Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
תודה רבה לכם. בבקשה תסלחו לי שאני יושב; אני מאוד זקן. (צחוק) ובכן, הנושא בו אדון הוא נושא שבאופן מסויים הוא מאוד יוצא דופן מפני שהוא מאוד ישן. חיספוס הוא חלק מהחיים האנושיים מאז ומתמיד. וסופרים עתיקים כתבו עליו. וזה היה מאוד בלתי נשלט. ובצורה מסויימת, זה נראה כמו הקיצון של המורכבות, פשוט בלגן, מהפכה ואי סדר. יש הרבה סוגים של אי סדר. עכשיו למעשה, במקרה לגמרי, הייתי מעורב לפני שנים רבות במחקר מסוג כזה של מורכבות. ולתדהמתי, מצאתי סימנים, סימנים חזקים, אני חייב לומר -- של סדר בחיספוס. אז היום, אני רוצה להציג לכם כמה דוגמאות של מה שזה מייצג. אני מעדיף את המילה חספוס על המילה חוסר סדר מפני שחוסר סדר -- למישהו שלמד לטינית בנעורי שחלפו -- פרושו ההפך מסדירות. אבל זה לא כך. סדירות היא ההפך מחיספוס מפני שההבט הבסיסי של העולם הוא מאוד מחוספס.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
אז תנו לי להראות לכם כמה עצמים. חלקם מלאכותיים. וחלקם מאוד מוחשיים, בצורה מסויימת. עכשיו זה האמיתי. זו כרובית. אז למה אני מראה לכם כרובית, ירק רגיל ועתיק? מפני שלמרות שהוא עתיק, הוא מאוד מסובך ומאוד פשוט שניהם באותו הזמן. אם תנסו לשקול אותו, כמובן מאוד פשוט לשקול אותו. וכשאוכלים אותו, המשקל משנה. אבל נניח ותנסו למדוד את שטח הפנים שלו. אז, זה מאוד מעניין. אם תחתכו בסכין חד, אחת מהתפרחות של הכרובית ותסתכלו עליה בנפרד, תחשבו על כרובית שלמה, אבל בקטן. וכשתחתכו שוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב, ושוב. ועדיין תקבלו כרוביות קטנות. אז הניסיון של האנושות תמיד הראה שיש צורות שיש להן את התכונה הזו, שכל חלק הוא כמו השלם, אבל קטן יותר. עכשיו, מה האנושות עשתה בעניין? מאוד, מאוד מעט. (צחוק)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
אז מה שעשיתי זה ללמוד את הבעיה, ומצאתי משהו די מפתיע. שאפשר למדוד את החיספוס על ידי מספר, מספר, 2.3 , 1.2 ולפעמים הרבה יותר. יום אחד, חבר שלי, כדי להציק לי, הביא תמונה, ואמר, "מה מידת החיספוס של העקומה הזאת?" ואמרתי, "ובכן, קצת פחות מ1.5" זה היה 1.48. עכשיו, זה לא לקח זמן בכלל. אני הסתכלתי על הדברים האלה כל כך הרבה זמן. אז המספרים האלה הם המספרים שמעידים על רמת החיספוס של המשטחים האלה. אני ממהר לומר שהמשטחים האלה הם מלאכותיים לחלוטין. הם נוצרו בעזרת מחשב. והקלט היחידי הוא מספר. והמספר הזה הוא חיספוס. אז בצד שמאל, לקחתי את החיספוס שהועתק מנופים רבים. ובצד ימין, לקחתי רמת חיספוס גבוהה יותר. אז העין, אחרי זמן מסויים, יכולה להבדיל ביניהם בקלות.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
האנושות היתה חייבת ללמוד על מדידת חיספוס. זה מאוד מחוספס, וזה דיי חלק, וזה לגמרי חלק. מעט מאוד דברים הם מאוד חלקים. ואז אם אתם מנסים לשאול שאלות: מה שטח הפנים של כרובית? אז, אתם מודדים ומודדים ומודדים. כל פעם שאתם מתקרבים זה נעשה גדול יותר, עד למרחקים ממש ממש קטנים. מה אורך קו החוף של האגמים האלה? ככל שתתקרבו זה יתארך. המושג של אורך חופים, שנראה כל כך טבעי מפני שהוא ניתן בהרבה מקרים, הוא, למען האמת, מוטעה לחלוטין; אין כזה דבר. צריך לעשות את זה בצורה שונה.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
מה הטעם בלדעת כאלה דברים? אז, למרבה הפלא, זה טוב בדרכים רבות. בתור התחלה, נופים מלאכותיים, שאני המצאתי בצורה מסויימת, נמצאים בשימוש בקולנוע כל הזמן. אנחנו רואים הרים במרחק. הם יכולים להיות הרים, אבל הם יכולים להיות רק נוסחאות, רק מודבקים. עכשיו זה מאוד פשוט לעשות. זה הצריך המון זמן, ועכשיו זה כלום. עכשיו תביטו בזה. זו ריאה אמיתית. עכשיו ריאה זה דבר מאוד מוזר. אם תקחו את הדבר הזה, אתם יודעים טוב שזה קל מאוד. נפח הריאה הוא קטן מאוד. אבל מה לגבי שטח הפנים של הריאה? אנשים שעוסקים באנטומיה התווכחו הרבה בנושא. חלק אומרים שלריאת גבר נורמלית יש שטח פנים של פנים של כדור סל. והאחרים אומרים, לא, של חמישה כדורים. הבדלים עצומים. אז למה? מפני, שבעצם, שטח הפנים של הריאה הוא משהו שמוגדר לא נכון. הסימפונות מתפצלים, מתפצלים, מתפצלים. ואז מפסיקים להתפצל, לא בגלל עקרון מסויים, אלא בגלל מגבלות פיסיות, הרירית שבריאה. אז מה שקורה הוא שכך יש לכם ריאה גדולה יותר, אבל אם היא מתפצלת ומתפצלת, לאורך זהה בערך ללוייתן, לאדם ולמכרסם קטן.
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
עכשיו מה התועלת בכך? אז, למרבה הפלא, למרבה התדהמה, לאנשים העוסקים באנטומיה היה מעט מאוד מושג על מבנה הריאה עד לא מזמן. ואני חושב שהמתמטיקה שלי, למרבה הפלא, עזרה מאוד למנתחים שלמדו מחלות ריאה וגם מחלות כליות, כל המערכות המסועפות, שאיו להן גאומטריה. אז מצאתי את עצמי, במילים אחרות, מרכיב גאומטריה, גאומטריה של דברים שלא היתה להם גאומטריה. והיבט מפתיע של זה הוא שהרבה פעמים, החוקים של הגאומטריה הזו מאוד קצרים. יש לכם נוסחאות כאלה ארוכות. ואתם מסובבים את זה מספר פעמים. לפעמים שוב ושוב, ושוב, ושוב, אותה חזרה. ובסוף מקבלים משהו כזה.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
הענן הזה הוא לגמרי, ב100 אחוז מלאכותי. טוב, 99.9. והדבר היחידי שטבעי בו הוא מספר, החספוס של הענן, שנלקח מהטבע. משהו כל כך מסובך כמו ענן, כה בלתי יציב, כל כך משתנה, צריך חוק פשוט מאחוריו. עכשיו החוק הפשוט הזה הוא לא ההסבר לעננים. חוזה העננים היה צריך לקחת את זה בחשבון. אני לא יודע כמה מתקדמות התמונות האלה, הן ישנות. אני הייתי מאוד מעורב בזה, אבל אז הפנתי את תשומת הלב לתופעה אחרת.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
עכשיו, הנה דבר אחר שמאוד מעניין. אחד הארועים המנתצים בהסטוריית המתמטיקה, שלא מוערך על ידי הרבה אנשים, קרה לפני 130 שנה, לפני 145 שנה. מתמטיקאים התחילו ליצור צורות שלא היו קיימות. מתמטיקאים נכנסו לתשבוחות עצמיות ברמה שהיתה פשוט מדהימה. שהאדם יכול להמציא דברים שהטבע לא ידע. ביחוד, יכול היה להמציא דברים כמו עקומות שיכולות למלא את המישור. עקומה היא עקומה, מישור הוא מישור, והשניים לא מתערבבים. אבל הם כן מתערבבים. איש בשם פיאנו מצא כאלו עקומות, וזה הפך למקור עניין גדול. זה היה מאוד חשוב אבל בעיקר מעניין מפני שכזו תגלית, הפרדה בין המתמטיקה שהגיעה מהמציאות מצד אחד והמתמטיקה החדשה שהגיעה ממוח האדם. אבל, מאוד הצטערתי להראות שמוח האדם הטהור ראה, בעצם, סוף סוף מה שנראה כל כך הרבה זמן. אז כאן אני מציג משהו, סט נהרות של עקומה ממלאת מישור. ואז, זה סיפור בפני עצמו. אז זה היה בין 1875 ל 1925, תקופה מדהימה שבה המתמטיקה הכינה את עצמה לפריצה מהעולם. והפריטים שבהם השתמשו כדוגמאות, כשהייתי ילד וסטודנט, לשבר בין מתמטיקה והמציאות הנראית -- הפריטים האלה, הפכתי אותם על פיהם לגמרי. השתמשתי בהם לתאור חלק מההבטים של המורכבות בטבע.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
אז, איש בשם האוסדורף ב1919 הציג מספר שהיה רק בדיחה מתמטית. ואני מצאתי שהמספר הזה היה מידה טובה לחספוס. כשאמרתי זאת לראשונה לחברי המתמטיקאים הם אמרו "אל תשטתה. זו סתם משהו [שטותי]." אבל בעצם, לא השתטתי. הצייר הדגול הוקוסאי ידע זאת היטב. הדברים על הקרקע הם אצות. הוא לא ידע את המתמטיקה; היא לא היתה קיימת. והוא היה יפני ללא קשר למערב. אבל לציור לאורך זמן היה צד פרקטלי. יכולתי לדבר על זה זמן רב. למגדל אייפל יש הבט פרקטלי. וקראתי את הספר שמר אייפל כתב על המגדל שלו. וזה היה מדהים כמה הוא הבין.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
זה בלאגן, בלאגן, בלאגן, לולאה בראונית. יום אחד החלטתי באמצע הקריירה שלי, שקעתי בכל כך הרבה דברים בעבודה, החלטתי לבחון את עצמי. האם אוכל רק להסתכל במשהו שכולם הביטו בו זמן רב ולמצוא משהו לגמרי חדש? אז, הבטתי בדברים שנקראים תנועה בראונית -- רק הולך מסביב. שיחקתי עם זה לזמן מה, וגרמתי לזה לחזור למקור. ואז אמרתי לעוזר שלי, "אני לא רואה כלום, אתה יכול לצבוע את זה ?" אז הוא צבע את זה, מה שאומר הוא שם בתוך הכל. הוא אמר: "הדבר הזה יצא..." ואני אמרתי, "עצור!, עצור!, עצור! אני רואה, זה אי." ומדהים. אז תנועה בראונית, שבמקרה יש לה ערך חספוס של שתיים, מסתובבת. ומדדתי את זה, 1.33. שוב ושוב ושוב. מדידות ארוכות, תנועות בראוניות גדולות, 1.33. בעיה מתמטית: איך להוכיח את זה? לקח לחברי 20 שנה. לשלושה מהם היו הוכחות לא מושלמות. הם חברו יחד, וביחד היתה להם הוכחה. אז הם קיבלו את המדליה הגדולה [פילדס] של המתמטיקה, אחת משלוש המדליות שאנשים קיבלו על הוכחת דברים שאני ראיתי בלי יכולת להוכיח אותן.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
עכשיו כולם שואלים אותי בשלב כלשהו, "איך כל זה התחיל? מה הכניס אותך לעסק המוזר הזה?" מה גרם לי להיות, באותו זמן, מהנדס מכונות, גאוגרף ומתמטיקאי וכו', פיסיקאי? למען האמת התחלתי, למרבה הפלא, בלימוד מחירי שוק המניות. ופה היתה לי את התאוריה, וכתבתי ספרים על זה, עליות מחירים פיננסיות. משמאל אתם רואים מידע למשך זמן ארוך. מימין, למעלה, אתם רואים תאוריה שמאוד באופנה. זה היה קל מאוד, ואתם יכולים לכתוב הרבה ספרים מהר מאוד על זה. (צחוק) יש אלפי ספרים על הנושא. עכשיו תשווה את זה לעליות מחירים אמיתיות. ואיפה יש עליות מחירים אמיתיות? אז, הקויים האחרים מראים עליות מחירים אמיתיות וקצת זיופים שאני עשיתי. אז הרעיון שם היה שמישהו צריך להיות יכול -- איך אתם אומרים? -- ליצור מודל של התפזרות מחירים. וזה עבד טוב מאוד לפני 50 שנה. למשך 50 שנים אנשים די השקיטו אותי מפני שהם יכלו לעשות את זה בצורה קלה יותר. אבל אני אומר לכם, בנקודה זו, אנשים הקשיבו לי. (צחוק) העקומות האלה הן ממוצעים. סטנדרט אנד פור, הכחולה. והאדומה היא של סטנדרט אנד פור, אחרי שהוצאו חמשת החריגות הגדולות. עכשיו חריגות הן מטרד. אז בהרבה מחקרים על מחירים, אנשים שמים אותן בצד. "אלה, מעשי אלוהים. ויש את השטויות הקטנות שנשארות. מעשי אלוהים." בתמונה הזאת חמישה "מעשי אלוהים" חשובים כמו כל דבר אחר. במילים אחרות, זה לא מעשי האלוהים שאנו צריכים לשים בצד. זה הבשר, הבעיה. אם שולטים באלה, שולטים במחירים. ואם לא שולטים באלה, אפשר לשלוט ברעשים הקטנים במידת האפשר. אבל זה לא חשוב. אז, הנה העקומות בשביל זה.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
עכשיו, אני מגיע לדבר האחרון, שהוא הסט שאליו שמי קשור. בצורה מסויימת זה סיפור חיי. ההתבגרות שלי עברה בזמן הכיבוש הגרמני של צרפת. ומאחר וחשבתי שאולי אעלם תוך יום או שבוע, היו לי חלומות מאוד גדולים. ואחרי המלחמה, ראיתי שוב את אחד מדודי. דודי היה מתמטיקאי חשוב והוא אמר לי, "תראה, יש בעיה שלא הצלחתי לפתור לפני 25 שנה, ושאף אחד לא יכול לפתור. זה מבנה של אדם בשם [גסטון] ג'וליה ו[פייר] פאטו. אם תוכל למצוא משהו חדש, כל דבר, תעשה את הקריירה שלך." מאוד פשוט. אז הסתכלתי, וכמו אלפי האנשים שניסו לפני, לא מצאתי כלום.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
אבל אז הגיע המחשב, והחלטתי לישם את המחשב, לא על הבעיות החדשות במתמטיקה -- כמו הקישקוש הזה, זו בעיה חדשה -- אל לבעיות ישנות. ועברתי ממה שנקרא מספרים ממשיים, שהם נקודה על קו, למספרים מדומים, מרוכבים, שהם נקודות על מישור, שזה מה שצריך לעשות שם. והצורה הזו יצאה. הצורה הזו היא סיבוך מדהים. המשוואה חבוייה שם, Z עוברת ל-Z בריבוע, ועוד C. זה כל כך פשוט, כל כך יבש. כל כך לא מעניין. עכשיו מסובבים את זה פעם, פעמיים, פעמיים, ופלא יוצא. אני מתכוון זה יוצא. אני לא רוצה להסביר את הדברים האלה. זה יוצא. זה יוצא. צורות עם סיבוכיות גדולה כל כך. כזאת הרמוניה וכזה יופי. זה יוצא וחוזר שוב ושוב ושוב. וזו היתה אחת מהתגליות הגדולות שלי להבין שהאיים האלה זהים לשלם הגדול, פחות או יותר. ואז מקבלים את קישוטי הבארוק המופלאים האלה בכל מקום. כל זה מהנוסחה הקטנה הזו, שיש לה אולי, חמישה אברים בתוכה. ואז זו. הצבע הוסף משתי סיבות. ראשית, מפני שהצורות האלה כל כך מסובכות, שאיש לא יכול להבין את משמעות המספרים. ואם משרטטים אותן, צריך לבחור שיטה. אז העיקרון שלי היה תמיד להציג את הצורות בצבעים שונים, מפני שצביעות אחדות מדגישות את זה, ואחרות מדגישות את זה או את זה. זה כל כך מסובך.
(Laughter)
(צחוק)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
ב1990, הייתי בקיימברידג' אנגליה. כדי לקבל פרס מהאוניברסיטה. ואחרי שלושה ימים, טייס טס מעל הנוף ומצא את זה. אז מאיפה זה הגיע? כמובן, מחייזרים. (צחוק) אז העיתון בקיימברידג' פרסם מאמר על ה"תגלית" וקיבל למחרת 5000 מכתבים מאנשים שאמרו, "אבל זו פשוט חבורת מנדלברוט גדולה מאוד."
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
אז, תנו לי לסיים. הצורה הזו הגיעה פשוט מתוך תרגיל במתמטיקה טהורה. פלאים יוצאים מתוך חוקים פשוטים, שחוזרים על עצמם ללא סוף.
Thank you very much.
תודה רבה לכם.
(Applause)
(מחיאות כפיים)