Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Bardzo dziękuję. Wybaczcie, że siadam, ale jestem już stary. (Śmiech) Temat mojej prezentacji jest dość osobliwy, gdyż jest bardzo stary. Chropowatość zawsze była częścią naszego życia. Pisywano o niej już w starożytności. Nie dawało się nad nią zapanować. W pewnym sensie wyglądała na ekstremalnie złożoną, na bałagan, chaos, nieporządek. Jest wiele rodzajów bałaganu. W zasadzie zupełnie przypadkiem wiele lat temu zaangażowałem się w badania nad tą formą złożoności. Ku mojemu zaskoczeniu odkryłem ślady -- bardzo silne ślady -- porządku w tej chropowatości. Chcę Państwu pokazać kilka przykładów takiego porządku. Wolę słowo "chropowatość" niż "nieregularność", ponieważ nieregularność -- dla kogoś kto studiował łacinę jak ja w młodości -- to przeciwieństwo regularności. Ale tak nie jest. Regularność to przeciwieństwo chropowatość, ponieważ nasz świat jest bardzo chropowaty.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Pokażę Państwu kilka rzeczy. Niektóre z nich są sztuczne. Inne, w pewnym sensie, bardzo rzeczywiste. Ta jest rzeczywista. To kalafior. Dlaczego pokazuję właśnie kalafior, bardzo zwyczajne i stare warzywo? Ponieważ mimo tego, że jest znane od dawna, jest jednocześnie bardzo skomplikowane i bardzo proste. Oczywiście łatwo je zważyć. A kiedy je jecie, masa ma znaczenie. Ale co jeśli chcemy zmierzyć jego powierzchnię? Wtedy robi się ciekawie. Jeśli odetniesz jeden z kwiatów kalafiora i popatrzysz na niego osobno, wygląda jak cały kalafior tylko mniejszy. Jeśli odetniesz jeszcze mniejszą część, i kolejną, i kolejną... Otrzymasz coraz mniejsze kalafiory. Więc z doświadczenia wiadomo było, że pewne kształty mają tę osobliwą właściwość: ich część jest jak całość, tylko mniejsza. Co ludzkość uczyniła z tą wiedzą? Bardzo, niewiele. (Śmiech)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Co ja zrobiłem? Zgłębiłem ten problem i odkryłem coś zaskakującego -- chropowatość można mierzyć. za pomocą liczby, 2.3, 1.2, czasem dużo więcej. Pewnego dnia mój przyjaciel chciał mnie wkurzyć. Przyniósł obrazek i spytał "Jaka jest nierówność tej krzywej?" Na co ja: "niewiele mniej niż 1.5". Dokładnie było to 1.48. Nie musiałem się zastanawiać, tak długo patrzyłem już na te rzeczy. Są to liczby, które oznaczają chropowatość powierzchni. Muszę dodać, że te powierzchnie są kompletnie sztuczne, zrobione komputerowo. Jedyną daną wejściową jest liczba. A tą liczbą jest nierówność. Po lewej mamy nierówność skopiowaną z krajobrazów. Po prawej - nierówność wyższego rzędu. Po chwili oko potrafi je rozróżnić.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Ludzkość musiała nauczyć się, jak mierzyć chropowatość. To jest szorstkie, to dość gładkie, a to idealnie gładkie.. Mało jest rzeczy idealnie gładkich. Jeśli zapytasz: jaka jest powierzchnia kalafiora? Mierzysz, mierzysz i mierzysz. Z każdym zbliżeniem powierzchnia się zwiększa aż do bardzo małych dystansów. Jakiej długości są linie wybrzeża tych jezior? Tym dłuższe, im dokładniej mierzysz. Koncepcja długości wybrzeża, która wydaje się tak naturalna, ponieważ jest podawana w wielu przypadkach, jest kompletną bzdurą; nie ma czegoś takiego. Trzeba to zrobić inaczej.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Co zyskujemy dzięki tej wiedzy? Zadziwiająco wiele dobrego. I to na wiele sposobów. Na początek: sztuczne krajobrazy, które właściwie wymyśliłem są nieustannie używane w filmach. Widzimy góry w oddali. Może to góry, a może tylko równanie, trochę podkręcone. To bardzo proste. Kiedyś zajmowało wiele czasu, ale nie dziś. Popatrzmy. To prawdziwe płuco. Płuca są bardzo dziwne. Wiemy doskonale, że waży bardzo niewiele. Objętość płuca jest bardzo mała. Ale co z powierzchnią? Anatomowie mieli rozbieżne zdania na ten temat. Niektórzy twierdzą, że wewnętrzna powierzchnia płuca dorosłego mężczyzny jest równa boisku do koszykówki. Inni mówią, że jest 5 razy od niego większa. Ogromne rozbieżności. Dlaczego? Bo powierzchnia płuca jest źle zdefiniowana. Oskrzela coraz bardziej się rozgałęziają. I w pewnym momencie przestają, nie w imię zasady, ale z uwagi na uwarunkowania fizyczne, czyli śluz, który jest w płucu. Tak więc koniec końców nawet jeśli mamy duże płuca rozgałęziają się one do odległości takich samych dla walenia, człowieka, i małego gryzonia.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Co tłumaczy ta wiedza? Zdumiewające, że do niedawna anatomowie nie mieli pojęcia o strukturze płuca. Sądzę, że moja matematyka, co jest zaskakujące, bardzo pomogła chirurgom bardzo pomogła chirurgom badającym choroby płuc oraz choroby nerek, wszystkie te gałęziaste systemy dla których nie było geometrii. Zacząłem tworzyć nową geometrię dla rzeczy, których nie mogliśmy opisać. Co ciekawe, bardzo często reguły tej geometrii są niezwykle krótkie. Mamy tak krótkie wzory. Zwielokrotniamy je. Czasem wiele razy. To samo powtórzenie. W końcu otrzymujemy coś takiego.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Ta chmura jest zupełnie w 100% sztuczna. No, w 99.9%. Jedyna naturalna część to liczba - nierówność chmury wzięta z natury. Coś tak skomplikowanego jak chmura, tak niestabilnego, tak zmiennego opisuje prosta reguła. Ta prosta reguła nie jest wyjaśnieniem chmur. Obserwator chmur musi wziąć to pod uwagę. Nie wiem, jak zaawansowane są te obrazy. Są stare. Byłem w to mocno zaangażowany ale później skoncentrowałem się na czymś innym.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
To jest kolejna bardzo interesująca rzecz. Jedno z dramatycznych wydarzeń w historii matematyki niedocenione przez wielu ludzi zdarzyło się ok.130 lat temu, 145 lat temu. Matematycy zaczęli tworzyć nieistniejące kształty. Popadli w samozachwyt o zdumiewających rozmiarach, że człowiek tworzy rzeczy, których natura nie zna. W szczególności krzywą, która wypełnia płaszczyznę. Krzywa to krzywa, płaszczyzna to płaszczyzna, nie można ich łączyć. A jednak tak. Człowiek o nazwisku Peano zdefiniował takie krzywe. Wzbudziły one niezwykłe zainteresowanie. Było to ważne przede wszystkim dlatego, że był to rodzaj przełomu, oddzielenia pomiędzy matematyką pochodzącą od rzeczywistości i nową matematyką pochodzącą z ludzkiego umysłu. Było mi bardzo przykro wytknąć, że czysty umysł dopiero na końcu zobaczył to, co było widoczne już od dłuższego czasu. Tak więc pokazałem, że ten zestaw fraktali także jest krzywą wypełniającą powierzchnię. Tak więc pokazałem, że ten zestaw fraktali także jest krzywą wypełniającą powierzchnię. Muszę przyznać, że jest to niezwykła historia. Było to w latach 1875-1925. Niezwykły okres, w którym matematycy przygotowywali oderwanie się od świata. Obiekty, których używano jako przykładów, kiedy byłem dzieckiem i uczniem, przykładów podziałów między matematyką i widzialną rzeczywistością -- te obiekty wywróciłem do góry nogami. Użyłem ich do opisania niektórych aspektów złożoności natury.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
W 1919 r. człowiek o nazwisku Hausdorff wprowadził liczbę, która była matematycznym żartem. Odkryłem, że ta liczba była dobrym miernikiem nierówności. Kiedy po raz pierwszy powiedziałem to moim przyjaciołom matematykom, odparli oni: "Nie bądź głupi. To jest niedorzeczne". Tak się składa, że nie byłem głupi. Wielki malarz Hokusai dobrze to znał. Te rzeczy na ziemi to algi. Nie znał matematyki; jeszcze nie istniała. Był Japończykiem i nie miał kontaktu z Zachodem. Ale malowanie przez długi czas miało w sobie coś z fraktali. Mógłbym długo mówić na ten temat. Wieża Eiffela też ma coś z fraktali. Czytałem książkę, którą pan Eiffel napisał o swojej wieży. Zdumiewające, jak wiele rozumiał.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
To istny bałagan, ruchy Browna. Pewnego dnia zdecydowałem, byłem w połowie mojej kariery, zajęty tyloma sprawami w pracy, zdecydowałem, że zrobię sobie test. Czy mógłbym spojrzeć na coś, na co każdy codziennie patrzy, i znaleźć coś całkowicie nowego? Popatrzyłem więc na tzw. ruchy Browna -- chaotyczne ruchy. Przez chwilę się nimi bawiłem i sprawiłem, że wróciły do stanu wyjściowego. Potem powiedziałem mojemu asystentowi: "Nic nie widzę. Czy mógłbyś to namalować?" Więc on to namalował, czyli zawarł w tym obrazie wszystko. Powiedział: "No więc to się pojawiło..." A ja na to: "Stop! Stop! Stop! Widzę, że to wyspa". I niesamowite. Tak więc ruchy Browna, mające liczbę nierówności równą 2, powtarzają się. Zmierzyłem je, 1.33/ I jeszcze raz, i jeszcze, i jeszcze. Długie pomiary, wielkie ruchy Browna, 1.33. Matematyczny problem: jak to udowodnić? Moim przyjaciołom zabrało to 20 lat. Trzech z nich miało niekompletne dowody. Spotkali się i razem znaleźli dowód. Zdobyli wielki medal [Fieldsa] z matematyki, 1 z 3 medali, które przyznano za udowodnienie rzeczy, które dostrzegłem, a których nie mogłem udowodnić.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Teraz każdy mnie pyta: "Jak to wszystko się zaczęło? Co sprawiło, że zająłeś się czymś tak dziwnym?" Co sprawiło, że zostałem też inżynierem mechanicznym, geografem, matematykiem i fizykiem, itd.? No cóż, zaczęło się dość niezwykle. Śledziłem kursy giełdowe. I wtedy wpadłem na tę teorię i napisałem o niej kilka książek. Skoki cen walut. Po lewej są dane zebrane po długim okresie. Po prawej na górze widzimy teorię, która jest teraz bardzo na czasie. Było to bardzo łatwe i można napisać o tym wiele książek w krótkim czasie. (Śmiech) Są o niej tysiące książek. Porównajcie to teraz z prawdziwymi skokami cen. I gdzie są prawdziwe skoki cen? Te linie zawierają kilka prawdziwych skoków cen, jest w nich też pewne fałszerstwo mojego autorstwa. Głównym zamysłem było to, że trzeba umieć -- jak to się mówi? -- modelować wahanie kursów. Przez 50 lat szło bardzo dobrze. Przez 50 lat niektórzy wyśmiewali mnie, bo potrafili zrobić to o wiele łatwiej. Ale powiem wam, już wtedy ludzie mnie słuchali. (Śmiech) Te dwie krzywe to średnie. Standard & Poor's, niebieska, a czerwona to też Standard & Poor's, ale bez pięciu największych jednodniowych wahań. ale bez pięciu największych jednodniowych wahań. Te wahania to niedogodność. A więc w wielu badaniach rynku pomija się je. "Cóż, ręka Boża." I pozostaje jedynie ten nonsens. Ręka Boża w tym obrazku - te pięć wahań - jest tak ważna jak wszystko inne. Innymi słowy, to nie akt Boży powinniśmy pominąć. To on właśnie jest sednem sprawy. Jeśli go ujarzmisz, ujarzmisz cenę. A jeśli go nie ujarzmisz, możesz ujarzmić ten nieważny szum tak dobrze jak chcesz, ale to bez znaczenia. Cóż, to są odpowiednie krzywe.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Najważniejsza rzecz, to zbiór, do którego przyczepiono moje nazwisko. To niejako historia mojego życia. okres dojrzewania spędziłem w czasie Niemieckiej okupacji we Francji. I jako że myślałem, że mogę zginąć w ciągu dnia lub tygodnia. Miałem ogromne marzenia. I po wojnie, spotkałem się z moim wujkiem, który był znanym matematykiem i powiedział mi: "Popatrz, to problem, którego nie mogłem rozwiązać 25 lat temu, i którego nikt nie może rozwikłać. To wytwór człowieka imieniem Gaston Julia i Pierre'a Fatou. Jeśli uda ci się znaleźć krok naprzód, kariera stanie przed tobą otworem." Bardzo proste. A więc patrzyłem, próbowałem jak tysiące ludzi przede mną, i nie zobaczyłem nic.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Ale kiedy pojawił się komputer postanowiłem zastosować go nie do nowych matematycznych problemów -- jak te drobnostki, to nowy problem -- ale do starych. I przeszedłem od liczb rzeczywistych, punktów na prostej, do liczb urojonych, punktów na płaszczyźnie, i to właśnie należało zrobić. I powstał ten kształt. To kształt niezwykłej złożoności. Równanie jest tam ukryte: z przechodzi w z kwadrat plus c. To tak proste, tak suche. Nieinteresujące. Ale jeśli powtórzyć je raz, dwa razy - dwa razy - powstają cuda. To znaczy to. Nie będę tłumaczył tych rzeczy. Powstaje to. I to. Kształty takiej złożoności, harmonii i piękna. Powstaje to - i powtarza się wciąż. Jedna z najważniejszych rzeczy, jakie odkryłem, to że te wysepki były powtórzeniem całości. Powstają wszędzie te niezwykłe barokowe dekoracje. Wszystko z tego krótkiego wzoru, który składa się z pięciu symboli. Oraz to. Kolor został dodany z dwóch powodów. Ponieważ te kształty są tak skomplikowane, że niemożliwym było zrozumieć wynik równania. I ponieważ by je przedstawić trzeba wybrać system. Obrałem za regułę zawsze przedstawiać te kształty w różnej kolorystyce, ponieważ każdy zestaw kolorów uwypukla inny aspekt. To strasznie skomplikowane.
(Laughter)
(Śmiech)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
W 1990 r. byłem w Cambridge w Wielkiej Brytanii, gdzie odbierałem nagrodę przyznaną mi przez uniwersytet. A trzy dni później pilot przelatujący nad polami zobaczył to. Skąd się to wzięło? Z pewnością z kosmosu. (Śmiech) Gazeta z Cambridge opublikowała artykuł o tym odkryciu a następnego dnia otrzymała 5000 listów mówiących: "Ależ to po prostu bardzo duży zbiór Mandelbrota."
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Pozwólcie mi skończyć. Ten kształt powstał z zastosowania czystej matematyki. Zdumiewające rzeczy powstają z prostych reguł powtarzanych bez końca.
Thank you very much.
Dziękuję Państwu bardzo.
(Applause)
(Aplauz)