Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Molte grazie. Per favore scusatemi se sono seduto; sono anziano. (Risate) Dunque, l'argomento che tratterò è uno che in qualche modo è molto particolare perché è veramente vecchio. La rugosità fa parte della vita umana da sempre e per sempre. Antichi autori hanno scritto al riguardo. Era assai poco controllabile. Ed in un certo senso, sembrava essere il massimo della complessità, solo disordine, disordine e disordine. Ci sono molti tipi di disordine. Ora, in realtà, per un completo colpo di fortuna, molti anni fa fui coinvolto nello studio di questa forma di complessità. E con mia totale meraviglia, trovai tracce -- segnali molto forti, devo dire -- di ordine in questa rugosità. E così, oggi vorrei presentarvi qualche esempio di quello che essa rappresenta. Preferisco la parola rugosità a quella di irregolarità perché irregolarità -- per qualcuno che come me ha conosciuto il latino nella mia lontana gioventù -- significa il contrario di regolarità. Ma non è così. Regolarità è il contrario di rugosità perché l'aspetto basilare del mondo è molto aspro, ruvido, incostante.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Quindi lasciate che vi mostri qualche oggetto. Alcuni di essi sono artificiali. Altri sono davvero reali, in un certo senso. Ora questo è quello reale. E' un cavolfiore. Ora, perché mostro un cavolfiore, un ortaggio così ordinario ed antico? Perché per quanto antico e vecchio possa essere, è davvero complicato ma molto semplice allo stesso tempo. Se provate a pesarlo, ovviamente è molto facile farlo. E quando lo mangiate, il peso conta. Ma supponiamo che proviate a misurarne la superficie. Bene, questo è molto interessante. Se tagliate, con un coltello affilato, una delle cimette di un cavolfiore e la osservate separatamente, vi sembrerà un intero cavolfiore, ma più piccolo. E se lo tagliate ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora, ancora. Otterrete cavolfiori sempre più piccoli. Così l'umanità ha da sempre fatto esperienza di forme che hanno questa particolare proprietà, che ogni parte è come il tutto, ma più piccolo. Ora, cosa ha a che fare questo con l'umanità? Poco, veramente poco. (Risate)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Quindi quello che effettivamente feci fu studiare questo problema, e trovai qualcosa piuttosto sorprendente: che la rugosità può essere misurata con un numero, un numero, 2.3, 1.2 e qualche volta anche molto di più. Un giorno, un mio amico, per scocciarmi, mi mostrò un quadro, e disse: "Qual è la rugosità di questa curva?" io risposi: "Bè, un po' meno di 1.5". Era 1.48. A dire il vero, non mi ci volle molto. Stavo studiando queste cose da così tanto tempo. Quindi questi numeri sono i numeri che indicano la rugosità di queste superfici. Mi affretterò nel dire che queste superfici sono completamente artificiali. Sono state realizzate al computer. E l'unico input è un numero. E quel numero è la rugosità. E quindi sulla sinistra, ho posto la rugosità copiata da vari paesaggi. Sulla destra, ne ho posto un valore maggiore. Così l'occhio, dopo un momento, può distinguerli molto bene.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
L'umanità aveva bisogno di imparare a misurare la rugosità. Questo è molto ruvido, questo è piuttosto liscio, questo è perfettamente liscio. Veramente poche cose sono molto liscie. Quindi se provate a chiedervi: Qual è la superficie di un cavolfiore? Bene, misurerete e misurerete e misurerete. Man mano che vi avvicinate diventerà più grande, fino a piccole, piccolissime distanze. Qual è la lunghezza della riva di questi laghi? Più vi avvicinerete, più lunga risulterà. Il concetto di lunghezza di una linea costiera, che sembra essere così naturale perché è scontato in molti casi, è, in effetti, completamente fallace; non esiste in termini così semplici. Dovete agire differentemente.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
A che cosa serve, sapere queste cose? Bè, in maniera piuttosto sorprendente, serve a molte cose. Per cominciare, i paesaggi artificiali, di cui ho inventato delle specie sono usati molto spesso nel cinema. Vediamo montagne in lontananza. Possono essere montagne, ma possono anche essere solo formule. Ora è davvero facile da fare. Un tempo si impiegava molto tempo, ma ora non ci vuole niente. Ora guardate qui. E' un vero polmone. Un polmone è qualcosa di veramente strano. Se lo prendete, sapete sicuramente che pesa molto poco. Il volume di un polmone è molto piccolo. Ma cosa sappiamo dell'area della superficie del polmone? Gli anatomisti ne hanno discusso veramente tanto. Qualcuno dice che il polmone dell'uomo medio ha un'area al suo interno equivalente a quella di un pallone da basket. Altri dicono, no, cinque palle da basket. Enormi disaccordi. Perché? Perché, in effetti, l'area del polmone è qualcosa di veramente mal-definito. I bronchi si ramificano, ramificano e ramificano. E smettono di ramificarsi, non in base a qualche principio, ma a causa di considerazioni fisiche, il muco, che è nel polmone. Quindi quello che succede è che questo è il modo per avere un polmone più grande, ma si ramifica e ramifica, fino a distanze che sono le stesse per una balena, per un uomo e per un piccolo roditore.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
Dunque, cose c'è di buono in questo? Bè, abbastanza sorprendentemente, abbastanza incredibilmente, gli anatomisti avevano ben poche idee della struttura del polmone fino a poco tempo fa. E io credo che la mia matematica, abbastanza sorprendentemente, sia stata di grande aiuto ai chirurghi studiosi di malattie polmonari e di malattie renali, tutti questi sistemi ramificati, per i quali non esisteva una geometria. Quindi mi trovai, in altre parole, a costruire una geometria, una geometria di oggetti che non avevano una geometria. E l'aspetto sorprendente di questo è che molto spesso, le regole di questa geometria sono estremamente corte. Esistono formule di questa lunghezza. Le macinate varie volte. Qualche volta ripetutamente, ancora, ancora, ancora. La stessa iterazione. Ed alla fine ottenete cose come queste.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Questa nuvola è completamente, 100 per cento artificiale. Bè, 99.9. E l'unica parte che è naturale è un numero, la rugosità della nuvola, che è tratto dalla natura. Qualcosa così complicato come una nuvola, così instabile, così variabile, avrebbe dunque una semplice regola alle sue spalle. Comunque questa semplice regola non è una spiegazione delle nuvole. E' al profeta delle nuvole a cui dobbiamo chiedere spiegazione. Non so quanto siano avanzate queste foto, sono vecchie. Ero molto coinvolto in questo, quando rivolsi la mia attenzione ad un altro fenomeno.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
Quindi ecco un'altra cosa Che è piuttosto interessante. Uno degli eventi sconvolgenti nella storia della matematica, che non è apprezzato da molta gente, avvenne circa 130 anni fa, 145 anni fa. I matematici cominciarono a creare forme che non esistevano. I matematici ebbero la presunzione tale da suscitare sorpresa di potere inventare cose che la natura non conoscesse. In particolare, si possono inventare cose come una curva che riempia un piano. Ora, una curva è una curva, un piano è un piano, e i due non si mescolano. Bè, in effetti si mescolano. Un uomo chiamato Peano definì tali curve, e divennero oggetti di straordinario interesse. Era davvero importante, ma soprattutto interessante perché era in atto una specie di rottura, una separazione tra la matematica che proviene dalla realtà, da un lato, e la nuova matematica che viene dalla pura mente umana. Bè, mi dispiacque molto puntualizzare che la pura mente umana ha, in effetti, visto alla fine quello che era stato visto per molto tempo. E così qui introduco qualcosa, l'insieme dei fiumi di curve che riempiono il piano. Ebbene, questa è la storia stessa. Quindi fu tra il 1875 e il 1925, un periodo straordinario in cui la matematica si preparava a uscire dal mondo. E gli oggetti che venivano usati come esempi, quando ero un bambino e uno studente, della rottura tra la matematica e la realtà tangibile -- questi oggetti, li capovolsi completamente. Li usai per descrivere alcuni aspetti della complessità della natura.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Ebbene, un uomo chiamato Hausdorff nel 1919 introdusse un numero che era soltanto un capriccio matematico. Ed io trovai che questo numero era una buona misura della rugosità. Quando in principio lo raccontai ai miei amici matematici dissero: "Non essere sciocco. E' solo una sciocchezza". Bè, in realtà, non fui uno sciocco. Il grande pittore Hokusai lo sapeva molto bene. Gli oggetti sul terreno sono alghe. Non conosceva la matematica; non esisteva neanche. Ed era giapponese, il che gli precludeva contatti con l'occidente. Ma la pittura per molto tempo ebbe un lato frattale. Potrei parlare di questo per tanto tempo. La torre Eiffel ha un aspetto frattale. Ho letto il libro che Mr. Eiffel scrisse sulla sua torre. E di sicuro fui meravigliato di quanto avesse capito.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Questo è il caos, caos, caos, loop browniano. Un giorno ad un certo punto della mia carriera avendo accumulato così tante cose nel mio lavoro, decisi di testare me stesso. Potrei anche soltanto osservare qualcosa che qualcuno abbia osservato per molto tempo e trovare qualcosa di drammaticamente nuovo? Bene, osservai queste cose chiamate moto browniano -- qualcosa che gira intorno. Ci giocai per un po', e le riportai all'origine. Poi dissi al mio assistente: "Non vedo niente. Puoi dipingerlo?" Così lui lo dipinse, il che significa che ci inserì dentro tutto. Disse: "Bè, qualcosa esce fuori ..." Ed io dissi: "Fermo! Fermo! Fermo! Io vedo ... questa è un'isola". E sorpresa. Quindi il moto browniano, che ha un numero di rugosità uguale a due, va in giro. L'ho misurato, 1.33. Ancora, ancora, ancora. Lunghe misurazioni, grandi moti browniani, 1.33. Problema matematico: come dimostrarlo? Ai miei amici ci sono voluti venti anni. Tre di loro stavano avendo dimostrazioni incomplete. Si sono messi insieme, ed insieme ne hanno ottenuto una dimostrazione. Così hanno ottenuto la prestigiosa medaglia [Fields] in matematica, una delle tre medaglie che la gente ha ricevuto per aver provato cose che io ho visto senza essere capace di dimostrarle.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Ora tutti mi chiedono ad un certo punto: "Com'è cominciato il tutto? Che cosa ti ha spinto in questo strano business?" Che cosa mi ha reso allo stesso tempo, un ingegnere meccanico, un geografo ed un matematico e così via, un fisico? Bé, in realtà cominciai, abbastanza insolitamente, studiando i prezzi dei mercati finanziari. E così qui proposi questa teoria, ed ho scritto libri a proposito di questo, incrementi dei prezzi finanziari. Sulla sinistra vedete i dati su lungo periodo. Sulla destra, in alto, vedete una teoria che è davvero, davvero alla moda. Fu molto facile, e potreste scrivere numerosi libri molto velocemente riguardo a questo. (Risate) Ci sono migliaia di libri su questo. Ora comparate questo con reali incrementi di prezzo. Dove sono i reali incrementi di prezzo? Bé, queste altre linee includono dei reali incrementi di prezzo e qualche falsificazione che ho fatto. Quindi l'idea era che si fosse in grado di -- come dire? -- modellizzare la variazione dei prezzi. Ed andò molto bene 50 anni fa. Per 50 anni la gente si faceva quasi beffa di me perché potevano farlo molto, molto più facilmente. Ma vi dirò, a questo punto, le persone mi inziarono ad ascoltare. (Risate) Queste due curve sono medie. Standard & Poor, la blu. E la rossa è quella di Standard & Poor, da cui le cinque più grandi discontinuità sono state eliminate. Le discontinuità sono un fastidio. Quindi in molti studi sui prezzi, uno le mette da parte. Bene, forza maggiore. E quello che rimane è un piccolo rumore. Forza maggiore. In questa immagine cinque cause di forza maggiore sono tanto importanti come il tutto. In altre parole, non sono le cause di forza maggiore che dobbiamo mettere da parte. Questo è il succo, il problema. E se padroneggiate questo, padroneggiate i prezzi. E se non lo padroneggiate, potete padroneggiare il piccolo rumore al meglio che potete, ma non sarà importante. Bene, qui ci sono le curve per questo.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Dunque, sono arrivato alla cosa finale, che è l'insieme a cui il mio nome è associato. In un certo modo è la mia biografia. La mia adolescenza fu spesa durante l'occupazione tedesca della Francia. E dato che pensavo che sarei potuto sparire in un giorno o in una settimana, facevo dei sogni enormi. E dopo la guerra, incontrai uno zio di nuovo. Mio zio era un matematico davvero importante e mi disse: "Senti, c'è un problema che non ho potuto risolvere 25 anni fa, e che nessuno può risolvere. Questa è una costruzione di un certo [Gaston] Julia e [Pierre] Fatou. Se tu potessi trovare qualcosa di nuovo, qualsiasi cosa, avresti una carriera già fatta." Semplicissimo. E così cercai, e come le migliaia di persone che ci avevano provato prima, non trovai niente.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Ma poi fu la volta del computer. E decisi di applicare il computer, non ai nuovi problemi in matematica -- come questo viavai, questo è un nuovo problema -- ma ai vecchi problemi. Ed arrivai da quelli che sono chiamati numeri reali, che sono i punti su una retta, ai cosiddetti numeri complessi, o immaginari, che sono i punti su un piano, che è ciò che si dovrebbe fare qui. E questa forma venne fuori. Questa forma è di una complessità straordinaria. L' equazione è nascosta qui, z va in z al quadrato, più c. E' così semplice, così secco. E' così poco interessante. Ora, se si gira la manovella una volta, poi due, due, vengono fuori le meraviglie. Cioè, viene fuori questo. Non voglio spiegare queste cose. Si ottiene questo. Si ottiene questo. Forme che sono di una tale complessità, tale armonia e tale bellezza. Si ottiene questo ripetutamente, ancora, ancora, ancora. E quello che fu una delle mie più grandi scoperte fu scoprire che queste isole erano identiche alla cosa intera, più o meno. E poi ci sono queste straordinarie decorazioni barocche ovunque. Tutto da questa piccola formula, che contiene solo cinque simboli. E poi questo. Il colore è stato aggiunto per due motivi. Primo, perchè queste forme sono così complicate, che non si arriverebbe mai a dare un senso a questi numeri. E se li inserite, dovete scegliere qualche sistema. E quindi il mio principio è stato quello di presentare le forme con differenti colorazioni, perché alcune colorazioni enfatizzano questa, o l'altra cosa. E' così complicato.
(Laughter)
(Risate)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Nel 1990, ero a Cambridge, nel Regno Unito, per ricevere un premio dall'università. E tre giorni dopo, un pilota che stava volando sopra la campagna trovò questa cosa. Quindi questo da dove viene fuori? Ovviamente, dagli extraterrestri. (Risate) Ebbene, il quotidiano di Cambridge pubblicò un articolo su questa 'scoperta' e ricevette il giorno successivo 5000 lettere da persone che dicevano: "Ma questo è semplicemente un insieme di Mandelbrot molto grande".
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Bene, lasciatemi finire. Questa forma qui è uscita fuori da un esercizio di pura matematica. Meraviglie senza fondo saltano fuori da semplici regole, che sono ripetute all'infinito.
Thank you very much.
Molte grazie.
(Applause)
(Applauso)