некотором смысле, это – история моей жизни. Моё отрочество прошло во Франции, оккупированной в те годы Германией. Поскольку я думал о том, что в любой момент меня может не стать у меня были большие мечты. После войны я вновь встретился с дядей. Мой дядя был выдающимся математиком и он сказал: «Вот тебе задача. 25 лет назад я не смог решить её, и никто её не может решить. Это – построение одного математика по имени Гастон Джулиа и другого по имени Пьер Фату. Если сможешь найти тут нечто новое, – всё что угодно, – считай, что твоя карьера обеспечена.» Очень просто. Я стал изучать эту проблему, и, как и тысячи тех, кто до меня это пытался с делать, ничего не добился.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Но затем появились компьютеры. И я решил, что надо применить компьютерные возможности не к новым математическим проблемам – как, например, эта изгибающаяся штукенция: это новая проблема – а к старым проблемам. И я перешёл от так называемых действительных чисел, т.е. от точек на прямой, к комплексным числам, а это – точки на плоскости, то есть то, что и требуется в этой задаче. Получилась вот такая фигура. Эта имеет исключительную сложность. В ней скрыто уравнение: z трансформируется в z ^ 2 + c. Так просто и скучно, так неинтересно. Теперь прокрутим это один раз, два раза.. Два раза достаточно. О чудо! Появляется вот что. Я не собираюсь объяснять здесь эти вещи, но получается вот что и вот что. Фигуры такой сложности, такой гармоничности и такой красоты получаются повторно, снова и снова и снова. Моё главное открытие заключалось в том, что эти острова имеют ту же форму, более или менее, как и вся фигура целиком. Получаются такие потрясающие украшения в стиле барокко. И всё из этой короткой формулы, в которой всего – сколько там? – пять значков. И вот что в результате. Цвет добавлен по двум причинам. Во-первых, оттого что фигуры получаются настолько сложными, что трудно увидеть, какой смысл несут числа. И надо выбрать какую-то систему, чтобы их отразить на плоскости . Потому я взял за принцип всегда представлять фигуры в различных цветах: какой-то цвет означает одно, а другой – другое и т.д. Это так сложно.
(Laughter)
(Смех)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
В 1990-м году я был в Великобритании, в Кембридже, мне там от университета вручали приз. Спустя три дня один лётчик, пролетая над полем, увидел вот это. Откуда бы такая вещь? Ясное дело – от пришельцев. (Смех) Одна из газет в Кембридже опубликовала статью об этом «открытии», и на следующий день получила 5 тысяч писем, в которых говорилось, что это множество Мандельброта, просто очень большое.
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Позвольте завершить. Эта картина получена посредством чистой математики. Простые правила могут породить бездонное чудо, если их повторять без конца.
Thank you very much.
Благодарю вас.
(Applause)
(Аплодисменты)