Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Liels jums paldies! Lūdzu, atvainojiet, ka sēžu; esmu ļoti vecs. (Smiekli) Tēma, par ko es stāstīšu, savā ziņā ir ļoti īpatnēja, jo tā ir ļoti sena. Raupjums ir daļa no cilvēku dzīves mūžīgi mūžos. Un seni autori par to ir rakstījuši. Tas bija ļoti nekontrolējams. Un savā ziņā tas šķita esam sarežģītības galējība, tikai juceklis, juceklis un vēlreiz juceklis. Ir dažādu veidu jucekļi. Patiesībā, pavisam nejauši daudzus gadus atpakaļ es iesaistījos pētījumā par šo sarežģītības veidu. Es biju ļoti izbrīnīts, kad atradu pazīmes -- jāsaka, ļoti spēcīgas pazīmes -- kārtībai šajā raupjumā. Un tāpēc šodien es vēlos jums parādīt dažus piemērus, kas to ilustrēs. Es labāk lietoju vārdu "raupjums", nevis "neregularitāte", jo "neregularitāte" -- man, kurš mācījies latīņu valodu, manā sen aizgājušajā jaunībā -- nozīmē "pretstats regularitātei". Bet tas tā nav. Regularitāte ir raupjuma pretstats, jo pasaule savā būtībā ir ļoti raupja.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Ļaujiet jums parādīt pāris lietas. Dažas no tām ir mākslīgas. Dažas no tām ir savā ziņā ļoti dabīgas. Šī ir dabīgā. Tas ir ziedkāposts. Kāpēc es rādu ziedkāpostu, ļoti ikdienišķu un senu dārzeni? Tāpēc, ka, lai arī cik sens tas nebūtu, tas ir ļoti sarežģīts un ļoti vienkāršs vienlaikus. Ja jūs mēģināsiet to nosvērt, tas, protams, būs ļoti vienkārši. Un, kad jūs to ēdat, svarīgais ir svars. Bet iedomājieties, ka vēlaties izmērīt tā virsmas laukumu. Tas jau ir interesantāk. Ja jūs ar asu nazi nogriežat vienu no ziedkāposta ziediem un apskatāt to atsevišķi, jūs redzat veselu ziedkāpostu, tikai mazāku. Un tad jūs griežat atkal un atkal, un atkal, un atkal, un atkal, un atkal. Un jums vēl arvien ir mazs ziedkāposts. Tātad cilvēces pieredzē vienmēr ir bijušas kontūras, kurām ir šī īpatnējā īpašība, ka katra daļa ir kā veselums, tikai mazāka. Ko cilvēce ar to darīja? Ļoti, ļoti maz. (Smiekli)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Savukārt es pētīju šo problēmu un atklāju ko ļoti pārsteidzošu. Mēs varam izmērīt raupjumu un apzīmēt to ar skaitli, piemēram, 2,3, 1,2, un dažreiz daudz vairāk. Kādu dienu mans draugs, lai pakaitinātu mani, atnesa bildi un teica: "Kāds ir šīs līnijas raupjums?" Es teicu: "Nu, gandrīz 1,5." Tas bija 1,48. Tas man neaizņēma daudz laika. Esmu skatījies uz šīm lietām tik ilgi. Tātad šie skaitļi ir tas, kas apzīmē virsmas raupjumu. Piebildīšu, ka šīs virsmas ir pilnībā mākslīgas. Tās tika izveidotas ar datoru. Un vienīgais ievadītais lielums ir skaitlis. Un šis skaitlis ir raupjums. Tātad, kreisajā pusē es paņēmu raupjumu no daudziem dabas skatiem. Labajā pusē, es paņēmu lielāku raupjumu. Pēc kāda laika acs spēj šīs abas ļoti labi atšķirt.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Cilvēcei bija jāiemācās izmērīt raupjumu. Šis ir ļoti raupjš, šis ir samērā raupjš, un šis ir ļoti gluds. Tikai nedaudzas lietas ir ļoti gludas. Kas notiek, ja jūs uzdodat jautājumu: "Kāds ir ziedkāposta virsmas laukums?" Jūs mērāt un mērāt, un mērāt. Katrreiz pietuvinoties tas kļūst arvien lielāks līdz pat ļoti, ļoti maziem attālumiem. Kāds ir šī ezera krasta garums? Jo tuvāk jūs mērāt, jo garāks tas ir. Priekšstats par krasta līnijas garumu, kas šķiet tik dabīga, jo tā ir bieži norādīta, patiesībā ir pilnīgas muļķības; tas neeksistē. Tas jādara citādāk.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Ko dod šo lietu zināšana? Patiesībā, pārsteidzošā kārtā, tas ir daudzējādā ziņā noderīgi. Iesākumam, mākslīgie dabasskati, kurus es savā ziņā izgudroju, bieži tiek izmantoti kino. Mēs tālumā redzam kalnus. Tie varētu būt kalni, bet tie varētu būt arī vienkārši funkciju grafiki. Tagad to izdarīt ir ļoti viegli. Agrāk tas paņēma ļoti daudz laika, bet tagad tas nav nekas. Tagad apskatiet šo. Tās ir īstas plaušas. Plaušas ir kaut kas ļoti dīvains. Ja jūs tās paceļat, jūs ļoti labi zināt, ka tās sver ļoti maz. Plaušu tilpums ir ļoti mazs. Bet kā ar plaušu virsmas laukumu? Anatomi par šo ļoti daudz strīdējās. Daži saka, ka parastu vīrieša plaušu virsmas laukums ir tāds pats kā basketbola [laukumam]. Citi saka: "Nē, pieciem basketbola [laukumiem]." Milzīgas domstarpības. Kāpēc tā? Tāpēc, ka plaušu virsmas laukuma jēdziens ir ļoti slikti definēts. Bronhi sazarojas, sazarojas, sazarojas, un tie pārstāj sazarošanos ne kāda īpaša principa dēļ, bet fizikālu apsvērumu, plaušu gļotu dēļ. Tādējādi sanāk, ka jums ir krietni lielākas plaušas, kuras sazarojas un sazarojas līdz zaru izmēriem, kas ir aptuveni vienādi valim, cilvēkam un mazam grauzējam.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Bet kāds no tā labums? Pārsteidzošā kārtā anatomiem vēl pavisam nesen bija ļoti vāja izpratne par plaušu uzbūvi. Un es domāju, ka mana matemātika, pārsteidzošā kārtā, ir ļoti palīdzējusi ķirurgiem, pētot plaušu slimības, kā arī nieru slimības, visas šīs sazarotās sistēmas, kurām nebija ģeometrijas. Citiem vārdiem sakot, es attapos, veidojot ģeometriju lietām, kurām nebija ģeometrijas. Un pārsteidzoši ir tas, ka ļoti bieži šīs ģeometrijas likumi ir ļoti īsi. Jums ir tik garas formulas. Un jūs tās pielietojas vairākas reizes. Reizēm atkārtoti atkal un atkal, un atkal. Tie paši atkārtojumi. Un beigās jūs iegūstat kaut ko šādu.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Šis mākonis ir pilnībā, 100% mākslīgs. Nu, 99,9%. Vienīgā dabīgā daļa ir skaitlis, mākoņa raupjums, kas ir paņemts no dabas. Kaut ko tik sarežģītu kā mākonis, tik nenoturīgu, tik mainīgu, vajadzētu varēt aprakstīt ar vienkāršu likumu. Šis vienkāršais likums nav mākoņu skaidrojums. Mākoņu vērotājam tas jāņem vērā. Es nezinu, cik attīstītas šīs bildes ir. Tās ir vecas. Es šeit biju aktīvi iesaistīts, bet tad pievērsos citām parādībām.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Šeit ir cita lieta, kas ir diezgan interesanta. Viens no graujošākajiem notikumiem matemātikas vēsturē, ko daudzi nenovērtē, notika pirms 130 gadiem, pirms 145 gadiem. Matemātiķi sāka veidot kontūras, kas neeksistēja. Matemātiķi sāka sevi slavēt tādā apjomā, kas bija vienkārši pārsteidzošs, ka cilvēks spēj izgudrot lietas, ko daba nepazina. Precīzāk, cilvēks spēja izgudrot tādas lietas kā līniju, kas aizpilda plakni. Līnija ir līnija un plakne ir plakne, un tie neiet kopā. Patiesībā tie iet kopā. Vīrs vārdā Peano definēja šādas līnijas, un tās kļuva par ārkārtīgas intereses objektu. Tas bija ļoti nozīmīgi, bet galvenokārt interesanti, jo parādījās tāda kā plaisa, dalījums starp matemātiku, kas nākusi no reālās pasaules, un jauno matemātiku, kas nākusi no tīrā cilvēka saprāta. Nu, es ar nožēlu norādīju, ka tīrais cilvēka saprāts ir, patiesībā, beidzot pamanījis to, kas bija redzams jau sen. Un šeit es jūs iepazīstinu ar plakni piepildošu upju kopu. Un, patiesībā, tas ir stāsts pats par sevi. Tas bija no 1875. līdz 1925. gadam, ārkārtīgi neparasts laiks, kurā matemātika gatavojās izrauties no pasaules. Un objekti, kuri tika izmantoti kā piemēri, kad es biju bērns un skolnieks, kas parāda plaisu starp matemātiku un redzamo pasauli -- šos objektus es apgriezu kājām gaisā. Es tos izmantoju, lai aprakstītu dažus dabas sarežģītības aspektus.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Vīrs vārdā Hausdorfs 1919. gadā ieviesa skaitli, kas bija vienkārši matemātisks joks. Un es atklāju, ka šis skaitlis bija labs raupjuma mērs. Kad es to pirmo reizi pateicu saviem draugiem matemātiķiem, viņi teica: "Neesi vientiesis! Tas vienkārši ir kaut kas [muļķīgs]." Patiesībā, es nebiju vientiesis. Lieliskais gleznotājs Hokusai to zināja ļoti labi. Tās lietas uz zemes ir aļģes. Viņš nezināja šo matemātiku; tā vēl nepastāvēja. Un viņš bija japānis, kuram nebija nekādu sakaru ar Rietumiem. Bet glezniecībā ilgu laiku bija fraktāļu aspekts. Es varētu ilgi par to runāt. Eifeļa tornim ir fraktāļu aspekts. Un es izlasīju grāmatu, ko Eifeļa kungs uzrakstīja par savu torni. Un tas bija patiešām pārsteidzoši, cik daudz viņš saprata.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Tas ir juceklis, juceklis, juceklis, Brauna kustības shēma. Kādu dienu, savas karjeras pusceļā, es sapratu, ka manā darbā mani turēja tik daudz lietu, tāpēc nolēmu sevi pārbaudīt. Vai es varētu vienkārši apskatīties uz kaut ko, ko visi bija vērojuši jau ilgu laiku, un atrast ko dramatiski jaunu? Nu, es apskatījos šīs lietas, ko sauc par Brauna kustību -- vienkārši nejauša kustība. Es paspēlējos ar to kādu laiku un liku atgriezties sākumpunktā. Tad es teicu savam palīgam: "Es neko neredzu. Vai vari to uzzīmēt?" Viņš to uzzīmēja, kas nozīmē, ka viņš visu aizpildīja. Viņš teica: "Nu, sanāca šis..." Un es teicu: "Stāt, stāt, stāt! Es redzu, tā ir sala." Un -- pārsteidzoši -- šī Brauna kustība, kurai gadījuma pēc raupjuma skaitlis ir 2, iet apkārt, es to izmēru, 1,33, atkal un atkal, un atkal. Ilgi mērījumi, plaša Brauna kustība, 1,33. Matemātiska problēma -- kā to pierādīt? Tas aizņēma maniem draugiem 20 gadus. Trim no viņiem bija nepilnīgi pierādījumi. Viņi sanāca kopā, un kopā viņiem sanāca pierādījums. Un viņi saņēma lielo [Fīldsa] medaļu matemātikā, vienu no trim medaļām, ko cilvēki ir saņēmuši par to, ka pierādījuši lietas, ko esmu redzējis, bet neesmu spējis pierādīt.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Tagad katrs kādā brīdī man prasa: "Kā tas viss sākās? Kas Jūs ievilka šajā dīvainajā nodarbē? Kas lika Jums kļūt vienlaikus par inženieri-mehāniķi, ģeogrāfu, matemātiķi, fiziķi un tā tālāk?" Nu, patiesībā, es sāku, neparastā kārtā, pētot akciju tirgus cenas. Un tā šeit man radās šī teorija, un es par to sarakstīju grāmatas Finanšu cenu svārstības. Kreisajā pusē jūs redzat datus par ilgu laika periodu. Labajā pusē augšā jūs redzat teoriju, kas ir ļoti, ļoti populāra. Tā bija ļoti vienkārša un jūs par to varat uzrakstīt daudzas grāmatas ļoti ātri. (Smiekli) Par to ir tūkstošiem grāmatu. Tagad salīdziniet to ar patiesajām cenu svārstībām. Kur ir patiesās cenu svārstības? Dažas no šīm pārējām līnijām ir patiesās cenu svārstības, dažas -- mani viltojumi. Ideja šeit bija tāda, ka ir jāspēj -- kā to saka? -- modelēt cenu svārstības. Un pirms 50 gadiem tas izdevās ļoti labi. 50 gadus cilvēki tā kā nievāja mani, jo viņi to varēja izdarīt krietni vienkāršāk. Bet es jums teikšu, ka šobrīd cilvēki manī klausās! (Smiekli) Šīs divas līknes ir vidējie. Standard & Poor's ir zilā līnija. Sarkanā ir Standard & Poor's, no kura ir izņemti ārā pieci lielākie vienas dienas lēcieni. Lēcieni ir traucēklis. Tāpēc daudzos cenu pētījumos tās noliek malā. "Nu, Dieva darbi." Un jums pāri paliek tā nelielā bezjēdzība. Dieva darbi šajā bildē, pieci Dieva darbi ir tikpat nozīmīgi kā jebkas cits. Citiem vārdiem, tie nav Dieva darbi, ko vajadzētu nolikt malā. Tā ir problēmas būtība. Ja jūs pārvaldāt šos, jūs pārvaldāt cenas. Bet, ja jūs nepārvaldāt šos, jūs varat pārvaldīt to mazo troksni, cik labi varat, bet tas nav svarīgi. Nu, šeit tam ir līknes.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Te es nonāku pie pēdējās lietas, kas ir tā kopa, kurai ir pievienots mans vārds. Savā ziņā tā ir manas dzīves stāsts. Savus jaunības gadus es pavadīju Vācijas okupētajā Francijā. Un, tā kā es domāju, ka es varētu pazust kuru katru dienu, man bija ļoti lieli sapņi. Un pēc kara es atkal satiku savu onkuli. Mans onkulis bija ļoti ievērojams matemātiķis, un viņš man teica: "Skat, te ir problēma, kuru nevarēju atrisināt pirms 25 gadiem un kuru neviens nevar atrisināt. Tā ir konstrukcija, ko izveidoja vīri vārdā [Gastons] Žiliā un [Pjērs] Fatū. Ja tu vari atrast ko jaunu, jebko, tu būsi izveidojis sev karjeru." Ļoti vienkārši. Tā nu es skatījos un, tāpat kā daudzi citi, kuri bija mēģinājuši pirms manis, neko neatradu.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Bet tad parādījās dators. Un es nolēmu pielietot datoru nevis jaunām matemātikas problēmām -- kā tā laivas valstīšanās, tā ir jauna problēma --, bet vecām problēmām. Un tas aizgāja no tā sauktajiem reālajiem skaitļiem, kas ir skaitļu taisne, uz imaginārajiem, kompleksajiem skaitļiem, kas ir skaitļu plakne, kas jāizmanto šajā problēmām. Un šis ir tas, kas sanāca. Šī kontūra ir ārkārtīgi sarežģīta. Vienādojums ir paslēpts tur, z kļūst par z² plus c. Tas ir tik vienkārši, tik sausi. Tas ir tik neinteresanti. Tagad jūs pielietojat šo vienreiz, otrreiz, otrreiz, sanāk brīnumi. Sanāk šis. Es negribu šīs lietas paskaidrot. Sanāk šis. Sanāk šis. Kontūras, kas ir tik sarežģītas, tik harmoniskas un tik skaistas. Sanāk šis atkal un atkal, un atkal. Un viens no maniem lielajiem atklājumiem bija, ka šīs salas ir tādas pašas, kā lielā sala, vairāk vai mazāk. Un tad jūs viskaut kur dabūjat šīs neparastās baroka dekorācijas. Tas viss no šīs mazās formulas, kurā ir nieka pieci simboli. Un tad vēl šis. Krāsa tika pievienota divu iemeslu dēļ. Pirmkārt, tāpēc, ka šīs kontūras ir tik sarežģītas, ka tās nevar saprast, pētot skaitļus. Un, ja jūs tos atzīmējat, jums jāizvēlas kāda sistēma. Un mans princips ir bijis vienmēr rādīt šīs kontūras dažādos krāsojumos, jo daži krāsojumi uzsver šo, citi -- kaut ko citu. Tas ir tik sarežģīti.
(Laughter)
(Smiekli)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
1990. gadā es biju Kembridžā, Lielbritānijā, lai saņemtu universitātes apbalvojumu. Un trīs dienas vēlāk kāds pilots lidoja pāri laukam un atrada šo. No kurienes tas uzradies? Acīmredzami, no citplanētiešiem. (Smiekli) Nu, laikraksts Kembridžā publicēja ziņu par šo atklājumu un nākamajā dienā saņēma 5 000 vēstules no cilvēkiem, kas teica: "Bet tas taču vienkārši ir ļoti liels Mandelbrota kopas attēlojums."
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Labi, ļaujiet man pabeigt. Šī kontūra radās no uzdevuma tīrajā matemātikā. Nebeidzami brīnumi nāk no vienkāršiem likumiem, kas tiek bezgalīgi atkārtoti.
Thank you very much.
Liels jums paldies!
(Applause)
(Aplausi)