Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Muito obrigado a todos. Por favor me desculpem por sentar. Eu estou muito velho. (Risos) Bem, o tópico que vou discutir é um que de certo modo é muito peculiar porque é muito antigo. Irregularidade é parte da vida humana para sempre e sempre. E autores antigos escreveram sobre isso. Era muito incontrolável. E de certo modo, parecia ser de extrema complexidade, uma verdadeira bagunça, uma desordem. Há muitos tipos diferentes de bagunça. Agora, de fato, por uma completa casualidade, fiquei envolvido muitos anos atrás num estudo desta forma de complexidade. E para minha surpresa, encontrei vestígios -- vestígios muito fortes, devo dizer -- de ordem nestas rugosidades. E então hoje, gostaria de apresentá-los uns poucos exemplos do que eles representam. Eu prefiro a palavra rugosidade à palavra irregularidade porque irregularidade -- para alguém que tem latim no meu longínquo passado jovem -- significa o contrário de regularidade. Mas não é só. Regularidade é o contrário de rugosidade porque o aspecto básico do mundo é muito áspero.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Então deixe me mostrar-lhes alguns objetos. Alguns deles artificiais. Outros são muito reais, de certo modo. Este é um real. É uma couve flor. Agora, por que mostro uma couve flor, um vegetal muito comum e antigo? Porque velho e antigo como ele é, é bastante complicado e muito simples ao mesmo tempo. Se tentar pesá-lo, é claro que é muito simples pesá-lo. E quando você o come, o peso interessa. Mas suponha que você tente medir sua superfície. Bem, é muito interessante. Se cortá-lo, com uma faca afiada, um dos floretes de uma couve flor e olhá-la separadamente, você percebe uma outra couve flor, só que menor. E então corta-a novamente, de novo, de novo, de novo, de novo. E ainda vai ter pequenas couve flores. Então a experiência da humanidade tem sempre sido que há algumas formas que tem esta propriedade peculiar, que cada parte é como o todo, porém menor. Agora, o que a humanidade faz com isso? Muito, muito pouco. (Risos)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Então o que tenho feito é estudar este problema, e encontrei algo muito surpreendente. Que alguém pode medir a rugosidade por número, um número, 2.3, 1.2 e às vezes muito mais. Um dia, um amigo meu, para me sacanear, trouxe uma foto, e disse, 'Qual é a irregularidade desta curva?' Eu disse, "Bem, é quase 1.5." Era 1.48. Agora, não levou tempo algum. Tenho observado estas coisas há tanto tempo. Portanto esses números são os números que denotam a rugosidade destas superfícies. Apresso-me a dizer que estas superfícies são completamente artificiais. Elas foram feitas num computador. E a entrada é apenas um número. E esse número é rugosidade. Então à esquerda, peguei a rugosidade copiada de muitas paisagens. À direita, peguei uma rugosidade maior. Portanto o olho, depois de um momento, pode distinguir essas duas muito bem.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
A humanidade tem que aprender sobre como medir a rugosidade. Isto é muito rugoso, e isto é um pouco liso, e isto é perfeitamente liso. Muito poucas coisas são muito lisas. Então se você tentar perguntar: qual é a superfície de uma couve flor? Bem, você mede e mede e mede. Cada vez que você se aproxima, se torna maior, abaixo de muita, e menores distâncias. Qual é o comprimento da costa destes lagos? Quanto mais próximo você mede, maior ela se torna. O conceito de comprimento da costa, que parece ser tão natural porque é dado em muitos casos, é, de fato, uma completa falácia; não existe isso. Você deve fazer diferentemente.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Que benefício há, em saber estas coisas? Bem, surpreendentemente, é bom de muitas formas. Para começar, paisagens artificiais, algumas que eu mesmo inventei, são usadas no cinema todo o tempo. Vemos montanhas a distânia. Podem ser montanhas, mas podem ser somente fórmulas, somente dobradas. Agora é muito fácil fazer. Costumava tomar muito tempo, mas agora não é nada. Agora olhe para isso. É um pulmão verdadeiro. Um pulmão é algo muito estranho. Se pegar isto, sabe que pesa muito pouco. O volume de um pulmão é muito pequeno. Mas e sobre a área do pulmão? Anatomistas argumentavam muito sobre isso. Alguns disseram que um pulmão masculino tem a área interna de uma bola de basquete. E outros dizem, não, cinco bolas de basquete. Divergências enormes. Por que então? Porque, de fato, a área do pulmão é algo muito mal definido. Os brônquios ramificam, ramificam. E eles param de ramificar, não por questão de princípio, mas por causa de considerações físicas, o muco, que está no pulmão. Então o que acontece é que de algum modo você tem um pulmão maior, mas se ele ramifica e ramifica, até distâncias quase como para uma baleia, para um homem e para um pequeno roedor.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Agora, que benefício há em ter isso? Por que surpreendentemente, espantosamente, os anatomistas tiveram pouca idéia da estrutura do pulmão até muito rencentemente. E acho que a minha matemática, surpreendentemente, foi de grande ajuda para os cirurgiões estudanto doenças pulmonares e também doenças renais, todos estes sistemas de ramificações, para os quais não havia geometria. Então me acho, em outras palavras, constuindo uma geometria, uma geometria de coisas que não tinham geometria. E um aspecto surpreendente disso é que frequentemente, as regras desta geometria são muito curtas. Você tem fórmulas grandes. E você oscila várias vezes. Algumas vezes repetidamente, de novo, e de novo. A mesma repetição. E no final você tem as coisas deste jeito.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Esta nuvem é completamente, 100 por cento artificial. Bem, 99.9. E a única parte que é natural é um número, a rugosidade da nuvem, que foi tirada da natureza. Algo tão complicado como uma nuvem, tão instável, tão variável, deveria ter uma regra simples por trás. Agora esta regra simples não é uma explicação das nuvens. O mar de nuvens teria que tomar conta disso. Não sei quão avançadas estas fotos são, elas são muito antigas. Eu estava muito envolvido nisso, mas então foquei minha atenção a outro fenômeno.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Agora, aqui há outra coisa que é ainda mais interessante. Um dos eventos de ruptura na história da matemática, que não é conhecido por muitas pessoas, ocorreu há cerca de 130 anos, 145 anos atrás. Matemáticos começaram a criar formas que não existiam. Matemáticos se auto elogiaram de uma forma que foi absolutamente surpreendente que o homem pode inventar coisas que a natureza não conhecia. Em particular, podia inventar coisas como uma curva que preenche o plano. Uma curva é uma curva, um plano é um plano, e os dois não se misturarão. Bem, eles se misturam. Um homem chamado Peano definiu estas curvas, e se tornou um objeto de interesse extraordinário, Foi muito importante, mas principalmente interessante por causa um tipo de quebra, uma separação entre os matemáticos vindo de uma realidade de um lado e novos matemátios vindo de uma mente puramente humana. Bem, estou muito triste de dizer isso que a mente puramente humana tem, de fato, visto por uma longa duração o que tem sido visto por longo tempo. E aqui eu introduzo alguma coisa, o conjunto de rios de uma curva enchendo um plano. E bem, é uma estória em si mesmo. Então era de 1875 a 1925, um período extraordinário em que matemáticos se prepararam para se separar do mundo. E os objetos que eram usados como exemplos, quando eu era uma criança e um estudante, um exemplo da separação entre os matemáticos e a realidade visível -- aqueles objetos, Eu os virei completemente ao redor. Eu os usava para descrever alguns dos aspectos da complexidade da natureza.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Bem, um homem chamadao Hausdorff em 1919 introduziu um número que era só uma brincadeira matemática. E eu achei que este número era uma boa medida de rugosidade. Logo que eu falei aos meus amigos matemáticos eles disseram, 'Não seja idiota. Isso é qualquer coisa.' Na verdade, eu não estava enganado. O pintor Hokusai sabia bem disso. As coisas no chão são algas. Ele não sabia matemática; ela ainda não existia. E ele era um japonês que não teve contato com o ocidente. Mas pintando por muito tempo, tinha um lado fractal. Eu poderia falar sobre isso por um longo tempo. A Torre Eiffel tem um aspecto fractal. E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre sua torre. E realmente é impressionante como ele entendia.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Esta é uma bagunça, confusão, bagunça, loop browniano. Um dia decidi que no meio da minha carreira, eu estava com tantas coisas no meu trabalho, decidi me testar. Poderia eu olhar para alguma coisa que todos tivessem olhado por um longo tempo e encontrar alguma coisa dramaticamente nova? Bem, então olhei para estas coisas chamadas movimentos Brownianos -- apenas giram em torno. Brinquei com isso por um tempo, e fiz retornar a sua origem. Então disse ao meu assistente, "Não vi nada. Pode pintá-lo?" Então ele pintou, o que significa ele pôs tudo dentro sozinho. E disse: "Bem, esta coisa saiu.." eu disse, "Pare! Pare! Pare! eu vejo, é uma ilha." E maravilhosa. Então movimento Browniano, que costuma ter uma rugosidade de número dois, está próximo. E a medi, 1.33. Novamente, novamente, novamente. Grandes medições, grandes movimentos Brownianos, 1.33. Problema matemático: como prová-lo? Meus amigos levaram 20 anos. Três deles tiveram provas incompletas. Eles conseguiram juntos, e juntos tiveram que provar. Então eles tiveram a grande [medalha Fields] em matemática, uma das três medalhas que as pessoas receberam por provar coisas que eu vi sem serem capazes de provar.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Agora todos me perguntam de uma forma ou de outra, "Como tudo começou? O que te levou a esse negócio estranho?" O que me levou a ser, ao mesmo tempo, um engenheiro mecânico, um geógrafo e um matemático e por aí vai, um físico? Bem, na verdade eu comecei, estranhamente, estudando preços de mercado. E então aqui tinha esta teoria, eu escrevi livros sobre isso, Incrementos de preços financeiros. À esquerda você vê dados de um longo período. À direita, acima, você vê uma teoria que é muito, muito moderna. Era muito fácil, e você pode escrever muitos livros rapidamente sobre isso. (Risos) Há milhares de livros sobre isso. Agora compare aquilo com incrementos de preços reais. e onde estão os incrementos de preços reais? Bem, estas outras linhas incluem alguns incrementos de preços reais e algumas falsificações que eu fiz. Então a idéia lá era que alguém deve ser capaz de -- como diria? -- fazer um modelo de variação de preço. E foi muito bem 50 anos atrás. Por 50 anos pessoas me glorificaram poque podiam fazê-lo muito, muito mais fácil. Mas eu digo, neste ponto, as pessoas me ouviam. (Risos) Estas duas curvas são médias. Standard & Poor, o azul. E a vermelha é da Standard & Poor, das quais as cinco maiores descontinuidades são retiradas. Agora descontinuidades são um transtorno. Então em muitos estudos de preços, alguém as colocou de lado. "Bem, atos de Deus. E você tem um pouco da besteira que resta. Atos de Deus." Nesta foto cinco atos de Deus são tão importantes quanto qualquer coisa. Em outras palavras, não são atos de Deus que poderiamos colocar de lado. Esta é a carne, o problema. Se dominar isto, domina o preço. E se não dominar isto, você pode dominar o barulho, assim como pode, mas não é importante. Bem, aqui estão as curvas para isto.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Agora, chego ao final, que é a série na qual meu nome está ligado. De certo modo é a história da minha vida. Minha adolescência aconteceu durante a ocupação Alemã na França. E desde que pensei que poderia desaparecer em um dia ou uma semana, eu tive muitos sonhos. E depois da guerra, vi um tio novamente. Meu tio era um matemático muito proeminente e me disse, "Olhe, há um problema que eu não podia resolver há 25 anos atrás, e que ninguém podia resolver. Esta é uma construção de um homem chamado (Gaston) Julia e (Pierre) Fatou. Se puder encontrar algo novo, qualquer coisa, você tem sua carreira feita.' Muito simples. Então olhei, e como milhares de pessoas que tentaram antes, não encontrei nada.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Mas aí veio o computador. E decidi aplicar o computador, não em novos problemas de matemática -- como um maluco, este é um novo problema -- mas a problemas antigos. E fui para os chamados números reais, que são pontos em uma linha, para imaginários, números complexos, que são pontos em um plano, que é o que alguém deveria fazer. E esta forma apareeu. Esta forma é de uma complexidade extraordinária. A equação está escondida lá, z é z ao quadrado, mais c. É tão simples, tão seco. Tão desinteressante. Aí você gira a manivela uma, duas vezes, duas vezes, a maravilha aparece. Quero dizer isto aparece. Não quero explicar estas coisas. Isto aparece. Isto aparece. Formas que são de tal complexidade, tal harmonia e tal beleza. Isto aparece repetidamente, de novo, de novo, de novo. E esta foi uma das minhas maiores descobertas que estas ilhas eram as mesmas que o todo, mais ou menos. E aí você tem estas decorações extraordinariamente barrocas por todo o lugar. Todas desta pequena fórmula, que tem somente, cinco símbolos. E então este. A cor foi colocada por duas razões. Primeiro de tudo, por causa das formas serem tão complicadas, para o caso de não poderem entender os números. E se marcá-las, deve escolher algum sistema. E então meu princípio tem sido sempre apresentar as formas com cores diferentes, porque algumas cores enfatizam isto, e outras isto ou aquilo. É tão complicado.
(Laughter)
(Risos)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Em 1990, eu estava em Cambridge, Reino Unido. para receber um prêmio da universidade. E três dias depois, um piloto estava voando sobre uma paisagem e encontrou isso. Então de onde veio isso? Óbviamente, de extraterrestres. (Risos) Bem, então o jornal de Cambridge publicou um artigo sobre aquela "descoberta" e recebeu no outro dia 5.000 cartas de pessoas dizendo, 'Mas é simplesmente uma forma de Mandelbrot muito grande.'
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Bem, deixe-me terminar. Esta forma só apareceu de um exercício puramente matemático. Maravilhas surpreendentes surgem de regras simples, que são repetidas infinitamente.
Thank you very much.
Muito obrigado a todos.
(Applause)
(Aplausos)