Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Muito obrigado. Desculpem-me, por favor, por me sentar, eu sou muito velho. (Risos) Bem, o tema que vou analisar é um que, em certa medida, é muito peculiar porque é muito antigo. A rugosidade é parte da vida humana desde sempre. Autores antigos escreveram sobre ela. Era incontrolável. E, de certa forma, parecia ser de extrema complexidade, uma confusão, confusão e mais confusão. Há diferentes tipos de confusão. Na verdade, por completo acaso, vi-me envolvido há muitos anos no estudo dessa forma de complexidade. E para meu grande espanto, encontrei vestígios, vestígios muito fortes, devo dizer, de ordem nessa rugosidade. Assim, hoje eu gostaria de vos apresentar alguns exemplos do que isso representa. Eu prefiro a palavra "rugosidade" em contraponto com a palavra "irregularidade" porque irregularidade, para alguém que aprendeu latim, na minha distante juventude, significa o contrário de regularidade. Mas não é bem assim. Regularidade é o contrário de rugosidade porque o aspeto básico do mundo é muito rugoso.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Portanto vou mostrar-vos alguns objetos. Alguns deles são artificiais. Outros são muito reais, de certo modo. Este por exemplo é real. É uma couve-flor. Porque é que vos mostro uma couve-flor, um legume normal e antigo? Porque, embora seja antigo, é muito complicado e muito simples, as duas coisas ao mesmo tempo. Se a tentarem pesar, com certeza que é muito fácil fazê-lo. E quando a comemos, o peso importa. Mas suponhamos que vocês tentam medir a sua superfície. Bem, é muito interessante. Se cortarem, com uma faca afiada, um dos pedaços da couve-flor e olharem para ele separadamente, ele parece-se com uma couve-flor inteira, mas mais pequena. Depois cortem-na novamente, e novamente, e novamente, e novamente, e novamente... E continuam a obter pequenas couves-flor. Portanto, a experiência da Humanidade foi sempre ter a noção de que havia certas formas com esta propriedade peculiar, em que cada parte é como o todo, mas mais pequena. Então, o que fez a Humanidade com isso? Muito, muito pouco. (Risos)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Portanto, o que eu fiz foi estudar este problema, e encontrei uma coisa bastante surpreendente. É possível medir a rugosidade através de um número, um número, 2,3 — 1,2 — e algumas vezes muito mais. Um dia, um amigo meu, para me provocar trouxe-me uma figura, e disse: "Qual é a rugosidade desta curva?" Eu disse: "Bem, um pouco abaixo de 1,5." Era 1,48. Não demorei nada a responder. Tenho andado a olhar para estas coisas há tanto tempo. Estes números são números que representam a rugosidade dessas superfícies. Eu digo-vos já que estas superfícies são totalmente artificiais. Foram feitas através de um computador. O único parâmetro de entrada é um número. E esse número é a rugosidade. Do lado esquerdo, eu usei a rugosidade retirada de muitas paisagens. À direita, usei uma rugosidade maior. Os olhos, após algum tempo, conseguem muito bem distinguir ambas.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
A Humanidade teve que aprender como medir rugosidades. Isto é muito rugoso, e isto é mais macio e isto é perfeitamente macio. Pouquíssimas coisas são muito macias. Portanto, se tentarmos responder a questões do tipo: Qual é a superfície de uma couve-flor? Medimos, medimos e medimos. Quanto mais nos aproximamos, maior ela se torna, até distâncias muito, muito pequenas. Qual é o comprimento da linha de costa destes lagos? Quanto mais perto se mede, maior é o comprimento. O conceito de comprimento de uma costa, que parece ser algo tão natural uma vez que é referido em muitos casos, é, na verdade, totalmente falacioso; não existe tal coisa. É preciso proceder de forma diferente.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Qual a vantagem de conhecer estas coisas? Bem, surpreendentemente, é importante de variadas formas. Para começar, paisagens artificiais, um conceito que, de certa forma, inventei, estão sempre a ser usadas no cinema. Nós vemos montanhas à distância. Podem ser montanhas, podem ser simples fórmulas matemáticas. Agora é muito fácil fazê-las. Antes consumia-se imenso tempo, mas agora não custa nada. Agora olhem para aquilo. Aquilo é um pulmão real. Um pulmão é algo muito estranho. Se segurarem num, verão como é leve. O volume de um pulmão é muito pequeno. E a área de um pulmão? Os anatomistas têm discutido muito isso. Uns dizem que um pulmão masculino tem a mesma área que o interior de uma bola de basquetebol Outros dizem, não, 5 bolas de basquetebol. Grandes discordâncias. E porquê? Porque, na verdade, a área de um pulmão é uma coisa mal definida. Os brônquios dividem-se e dividem-se. E só param de se dividir, não devido a uma questão de princípio, mas devido a considerações físicas, o muco, que está no pulmão. O que acontece é que, dessa forma temos um pulmão muito maior, mas ele divide-se e divide-se, até distâncias que são as mesmas para uma baleia, para um homem ou para um pequeno roedor.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Agora, qual será a vantagem de termos isso? Surpreendentemente, curiosamente, os anatomistas tinham uma ideia muito pouco clara da estrutura do pulmão até muito recentemente. E eu penso que a minha matemática, surpreendentemente, foi de grande ajuda aos cirurgiões que estudam as doenças do pulmão e também as doenças do rim, todos esses sistemas que se ramificam, para os quais não havia nenhuma geometria própria. Por outras palavras, eu acabei por me encontrar a construir essa geometria, uma geometria de coisas que não tinham geometria. E um aspeto surpreendente disto é que, muito frequentemente, as regras desta geometria são extremamente curtas. Há fórmulas deste tamanho. E podem aplicá-las diversas vezes. Às vezes repetidamente, de novo e de novo. A mesma repetição. E no fim, obtemos coisas como esta.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Esta nuvem é completamente 100% artificial. Bem, 99,9 %. A única parte que é natural é um número, a rugosidade da nuvem, que é retirado da natureza. Algo tão complicado como uma nuvem, tão instável, tão variável, devia ter por detrás uma regra simples. Essa regra simples não é uma explicação sobre nuvens. Os observadores de nuvens têm que cuidar dessa parte. Eu não sei o quão avançadas são estas imagens, elas são antigas. Eu estive muito envolvido nisto, mas depois acabei por virar a atenção para outros fenómenos.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Agora, aqui está outra coisa que é muito interessante. Um dos acontecimentos mais perturbadores na história da matemática, e que não é valorizado por muitas pessoas, ocorreu há cerca de 130 ou 145 anos. Os matemáticos começaram a criar formas que não existiam. Os matemáticos autoelogiavam-se por ser absolutamente incrível que o ser humano pudesse inventar coisas que a natureza não conhecia. Em particular, podia inventar coisas como uma curva capaz de preencher totalmente o plano. Uma curva é uma curva, um plano é um plano, e as duas coisas não se misturavam. Bem, misturam-se, sim. Um homem chamado Peano definiu essas curvas, que se tornaram objeto de um interesse extraordinário. Era muito importante, mas sobretudo interessante porque era uma espécie de quebra, uma separação, entre a matemática proveniente da realidade, por um lado, e a nova matemática proveniente totalmente da mente humana. Bem, tive muita pena em assinalar que o espírito humano viu, finalmente, o que já era visível há muito tempo. E aqui eu apresento uma coisa, o conjunto de rios de uma curva que enche um plano. E, bem, esta é uma história em si mesma. De 1875 a 1925, foi um período extraordinário durante o qual a matemática se preparou para se libertar do mundo. E os objetos que foram usados como exemplos, quando eu era criança e enquanto estudante, da quebra entre a matemática e a realidade visível, transformei completamente esses objetos, Utilizei-os para descrever alguns dos aspetos da complexidade da natureza.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Um homem chamado Hausdorff, em 1919 apresentou um número que era como uma piada matemática. Eu descobri que esse número constituía uma boa medida da rugosidade. Quando eu disse isso a primeira vez aos meus amigos matemáticos eles disseram: "Não sejas tolo. Isso é uma tolice". Na verdade, eu não era tolo. O grande pintor Hokusai sabia isso muito bem. As coisas no chão são algas. Ele não conhecia a matemática, ela ainda nem sequer existia. E ele era um japonês sem contacto com o ocidente. Mas a pintura há muito que tinha um lado fractal. Eu podia falar disso durante muito tempo. A torre Eiffel tem um aspeto fractal. E eu li o livro que o Sr. Eiffel escreveu sobre a sua torre. E, de facto, é impressionante até que ponto ele compreendia.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Isto é uma confusão, uma confusão, laços Brownianos. Um dia decidi, a meio da minha carreira, eu estava envolvido em tantas coisas no meu trabalho e decidi testar-me. Será que eu podia olhar para uma coisa que todos tinham estado a ver durante tanto tempo e encontrar qualquer coisa drasticamente nova? Então olhei para estas coisas denominadas de "movimento Browniano", sempre em movimento. Brinquei com isto por algum tempo, e decidi regressar às origens. Então disse ao meu assistente: "Não consigo ver nada. Podes pintá-lo?" Então ele pintou-o, ou seja, pôs tudo lá dentro e disse: "Foi isto o que surgiu..." E eu disse: "Para! Para! Para! "Estou a ver, é uma ilha." Surpreendente. Portanto, o movimento Browniano — que acaba por ter um número de rugosidade de 2 — continua. Eu medi-o, 1,33. De novo, de novo, de novo. Grandes medições, grandes movimentos Brownianos, 1,33. Um problema matemático: como o provar? Custou aos meus amigos 20 anos. Três deles chegaram a provas incompletas. Mas juntaram-se e, em conjunto, chegaram a uma prova. Então receberam a grande medalha Fields da matemática. uma das três medalhas atribuídas a pessoas por provarem coisas que eu vi mas não fui capaz de provar.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Agora todos me perguntam, uma vez por outra: "Como começou tudo isso?" "O que o levou a esta estranha atividade? "O que o levou a ser, ao mesmo tempo, "um engenheiro mecânico, um geógrafo, "um matemático, etc., um físico? Bem, estranhamente, eu comecei a estudar preços no mercado de ações. E então aqui desenvolvi uma teoria, e escrevi livros sobre isso, aumentos dos preços financeiros. À esquerda vemos dados relativos a um período longo. À direita, em cima, vemos a teoria que é muito elegante. Foi muito simples, e vocês podem escrever rapidamente muitos livros sobre isto. (Risos) Há milhares de livros sobre isto. Agora comparem isso com os incrementos de preço reais. Onde estão os incrementos de preço reais? Estas outras linhas incluem alguns incrementos de preço reais e alguns dados falsificados que eu fiz. A ideia era que alguém tem que ser capaz de... — como é que se diz? Modelar a variação dos preços. Isto correu mesmo bem há 50 anos. Durante 50 anos as pessoas chatearam-me porque podiam fazê-lo de forma muito mais simples. Mas eu digo-vos que, hoje em dia, as pessoas ouvem-me. (Risos) Estas duas curvas são médias. Standard & Poor, a azul. E a vermelha, também da Standard & Poor, mas da qual foram retiradas as maiores 5 descontinuidades As descontinuidades são um incómodo. Portanto, em muitos estudos sobre preços, elas são postas de parte. São casos fortuitos. E passamos a ter os pequenos absurdos que sobram. Casos fortuitos. Nesta figura, cinco casos fortuitos são tão importantes como todo o resto. Por outras palavras, não são os casos fortuitos que temos que pôr de parte. Eles são o principal, o problema. Se os dominarmos, dominamos os preços. Se não os dominarmos, podemos dominar o ruído de fundo tão bem quanto queiramos, mas não vai ser importante. Aqui estão as curvas.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Agora, vou à parte final, que é sobre o conjunto ao qual o meu nome está associado. De certo modo, é a história da minha vida. A minha adolescência foi passada durante a ocupação alemã da França. Como pensei que podia desaparecer dentro de um dia ou de uma semana, passei a ter grandes sonhos. Depois da guerra, voltei a ver um tio meu. O meu tio era um matemático muito proeminente e disse-me: "Olha, há um problema que eu não consegui resolver há 25 anos, "e que ninguém consegue resolver. "Vem de uma construção feita por Gaston Julia e Pierre Fatou. "Se conseguires encontrar algo novo, qualquer coisa, "terás a tua carreira feita". Muito simples. Então eu olhei, e tal como as milhares de pessoas que haviam tentado anteriormente, não encontrei nada.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Mas então surgiu o computador e eu decidi aplicar o computador, não a novos problemas na matemática, como este quebra-cabeça, este é um novo problema, mas a problemas antigos. Então mudei aquilo a que chamamos números reais, que são pontos numa linha, para números imaginários, complexos, que são pontos sobre um plano, que é mais o caso aqui. E surgiu esta forma. Esta forma é de uma extraordinária complexidade. A equação está escondida aqui, z igual a z ao quadrado, mais c. Tão simples, tão direto. Tão desinteressante. Agora rodamos a manivela uma vez, duas, duas, e aparece uma maravilha. Quero dizer, aparece isto. Eu não quero explicar essas coisas. Isto surge. Isto surge. Formas que são de uma tal complexidade, tal harmonia e tal beleza. Surge isto, repetidamente, de novo, de novo, de novo. Essa foi uma das minhas maiores descobertas. Descobrir que estas ilhas eram as mesmas que a figura completa, inteira, por assim dizer. E depois surgem estas extraordinárias formas decorativas barrocas por toda a parte. Vem tudo desta pequena fórmula, que possui cinco símbolos. E depois este outro. As cores foram acrescentadas por duas razões. Em primeiro lugar, porque estas formas são tão complicadas, que não seria possível retirar nenhum sentido dos números. E se queremos desenhá-las, é preciso escolher um sistema. Então o meu princípio foi apresentar sempre as formas com diferentes cores, porque algumas cores dão ênfase a certas partes, e outras cores a outras partes. É tão complicado.
(Laughter)
(Risos)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Em 1990, eu estava em Cambridge, no Reino Unido, para receber um prémio da Universidade. E três dias depois, um piloto estava a sobrevoar a paisagem e encontrou isto. De onde vem isto? Obviamente, de extraterrestres. (Risos) Então, o jornal local em Cambridge publicou um artigo sobre essa "descoberta" e recebeu no dia seguinte 5000 cartas de pessoas a dizer, "Mas isso é simplesmente um conjunto de Mandelbrot muito grande."
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Bem, vou terminar. Esta forma aqui saiu simplesmente de um exercício de matemática pura. Maravilhas profundas surgem de simples regras, que são repetidas vezes sem fim.
Thank you very much.
Muito obrigado.
(Applause)
(Aplausos)