Thank you very much. Please excuse me for sitting; I'm very old. (Laughter) Well, the topic I'm going to discuss is one which is, in a certain sense, very peculiar because it's very old. Roughness is part of human life forever and forever, and ancient authors have written about it. It was very much uncontrollable, and in a certain sense, it seemed to be the extreme of complexity, just a mess, a mess and a mess. There are many different kinds of mess. Now, in fact, by a complete fluke, I got involved many years ago in a study of this form of complexity, and to my utter amazement, I found traces -- very strong traces, I must say -- of order in that roughness. And so today, I would like to present to you a few examples of what this represents. I prefer the word roughness to the word irregularity because irregularity -- to someone who had Latin in my long-past youth -- means the contrary of regularity. But it is not so. Regularity is the contrary of roughness because the basic aspect of the world is very rough.
Kiitos erittäin paljon. Anteeksi, että istun; olen hyvin vanha. (Naurua) Aihe, josta aion kertoa, on yhdellä tapaa kummallinen, koska se on hyvin vanha. Rosoisuus on osa ihmiselämää aina ja ikuisesti. Muinaiset kirjoittajat ovat kirjoittaneet siitä. Se oli vaikeasti kontrolloitavissa. Ja jossain mielessä, se vaikutti olevan äärimmäisen monimutkainen, pelkää sotkua. On monenlaisia sotkuja. Itse asiassa, onnekkaasta sattumasta johtuen aloin useita vuosia sitten tutkia tällaista monimutkaisuutta. Ja suureksi hämmästyksekseni löysin jälkiä -- hyvin voimakkaita jälkiä -- järjestyksestä rosoisuudessa. Joten tänään haluaisin esittää teille muutaman esimerkin tästä aiheesta. Pidän enemmän sanasta 'rosoisuus' kuin 'epäsäännöllisyys', koska epäjärjestys tarkoittaa -- henkilölle, joka on lukenut latinaa kaukaisessa nuoruudessaan -- se tarkoittaa säännöllisyyden vastakohtaa. Mutta se ei ole sitä. Säännöllisyys on rosoisuuden vastakohta, koska maailman perusmuoto on hyvin rosoinen.
So let me show you a few objects. Some of them are artificial. Others of them are very real, in a certain sense. Now this is the real. It's a cauliflower. Now why do I show a cauliflower, a very ordinary and ancient vegetable? Because old and ancient as it may be, it's very complicated and it's very simple, both at the same time. If you try to weigh it -- of course it's very easy to weigh it, and when you eat it, the weight matters -- but suppose you try to measure its surface. Well, it's very interesting. If you cut, with a sharp knife, one of the florets of a cauliflower and look at it separately, you think of a whole cauliflower, but smaller. And then you cut again, again, again, again, again, again, again, again, again, and you still get small cauliflowers. So the experience of humanity has always been that there are some shapes which have this peculiar property, that each part is like the whole, but smaller. Now, what did humanity do with that? Very, very little. (Laughter)
Näytän teille muutaman kuvan. Jotkut näistä ovat keinotekoisia. Jotkut ovat hyvin aitoja, jossain mielessä. Tämä on aito. Kukkakaali. Miksi näytän teille kukkakaalin, hyvin tavanomaisen ja vanhan vihanneksen? Koska huolimatta siitä, miten muinainen se on, se on hyvin monimutkainen ja yksinkertainen samaan aikaan. On helppoa punnita se. Jos aikoo syödä sen, paino ratkaisee. Mutta mitä jos yritätte mitata sen pinta-alan? Se on mielenkiintoista. Jos leikkaa terävällä veitsellä yhden kukinnon kukkakaalista ja katsoo sitä erillään, se näyttää kokonaiselta kukkakaalilta, vain pienemmältä. Ja leikkaa uudelleen ja uudelleen, ja uudelleen... Ja saa vain yhä pienempiä kukkakaaleja. Ihmiset ovat siis aina kokeneet, että on olemassa muotoja, joilla on tämä omituinen ominaisuus, että jokainen osa on kuin koko asia, mutta pienempi. Mitä ihmiset tekivät tällä tiedolla? Hyvin, hyvin vähän. (Naurua)
So what I did actually is to study this problem, and I found something quite surprising. That one can measure roughness by a number, a number, 2.3, 1.2 and sometimes much more. One day, a friend of mine, to bug me, brought a picture and said, "What is the roughness of this curve?" I said, "Well, just short of 1.5." It was 1.48. Now, it didn't take me any time. I've been looking at these things for so long. So these numbers are the numbers which denote the roughness of these surfaces. I hasten to say that these surfaces are completely artificial. They were done on a computer, and the only input is a number, and that number is roughness. So on the left, I took the roughness copied from many landscapes. To the right, I took a higher roughness. So the eye, after a while, can distinguish these two very well.
Joten itse asiassa tutkin tätä ongelmaa ja löysin melko yllättävän tuloksen; että rosoisuutta voi mitata numerolla, joka voi olla 2,3 tai 1,2 tai joskus paljon enemmän. Kerran yksi ystäväni ihan vain kiusallaan toi kuvan ja kysyi: "Mikä on tämän käyrän rosoisuus?" Sanoin: "No, vähän alle 1,5." Se oli 1,48. Minulta se ei kestänyt kauan. Olen katsonut näitä juttuja jo niin kauan. Nämä numerot kertovat pintojen rosoisuudesta. Kiirehdin sanomaan, että nämä pinnat ovat täysin keinotekoisia. Ne on tehty tietokoneella. Sille syötetään vain numero. Tuo numero on rosoisuus. Vasemmalla otin rosoisuuden, joka on ominainen useille maisemille. Oikealla otin korkeamman rosoisuuden. Nämä pystyy erottamaan jonkin ajan kuluttua silmällä oikein hyvin.
Humanity had to learn about measuring roughness. This is very rough, and this is sort of smooth, and this perfectly smooth. Very few things are very smooth. So then if you try to ask questions: "What's the surface of a cauliflower?" Well, you measure and measure and measure. Each time you're closer, it gets bigger, down to very, very small distances. What's the length of the coastline of these lakes? The closer you measure, the longer it is. The concept of length of coastline, which seems to be so natural because it's given in many cases, is, in fact, complete fallacy; there's no such thing. You must do it differently.
Ihmisten piti oppia mittaamaan rosoisuutta. Tämä on hyvin rosoinen, tämä melko sileä, ja tämä täysin sileä. Hyvin harvat asiat ovat täysin sileitä. Joten jos yrittää kysyä kysymyksen: mikä on kukkakaalin pinta-ala? Sitä voi mitata ja mitata. Aina kun on pääsee lähemmäs, se suurenee, aina hyvin pieniin etäisyyksiin asti. Mikä on rantaviivan pituus näissä järvissä? Mitä tarkemmin mittaa, sitä pidempi se on. Rantaviivan pituuden koko käsite, joka tuntuu niin luonnolliselta, koska se mainitaan usein, on itse asiassa harha; sitä ei ole olemassa. Se pitää tehdä eri tavalla.
What good is that, to know these things? Well, surprisingly enough, it's good in many ways. To begin with, artificial landscapes, which I invented sort of, are used in cinema all the time. We see mountains in the distance. They may be mountains, but they may be just formulae, just cranked on. Now it's very easy to do. It used to be very time-consuming, but now it's nothing. Now look at that. That's a real lung. Now a lung is something very strange. If you take this thing, you know very well it weighs very little. The volume of a lung is very small, but what about the area of the lung? Anatomists were arguing very much about that. Some say that a normal male's lung has an area of the inside of a basketball [court]. And the others say, no, five basketball [courts]. Enormous disagreements. Why so? Because, in fact, the area of the lung is something very ill-defined. The bronchi branch, branch, branch and they stop branching, not because of any matter of principle, but because of physical considerations: the mucus, which is in the lung. So what happens is that in a way you have a much bigger lung, but it branches and branches down to distances about the same for a whale, for a man and for a little rodent.
Mitä hyötyä näiden asioiden tietämisestä on? Yllättävää kyllä, siitä on monenlaista hyötyä. Keinoteikoiset maisemat, jotka tavallaan keksin, ovat käytössä elokuvissa koko ajan. Näemme vuoria kaukaisuudessa. Ne voivat olla vuoria, mutta ne voivat olla vain yhtälöitä. Nykyään niitä on helppoa tehdä. Aiemmin se vei paljon aikaa, mutta nyt se on helppoa. Katsokaa tätä. Tämä on aito keuhko. Keuhko on hyvin omituinen. Tämä keuhko, tiedätte hyvin, että se painaa hyvin vähän. Keuhkojen tilavuus on hyvin pieni. Mutta mikä on keuhkojen pinta-ala? Anatomian tutkijat kiistelivät siitä paljon. Jotkut sanovat, että normaalien miesten keuhkojen pinta-ala oli sama kuin koripallon sisäpuolen. Toiset sanovat viiden koripallon. Melkoinen erimielisyys. Miksi? Koska itse asiassa keuhkojen ala on hyvin huonosti määritelty. Keuhkoputket haarautuvat haaroihin ja uusiin haaroihin. Ja lakkaavat haarautumasta, eivät minkään periaatteen vuoksi, vaan fyysisistä syistä, keuhkoissa olevan liman takia. Siis tavallaan meillä on isommat keuhkot, mutta jos ne haarautuvat ja haarautuvat aina etäisyyksiin, jotka ovat suunnilleen samat valaalle, ihmiselle ja pienelle jyrsijälle --
Now, what good is it to have that? Well, surprisingly enough, amazingly enough, the anatomists had a very poor idea of the structure of the lung until very recently. And I think that my mathematics, surprisingly enough, has been of great help to the surgeons studying lung illnesses and also kidney illnesses, all these branching systems, for which there was no geometry. So I found myself, in other words, constructing a geometry, a geometry of things which had no geometry. And a surprising aspect of it is that very often, the rules of this geometry are extremely short. You have formulas that long. And you crank it several times. Sometimes repeatedly: again, again, again, the same repetition. And at the end, you get things like that.
niin mitä hyötyä siitä on? Yllättävää kyllä, hämmästyttävää on, että anatomeilla oli hyvin hatarat käsitykset keuhkojen rakenteesta ihan viime aikoihin asti. Uskon, että minun matematiikkani, yllättävää kyllä, on ollut suuri apu kirurgeille, jotka tutkivat keuhkosairauksia ja myös munuaissairauksia, kaikkia haarautuvia systeemejä, joille ei ollut geometriaa. Toisin sanoen, huomasin rakentavani geometriaa asioille, joilla ei ollut geometriaa. Yllättävä näkökohta tässä on se, että tämän geometrian säännöt ovat hyvin lyhyitä. On tämän pituisia yhtälöitä. Niitä veivataan useita kertoja. Joskus uudelleen ja uudelleen. Toistuvasti. Lopulta saadaan tämän kaltaisia juttuja.
This cloud is completely, 100 percent artificial. Well, 99.9. And the only part which is natural is a number, the roughness of the cloud, which is taken from nature. Something so complicated like a cloud, so unstable, so varying, should have a simple rule behind it. Now this simple rule is not an explanation of clouds. The seer of clouds had to take account of it. I don't know how much advanced these pictures are. They're old. I was very much involved in it, but then turned my attention to other phenomena.
Tämä pilvi on täysin, sataprosenttisen keinotekoinen. Tai no, 99,9 %. Ainoa luonnollinen asia on numero, pilven rosoisuus, joka on otettu luonnosta. Jokin niin monimutkainen kuin pilvi, niin epästabiili, muuttuva, sillä täytyy olla yksinkertainen sääntö. Tämä sääntö ei ole pilvien selitys. Pilvien tarkkailijan täytyi ottaa se huomioon. En tiedä kuinka kehittyneitä nämä kuvat ovat; ne ovat vanhoja. Olin hyvin kiinnostunut niistä, mutta sitten kiinnitin huomioni muihin ilmiöihin.
Now, here is another thing which is rather interesting. One of the shattering events in the history of mathematics, which is not appreciated by many people, occurred about 130 years ago, 145 years ago. Mathematicians began to create shapes that didn't exist. Mathematicians got into self-praise to an extent which was absolutely amazing, that man can invent things that nature did not know. In particular, it could invent things like a curve which fills the plane. A curve's a curve, a plane's a plane, and the two won't mix. Well, they do mix. A man named Peano did define such curves, and it became an object of extraordinary interest. It was very important, but mostly interesting because a kind of break, a separation between the mathematics coming from reality, on the one hand, and new mathematics coming from pure man's mind. Well, I was very sorry to point out that the pure man's mind has, in fact, seen at long last what had been seen for a long time. And so here I introduce something, the set of rivers of a plane-filling curve. And well, it's a story unto itself. So it was in 1875 to 1925, an extraordinary period in which mathematics prepared itself to break out from the world. And the objects which were used as examples, when I was a child and a student, as examples of the break between mathematics and visible reality -- those objects, I turned them completely around. I used them for describing some of the aspects of the complexity of nature.
On yksi toinen melko mielenkiintoinen asia. Yksi repivimmistä tapahtumista matematiikan historiassa, jota moni ei arvosta, tapahtui noin 130 vuotta sitten -- 145 vuotta sitten. Matemaatikot alkoivat luoda muotoja, joita ei ollut olemassa. Matemaatikot kehuivat itseään laajuudessa, joka oli käsittämätön, siitä, että ihminen voi keksiä asioita, joita luonto ei tuntenut. Erityisesti ihminen voi keksiä asioita kuten käyrän, joka täyttää tason. 'Käyrä on käyrä, taso on taso, ja nuo kaksi eivät sekoitu.' No, nepä sekoittuvat. Mies nimeltä Peano määritteli sellaisia käyriä, ja ne saivat suunnatonta huomiota. Se oli hyvin tärkeää, mutta enimmäkseen mielenkiintoista, koska se oli kuin aukko, eroavaisuus todellisuudesta tulevan matematiikan ja ihmismielestä tulevan uuden matematiikan välillä. Oli ikävä huomauttaa, että puhdas ihmismieli itse asiassa näki vihdoin sen, mitä oli nähty jo pitkän aikaa. Tässä näytän jokia, jotka ovat osa tason täyttävää käyrää. No, se on oma tarinansa. Vuosina 1875 - 1925 oli suuremmoinen kausi, jolloin matematiikka valmistautui irrottautumaan maailmasta. Objekteja, joita käytettiin esimerkkeinä, kun olin lapsi ja opiskelija, aukosta matematiikan ja näkyvän todellisuuden välillä -- nuo objektit käänsin täysin toisiksi. Käytin niitä kuvaamaan joitain näkökohtia luonnon monimutkaisuudesta.
Well, a man named Hausdorff in 1919 introduced a number which was just a mathematical joke, and I found that this number was a good measurement of roughness. When I first told it to my friends in mathematics they said, "Don't be silly. It's just something [silly]." Well actually, I was not silly. The great painter Hokusai knew it very well. The things on the ground are algae. He did not know the mathematics; it didn't yet exist. And he was Japanese who had no contact with the West. But painting for a long time had a fractal side. I could speak of that for a long time. The Eiffel Tower has a fractal aspect. I read the book that Mr. Eiffel wrote about his tower, and indeed it was astonishing how much he understood.
Mies nimeltä Hausdorff vuonna 1919 esitti numeron, joka oli vain matemaattinen vitsi. Huomasin, että tämä numero oli hyvä mitta rosoisuudelle. Kun kerroin siitä ensi kertaa matemaatikkoystävilleni, he sanoivat: "Älä ole hassu." Itse asiassa en ollutkaan hassu. Suuri maalari Hokusai tiesi sen hyvin. Maassa olevat jutut ovat levää. Hän ei tuntenut matematiikkaa; sitä ei ollut olemassa. Hän oli japanilainen, jolla ei ollut kontakteja länteen. Mutta maalaamisella oli pitkään fraktaalinen puoli. Voisin puhua siitä pitkään. Eiffelin tornilla on fraktaalinen muoto. Luin herra Eiffelin tornistaan kirjoittamansa kirjan. Oli hämmästyttävää, miten paljon hän ymmärsi.
This is a mess, mess, mess, Brownian loop. One day I decided -- halfway through my career, I was held by so many things in my work -- I decided to test myself. Could I just look at something which everybody had been looking at for a long time and find something dramatically new? Well, so I looked at these things called Brownian motion -- just goes around. I played with it for a while, and I made it return to the origin. Then I was telling my assistant, "I don't see anything. Can you paint it?" So he painted it, which means he put inside everything. He said: "Well, this thing came out ..." And I said, "Stop! Stop! Stop! I see; it's an island." And amazing. So Brownian motion, which happens to have a roughness number of two, goes around. I measured it, 1.33. Again, again, again. Long measurements, big Brownian motions, 1.33. Mathematical problem: how to prove it? It took my friends 20 years. Three of them were having incomplete proofs. They got together, and together they had the proof. So they got the big [Fields] medal in mathematics, one of the three medals that people have received for proving things which I've seen without being able to prove them.
Tämä on Brownin lenkki -- yhtä sotkua. Eräänä päivänä, puolivälissä uraani, olin niin kiinni työssäni, että päätin testata itseäni. Voisinko vain katsoa jotain, mitä kaikki ovlivat katsoneet pitkään ja löytää jotain dramaattisen uutta? Joten katsoin Brownin liikettä -- ne menevät ympäriinsä. Pyörittelin sitä jonkin aikaa, ja sain sen palaamaan alkupisteeseen. Kerroin assistentilleni: "En näe mitään. Voitko värittää sen?" Joten hän väritti sen kokonaan. Hän sanoi: "Tällainen siitä tuli" Ja minä sanoin: "Seis! Seis! Seis! Näen, että se on saari." Uskomatonta. Brownin liike, jolla sattuu olemaan rosoisuusarvo 2, palaa alkupisteeseensä. Mittasin sen: 1,33. Uudelleen ja uudelleen. Pitkiä mittauksia, isoa Brownin liikettä, 1,33. Matemaattinen ongelma: miten todistaa se? Ystäviltäni kesti se 20 vuotta. Kolmella heistä oli epätäydellisiä todistuksia. He tapasivat ja yhdessä he osoittivat sen. Joten he saivat suuren matemaatikkojen [Fieldsin] mitalin, yksi kolmesta mitalista, jonka ihmiset ovat saaneet todistaessaan asioita, jotka olen nähnyt osaamatta todistaa niitä.
Now everybody asks me at one point or another, "How did it all start? What got you in that strange business?" What got you to be, at the same time, a mechanical engineer, a geographer and a mathematician and so on, a physicist? Well actually I started, oddly enough, studying stock market prices. And so here I had this theory, and I wrote books about it -- financial prices increments. To the left you see data over a long period. To the right, on top, you see a theory which is very, very fashionable. It was very easy, and you can write many books very fast about it. (Laughter) There are thousands of books on that. Now compare that with real price increments. Where are real price increments? Well, these other lines include some real price increments and some forgery which I did. So the idea there was that one must be able to -- how do you say? -- model price variation. And it went really well 50 years ago. For 50 years, people were sort of pooh-poohing me because they could do it much, much easier. But I tell you, at this point, people listened to me. (Laughter) These two curves are averages: Standard & Poor, the blue one; and the red one is Standard & Poor's from which the five biggest discontinuities are taken out. Now discontinuities are a nuisance, so in many studies of prices, one puts them aside. "Well, acts of God. And you have the little nonsense which is left. Acts of God." In this picture, five acts of God are as important as everything else. In other words, it is not acts of God that we should put aside. That is the meat, the problem. If you master these, you master price, and if you don't master these, you can master the little noise as well as you can, but it's not important. Well, here are the curves for it.
Kaikki kysyvät minulta ennemmin tai myöhemmin "Miten kaikki sai alkunsa? Miten päädyit tähän kummalliseen bisnekseen?" Mikä teki minusta yhtä aikaa koneinsinöörin, maantietelijän, ja matemaatikon, fyysikon ja niin edelleen? Itse asiassa, kumma kyllä, aloitin tutkimalla pörssikursseja. Joten minulla oli teoria, ja kirjoitin kirjan talouden kasvusta. Vasemmalla näette dataa pitkältä ajalta. Oikealla ylhäällä näette teorian, joka on hyvin suosittu. Se oli hyvin helppo ja siitä voi kirjoittaa nopeasti kirjoja. (Naurua) Aiheesta on tuhansia kirjoja. Verratkaa tätä todellisiin pörssikursseihin. Missä ovat todelliset pörssikurssit? Nämä toiset viivat sisältävät joitain oikeita pörssikursseja ja joitain tekemiäni väärennöksiä. Ideana tässä oli, että pitäisi olla mahdollista mallintaa kurssien muutoksia. Ja se toimi hyvin 50 vuotta sitten. 50 vuoden ajan ihmiset pitivät minua höpsönä, koska he pystyivät tekemään sen paljon helpommin. Mutta uskokaa pois, tässä kohtaa ihmiset alkoivat kuunnella minua. (Naurua) Nämä kaksi käyrää ovat keskiarvoja. Standard & Poor, sininen käyrä. Punainen on Standard & Poor, josta viisi suurinta poikkeamaa on poistettu. Poikkeamat ovat kiusankappaleita. Monissa taloustutkimuksissa ne ohitetaan. "No, luonnonmullistukset." Jäljelle jää pötyä. Tässä kuvassa viisi luonnonmullistusta on yhtä tärkeitä kuin kaikki muu. Toisin sanoen, meidän ei pitäisi jättää pois luonnonmullistuksia. Se on koko ongelman ydin. Jos kykenee ennustamaan ne, voi ennustaa kaiken. Jos ei hallitse niitä, ennustaa vain sen pienen kohinan, mutta se ei ole tärkeää. Tässä kuvaajat.
Now, I get to the final thing, which is the set of which my name is attached. In a way, it's the story of my life. My adolescence was spent during the German occupation of France. Since I thought that I might vanish within a day or a week, I had very big dreams. And after the war, I saw an uncle again. My uncle was a very prominent mathematician, and he told me, "Look, there's a problem which I could not solve 25 years ago, and which nobody can solve. This is a construction of a man named [Gaston] Julia and [Pierre] Fatou. If you could find something new, anything, you will get your career made." Very simple. So I looked, and like the thousands of people that had tried before, I found nothing.
Viimeinen asia, joka on joukko, johon nimeni on liitetty. Tavallaan se on elämäntarinani. Elin nuoruuttani saksalaisten miehittäessä Ranskaa. Koska ajattelin, että saattaisin kadota päivässä tai viikossa, minulla oli suuria unelmia. Sodan jälkeen näin enoni uudelleen. Enoni oli merkittävä matemaatikko ja hän kertoi minulle: "On ongelma, jota en voinut ratkaista 25 vuotta sitten, ja jota kukaan ei osaa ratkaista. Sen rakensi [Gaston] Julia sekä [Pierre] Fatou. Jos löytäisit siitä jotain uutta, mitä tahansa, saat siitä uran itsellesi." Hyvin yksinkertaista. Joten katsoin, ja kuten tuhannet aiemmin yrittäneet, en löytänyt mitään.
But then the computer came, and I decided to apply the computer, not to new problems in mathematics -- like this wiggle wiggle, that's a new problem -- but to old problems. And I went from what's called real numbers, which are points on a line, to imaginary, complex numbers, which are points on a plane, which is what one should do there, and this shape came out. This shape is of an extraordinary complication. The equation is hidden there, z goes into z squared, plus c. It's so simple, so dry. It's so uninteresting. Now you turn the crank once, twice: twice, marvels come out. I mean this comes out. I don't want to explain these things. This comes out. This comes out. Shapes which are of such complication, such harmony and such beauty. This comes out repeatedly, again, again, again. And that was one of my major discoveries, to find that these islands were the same as the whole big thing, more or less. And then you get these extraordinary baroque decorations all over the place. All that from this little formula, which has whatever, five symbols in it. And then this one. The color was added for two reasons. First of all, because these shapes are so complicated that one couldn't make any sense of the numbers. And if you plot them, you must choose some system. And so my principle has been to always present the shapes with different colorings because some colorings emphasize that, and others it is that or that. It's so complicated.
Mutta sitten tietokoneet tulivat. Päätin kokeilla tietokonetta, en uusiin matematiikan ongelmiin -- kuten värinäjuttuihin, se on uusi ongelma -- vaan vanhoihin ongelmiin. Joten etenin reaaliluvuista, jotka ovat pisteitä viivassa, imaginaarisiin, kompleksilukuihin, jotka ovat pisteitä tasossa, mitä piti tehdä. Ja tämä muoto tuli siitä. Tämä muoto on tavattoman monimutkainen. Yhtälö on piilotettu tänne, z on z potenssiin kaksi plus c. Niin yksinkertaista, niin kuivaa. Niin epämielenkiintoista. Jos pyöräytetään yhtälöä kerran, pari, pari kertaa, ihmeitä tulee ulos. Tämä tulee ulos. En halua selittää näitä juttuja. Tämä tulee ulos, tämäkin. Muotoja, jotka ovat niin monimutkaisia, harmonisia, kauniita. Tämä tulee toistuvasti, aina vain. Yksi suurimmista löydöistäni oli, että nämä saaret ovat samoja kuin koko kuvio, enemmän tai vähemmän. Ja sitten saa näitä eriskummallisia barokkikoristuksia joka paikkaan. Kaikki tämä tästä pikkuyhtälöstä, jossa on viisi symbolia. Ja tämä. Väri lisättiin kahdesta syystä. Ensinnäkin, koska nämä muodot ovat niin monimutkaisia, ettei numeroita voisi hahmottaa. On valittava jokin järjestelmä. Periaatteenani on ollut esittää muodot aina eri värityksin, koska jotkut väritykset painottavat yhtä ja toiset toista. Se on niin monimutkaista.
(Laughter)
(Naurua)
In 1990, I was in Cambridge, U.K. to receive a prize from the university, and three days later, a pilot was flying over the landscape and found this thing. So where did this come from? Obviously, from extraterrestrials. (Laughter) Well, so the newspaper in Cambridge published an article about that "discovery" and received the next day 5,000 letters from people saying, "But that's simply a Mandelbrot set very big."
Vuonna 1990 olin Cambridgessä vastaanottamassa palkintoa yliopistolta. Kolme päivää myöhemmin maiseman yli lentänyt lentäjä huomasi tämän. Mistä se tuli? Mitä ilmeisimmin avaruusolennoilta. (Naurua) Sanomalehti Cambridgessä julkaisi artikkelin tästä "löydöstä" ja sai seuraavana päivänä 5000 kirjettä ihmisiltä: "Mutta se on vain hyvin iso Mandelbrotin joukko."
Well, let me finish. This shape here just came out of an exercise in pure mathematics. Bottomless wonders spring from simple rules, which are repeated without end.
Lopettelen nyt. Tämä muoto tuli puhtaan matematiikan harjoittamisesta. Yksinkertaisista säännöistä, joita toistetaan loputtomasti, syntyy pohjattomia ihmeitä.
Thank you very much.
Kiitos erittäin paljon.
(Applause)
(Suosionosoituksia)