Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Vă mulțumesc foarte mult. Vă cer scuze fiindcă o să mă așez; sunt foarte bătrân. (Râsete) Ei bine, subiectul despre care voi vorbi este unul care într-un anumit sens este foarte ciudat, fiindcă este foarte vechi. Dezordinea este parte a vieții oamenilor, dintotdeauna. Iar autori antici au scris despre asta. Era foarte incontrolabilă. Și într-un anumit sens, părea a fi extrema complexității, doar o bătaie de cap, o încurcătură și atât. Există numeroase feluri de încurcături. Acum, de fapt, printr-un accident norocos, am fost implicat cu mulți ani în urmă în studiul acestor forme ale complexității. Și spre totala mea uimire, am găsit urme — urme foarte puternice, trebuie să spun — de ordine în această dezordine. Și deci astăzi aș dori să vă prezint câteva exemple despre ceea ce înseamnă acest lucru. Prefer cuvântul „dezordine” cuvântului „neregularitate” pentru că neregularitatea — pentru cineva care a studiat latina ca mine în tinerețe — este contrarul regularității. Nu e chiar așa. Regularitatea este contrarul dezordinii pentru că aspectul de bază al lumii este foarte dezordonat.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Să vă arăt câteva obiecte. Unele din ele sunt artificiale. Altele sunt foarte reale, într-un anume sens. Acesta e real. Este o conopidă. De ce vă arăt o conopidă, o legumă foarte comună și veche? Pentru că oricât de veche și comună ar fi, este foarte complicată și foarte simplă, ambele în același timp. Dacă încercați s-o cântăriți, vă va fi foarte ușor. Și când o mâncați, greutatea contează. Dar dacă ați încerca să îi măsurați suprafața? Ei bine, e foarte interesant. Dacă tăiați cu un cuțit ascuțit una din inflorescențele unei conopide și o examinați separat, veți vedea o altă conopidă, dar mai mică. Dacă tăiați iar, și iar, și iar, și iar, și iar. Veți obține tot mici conopide. Experiența omenirii a fost întotdeauna că există unele forme care au proprietatea asta ciudată, adică fiecare parte este ca întregul, dar mai mică. Ce a făcut omenirea cu informația asta? Foarte, foarte puțin. (Râsete)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Eu am studiat această problemă, gâsind ceva destul de surprinzător. Faptul că poți măsura dezordinea printr-un număr, un număr: 2,3 sau 1,2 — câteodată mult mai mult. Într-o zi, un prieten de-al meu, pentru a mă ațâța, a adus o fotografie și mi-a zis: „Cât este dezordinea acestei curbe?” I-am zis: „Aproape 1,5.” Era 1,48. Mi-a luat doar o secundă. Mă uitasem la lucrurile astea atât de mult... Aceste numere sunt numerele care denotă dezordinea acestor suprafețe. Mă grăbesc să spun că aceste suprafețe sunt complet artificiale. Au fost generate pe calculator. Și singura dată de intrare este un număr. Acel număr reprezintă dezordinea. În stânga, am luat gradul de dezordine copiat din multe peisaje. În dreapta, am luat un grad mai mare de dezordine. Ochiul, după un timp, poate distinge între cele două foarte bine.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Umanitatea a trebuit să învețe să măsoare dezordinea. Asta este foarte dezordonată, asta e mai netedă, asta e perfect netedă. Foarte puține lucruri sunt foarte netede. Dacă apoi încerci să pui întrebări: care este suprafața unei conopide? Ei bine, măsori și măsori și măsori. De fiecare dată când te apropii se mărește, până la distanțe foarte, foarte mici. Care este lungimea malurilor acestor lacuri? Cu cât măsori mai atent, cu atât e mai lungă. Conceptul „lungimea malurilor”, care pare a fi atât de natural pentru că este dat în multe cazuri, este, de fapt, o aberație; nu există așa ceva. Trebuie să măsori altfel.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
La ce e bun să știi lucrurile astea? Destul de surprinzător, este bine în multe feluri. Pentru început, peisaje artificiale, pe care eu le-am inventat, oarecum, sunt folosite în cinematografie tot timpul. Vedem munți în depărtare. Pot fi munți sau doar formule aruncate acolo. E foarte ușor să faci asta. Pe vremuri dura foarte mult, dar acum e o nimica toată. Priviți — acesta e un plămân adevărat. Plămânul este foarte ciudat. Dacă luați bucata asta, știi foarte bine că are greutate foarte mică. Volumul plămânului e foarte mic. Dar suprafața plămânului? Anatomiștii s-au contrazis mult timp despre asta. Unii zic că un plămân normal bărbătesc are suprafața interiorului unei mingi [teren] de baschet. Alții zic că nu, cinci mingi [terenuri] de baschet. Neînțelegeri enorme. De ce? Pentru că, de fapt, suprafața plămânului e ceva foarte prost definit. Bronhiile au ramificații cu ramuri în ramuri în ramuri. Și se opresc din ramificații, nu datorită unui principiu, ci din considerente fizice: mucusul, care se află în plămâni. În acest fel, ai un plămân mult mai mare, dar dacă se ramifică o face până la distanțe aproape la fel pentru o balenă, pentru un om și pentru un mic rozător.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
La ce bun este să ai așa ceva? Ei bine, suprinzător, uimitor, anatomiștii aveau o idee foarte slabă despre structura plămânului până foarte de curând. Și cred că matematica mea, surprinzător, a fost de mare ajutor chirurgilor care studiază boli pulmonare și chiar boli renale, toate sistemele acestea cu ramuri, pentru care nu există geometrie. M-am regăsit, cu alte cuvinte, construind o geometrie, o geometrie a lucrurilor care nu au geometrie. Un aspect surprinzător este că foarte des, regulile geometriei sunt extrem de scurte. Ai formule atât de mici. Și le aplici de câteva ori. De obicei repetat, iar și iar. Aceeași repetiție. Și la sfârșit ai lucruri ca asta.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Acest nor este complet, 100% artificial. Mă rog, 99,9%. Singura parte naturală este numărul, dezordinea norului, care e luată din natură. Ceva atât de complicat ca un nor, așa instabil, variabil, ar trebui să aibă o regulă foarte simplă în spate. Regula asta simplă nu este o explicație a norilor. Observatorul de nori a trebuit să ia notă de acest lucru. Nu știu cât de avansate sunt pozele astea, sunt vechi. M-am implicat foarte mult în asta, dar apoi mi-am întors atenția către alte fenomene.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Iată un alt lucru destul de interesant. Unul din evenimentele nimicitoare ale istoriei matematicii, care nu este apreciat de mulți oameni, s-a întâmplat acum 130, 145 de ani. Matematicienii au început să creeze forme care nu existau. Matematicienii se lăudau singuri într-un mod fenomenal, fiindcă omul poate inventa lucruri de care natura n-are habar. În particular, putea inventa o curbă care umple un plan. O curbă e o curbă, un plan e un plan, cele două nu se amestecă. Ei bine, se amestecă. Un om pe nume Peano a definit astfel de curbe, și au devenit obiectul unui interes extraordinar. A fost foarte important, dar mai degrabă pentru că a creat o ruptură, o separație dintre matematica venită din realitate pe de o parte și noua matematică venită doar din mintea omului. Ei bine, mi-a părut foarte rău să arăt că mintea omului a reușit, de fapt, să vadă în cele din urmă ce se vedea de multă vreme. Astfel am introdus ceva, setul ramurilor unei curbe care umple un plan. Și... ei bine, și asta are o poveste. Între 1875 și 1925 a fost o perioadă extraordinară în care matematica s-a pregătit să iasă din lumea noastră. Și obiectele folosite ca exemple când eram eu copil și student, pentru a evidenția ruptura dintre matematică și realitatea vizibilă — pe aceste obiecte le-am schimbat complet înțelesul. Le-am folosit pentru a descrie unele aspecte ale complexității naturii.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Un om pe nume Hausdorff, în 1919 a introdus un număr care era doar o glumă matematică. Și am găsit că acest număr este o măsură bună pentru dezordine. Când am expus prima dată ideea prietenilor matematicieni mi-au zis „Nu fii stupid. E ceva absurd.” Ei, de fapt, nu era așa. Marele pictor Hokusai știa asta foarte bine. Lucrurile de pe pământ sunt alge. El nu știa matematică, încă nu exista. Și era japonez, fără contact cu Vestul. Dar pictura pentru o bună perioadă avea o parte fractală. Aș putea vorbi despre asta mult timp. Turnul Eiffel are un aspect fractal. Am citit cartea pe care a scris-o dl. Eiffel despre turnul său. Și într-adevăr e uimitor cât de mult a înțeles.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Asta e o harababură, o buclă Browniană. Într-o zi m-am decis ca la jumătatea carierei mele, fiindcă eram constrâns de așa multe lucruri la muncă, am decis să mă testez. Puteam oare să mă uit la ceva pe care toată lumea îl privise multă vreme și să găsesc ceva hotărâtor de nou? Ei bine, m-am uitat la aceste lucruri numite mișcări Browniene — se mișcă aleator. M-am jucat cu asta o vreme, și am făcut-o să se întoarcă la origine. Apoi îi spuneam asistenului: „Nu văd nimic. Poți s-o pictezi?” Și o picta, ceea ce înseamnă că descria întreaga mișcare. El spunea: „Uite ce-a ieșit...” și eu ziceam ”Stop! Stop! Stop! Acum văd: e o insulă.” Și eram uimit. Deci mișcarea Browniană, care se întâmplă să aibă un indice de dezordine de 2, se învârte. Am măsurat-o: 1,33. Iar și iar și iar. Măsurători lungi, mișcări Browniene mari, 1,33. Problemă matematică: cum să dovedesc asta? Le-a luat prietenilor mei 20 de ani. Trei din ei aveau dovezi incomplete. S-au adunat, și împreună au avut dovada. Deci au primit marea medalie [Fields] de matematică, una din cele trei medalii pe care le-au primit oamenii pentru că au dovedit lucruri pe care eu le-am văzut fără să le pot dovedi.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Acum toată lumea mă întreabă la un moment dat: „Cum a început totul? Ce te-a adus în acest domeniu ciudat?” Ce m-a condus să fiu în același timp, inginer mecanic, geograf matematician și fizician, și așa mai departe? Ei bine, a început, destul de dubios, studiind prețurile bursei de valori. Aici aveam această teorie, și am scris cărți despre asta: „Incrementele prețurilor în finanțe”. În stânga vedeți datele de pe o perioadă lungă. La dreapta, sus, vedeți o teorie care e foarte, foarte la modă. A fost foarte ușoară, și poți scrie multe cărți foarte repede despre asta. (Râsete) Sunt mii de cărți despre asta. Compară asta cu incrementele pieței reale: unde sunt acestea? Celelalte linii includ niște incremente reale și niște falsuri făcute de mine. Așadar ideea era că trebuie să poți să — cum se zice? — să modelezi variația prețurilor. Și a mers foarte bine acum 50 de ani. Pentru 50 de ani oamenii mă luau peste picior, pentru că puteau să facă asta mult, mult mai ușor. Dar vă spun, din acest punct, oamenii au început să mă asculte. (Râsete) Aceste două curbe sunt medii. Standard & Poor, cea albastră. Iar cea roșie este al Standard & Poor, dar cu cele mai mari cinci discontinuități scoase. Discontinuitățile sunt o pacoste. În multe studii de prețuri, se pun deoparte. „Acte divine.” Și rămâi cu aceste lucruri neînsemnate. Actele divine din această imagine, cele cinci acte divine sunt la fel de importante ca orice altceva. Cu alte cuvinte, nu actele divine trebuiesc puse deoparte. Asta e esența problemei. Dacă la stăpânești pe astea, stăpânești prețul. Și dacă nu le stăpânești pe astea, poți stăpâni zgomotul mic cât de bine poți, dar e irelevant. Iată curbele pentru ele.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Ajung la ultimul subiect, adică setul de care e atașat numele meu. Într-un fel e povestea vieții mele. Mi-am petrecut adolescența în timpul ocupației germane a Franței. Și de atunci m-am gândit că aș putea să dispar într-o zi sau într-o săptămână, dar aveam vise foarte mari. Și după război, mi-am revăzut un unchi. Unchiul meu era un matematician foarte proeminent și mi-a zis „Uite, e o problemă pe care n-am putut s-o rezolv acum 25 de ani, și pe care n-a rezolvat-o nimeni. Asta e o construcție a unui anume Gaston Julia și unui Pierre Fatou. Dacă ai putea să găsești ceva nou, orice, vei avea o carieră împlinită.” Foarte simplu. Așa că m-am uitat și ca miile de oameni care încercaseră înainte, n-am găsit nimic.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Dar apoi a venit calculatorul. Și am decis să aplic puterea lui nu problemelor noi din matematică — ca acest nimic, asta e o problemă nouă — ci problemelor vechi. Și am trecut de la ce se numea numere reale, care sunt puncte pe linie, la numele imaginare, complexe, care sunt puncte în plan, fiindcă așa se cerea aici. Și a ieșit această formă. Este de o complexitate extraordinară. Ecuația ascunsă aici, z egal cu z pătrat plus c. E așa simplă, așa aridă. Așa neinteresantă. Dacă întorci manivela o dată, de două ori, ies minuni. Adică iese asta. Nu vreau să explic lucrurile astea. Iese asta. Sau asta. Forme de complexitate așa mare, de armonie și frumusețe. Iese asta repetat, iar și iar. Și asta a fost una din marile mele descoperiri, să găsesc că aceste insule erau la fel ca întregul, mai mult sau mai puțin. Și apoi obții aceste decorații baroce extraordinare peste tot. Totul din această mică formulă, care are — câte? — cinci simboluri în ea? Și apoi asta. Culoarea a fost adăugată din două motive. În primul rând, pentru că formele sunt atât de complicate, încât nu se puteau distinge numerele. Dacă le desenezi, trebuie să alegi un sistem. Principiul meu a fost să prezint întotdeauna formele cu culori diferite, pentru că unele culori evidențiază asta, și altele asta sau altceva. E atât de complicat.
(Laughter)
(Râsete)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
În 1990, eram în Cambridge, Anglia pentru a primi un premiu al universității. Trei zile mai târziu, un pilot a zburat peste peisaj și a găsit asta. De unde-a venit asta? Evident, de la extratereștri. (Râsete) Așadar, ziarul din Cambridge a publicat un articol despre „descoperire” și a primit a doua zi 5000 de scrisori de la oameni care spuneau: „Ăsta e doar un set Mandelbrot foarte mare.”
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Ei bine, să termin. Această formă a reieșit dintr-un exercițiu de matematică pură. Minuni fără margini izvorăsc din reguli simple, repetate la nesfârșit.
Thank you very much.
Mulțumesc foarte mult.
(Applause)
(Aplauze)